这个1/3和2/3是不是可以这样理解？
假设主持人找开的是3号门，（客人选的是1号门），如果重新选择即选2号门，意思就是算1号门与2号门是汽车的概率：
1号门是汽车的概率是1/3，这是清楚的！现在知道3号门不是汽车，则汽车定在1或2中，那么选1号有汽车的概率是1/3，2号门是汽车的概率不就是1-1/3=2/3吗？
所以应该重新选择！
500 美国的“玛利亚幸运抢答”电台一日公布了这样一道题：在三扇门背后（比如说1号、2号及3号）藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的。现在先让你选择，比方说你选择了1号门。然后主持人打开了一扇门，让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？
谁能给出回答呢？一号门背后是汽车的概率变了吗？
500 我认为小学生回答的对。
500 答案我没有找见，下去找找吧。不过我的理解与你是一致的，至于正确答案是否为此，还得请高人指点。
500 NO，I AM NOT WHOM YOU SAID，
500 意思一样：还是要重新选择的。
500 那么能否贴出来呢？
500 谢谢了！
500 这道题的另外一种形式是：有三张扑克牌，分别是A、K、K。现在将三张扑克牌面朝下。让你指定一张牌，并猜这张牌为A。然后故意亮出一张牌，这张牌为K。问你需要重新选择吗？在后一种情况下，原来所选的牌为A的概率变了吗？
500

能力不错，佩服，向你学习。不过，仿真程序的结果是：0.3340 0.3357。并非三分之一呀，这是为什么呢？烦你教之，谢谢。
500 ？？？？
当然是猜对的概率小了！
500 redlake，你好！你能否帮我作一个MATLAB仿真呢？我有一组数据，根据这组数据进行仿真，需要什么我告诉你，好么？
500 先把数据附上，这是棉蚜的一年数量动态数据。在每个周期内，可以认为上升段服从LOGISTICA 方程。所谓LOGISTICA 方程，即
x(t)=k/(1+a*exp(-bt)),(k,a,b>0)
而下降段服从反逻辑斯谛方程，即：
x(t)=k/(1+a*exp(bt)),(k,a,b>0)

你可以先分析一下。


500 首先，应当指出，用整体拟合，办法不好，整条曲线显然也不是逻辑斯蒂方程的。原始数据直接拟合不行的。我的意思是，用MATLAB的方法模拟出棉蚜的动态曲线方程（就象你模拟上述的概率题），然后用这些数据来拟合这个方程。在这个曲线中，上升段服从LOGISTICA 方程，下降段服从反逻辑斯谛方程。不知这样说你能否明白？
我前面用了lsqcurvefit的命令，与你的结果也不尽相同，我是分段来拟合的。感兴趣的话，可以看看下面这个附件。
500 你在这里能否介绍一下蒙特卡罗模拟的思想呢？你的话说中了我的需要。正是这样的，我一直没有找到适当路径。谢谢你的指点！
500 看来我现在是完不了了，下学期再作，一定要做出来。我们可通力合作，怎么样呢？
500 蒙特卡洛法的计算机模拟应用是J.Von Neumann 和S.Ulam与第二次世界大战期间提出的，当时他们在Ｌｏｓ　Ａｌａｍｏｓ科学实验室进行核武器研究，为了设计核屏蔽防护，他们需要知道中子在各种材料中能传多远的距离，他们把这个研究称为蒙特卡洛计划。这个问题是不容易解决的，如果用实验的方法来测试非常危险，核辐射会伤害人体，也会耗费大量时间与金钱，因此他们在计算机上用随机数对实验系统进行模拟，由于模拟采用了博弈原理，因此这一方法也被称为蒙特卡洛法。
并不是所有使用随机数的计算方法都叫蒙特卡洛法。只有对那些本质上为确定性的问题使用随机数求解才能叫蒙特卡洛法。而用随机数对本质上是随机性的问题求解，只能叫“随机模拟”，这两者是不同的。著名的蒲丰（Ｂｕｆｆｏｎ）投针试验问题就是蒙特卡洛法的一个例子。
500 错！
500 这个问题又一叙述如下：
亚当、比尔和查尔斯被关在一个监狱里。监狱看守是唯一知道这三个人中谁会判死刑，哪两位会获释。有1/3的概率会被处死刑的亚当，给他母亲写了一封信，想要比尔或者查尔斯谁能获释谁给传递。当亚当问看守他应当把他的信交给比尔还是查尔斯时，这位看守，一个富有同情心的人，感到他正面临两难境地．如果他把将要获释的人的名字告诉亚当，那么，他认为，亚当就会有的1/2概率被叛死刑，因为或者亚当，或者余下的那人，一定要被处死．如果他隐瞒这信息，亚当的或然性仍是1/3．既然亚当已经知道，其他两人中有一人会获释，他被处死的或然性怎么可能会被他知不知道这个人的名字所影响呢？
500

同意上述观点。
500 这道题的一个解答是这样的：
设事件Ci=“汽车在第i号门后”，i=1,2,3.事件H=“主持人打开一扇有山羊的门”.
假定第一次选定了一号门，则由全概公式得
P（H）=P{H（C1+C1之补集）}=P(C1)P(H在C1的条件下)+P（C1的补集）P（H在C1补集的条件下）
因P（C1）=1/3，P（C1的补集）=2/3 ，P（H在C1的条件下）=1，P（H在C1补集的条件下）=1 ，代入得，P(H)=1(注：这说明主持人打开一扇有山羊的门的概率为一)。所以，P（C1 在H的条件下）=1/3。P（汽车在另一扇未打开的门后在H的条件）=1，P（C1在H的条件下）=2/3。
所以最后的结论是：改变选择得到汽车的概率为2/3，坚持原来的选择得到汽车的概率为1/3。
500

前面有个模拟，还有个 文档 ，你可 看看
500 P（C1在H的条件下）=2/3？
用条件概率公式亚
500

????
500 P（汽车在另一扇未打开的门后在H的条件）=1，P（C1在H的条件下）=2/3。
这里将其改为：
P（汽车在另一扇未打开的门后在H的条件）=1-P（C1在H的条件下）=2/3。
很抱歉，原来这一步写错了。

500

问题是概率不一样。
500

不服气？？！！
500

用WORD编辑，让大家看看。
500

作为主持人，她肯定事先知道哪些门背后是山羊的——这是一个前提。
500 AGREE!!
500 http://www.bioon.net/dispbbs.asp?boardid=1...6&star=1#230522
上面的人还百思不得其解，晕，真应该向咱们这里学习。我已经介绍给这些人了，也算义务了一回
500 问题的提法不严格

500

恩
确实是这样:)

500 这个问题很著名啊，小时候看过，还有好几种不同的表叙方式
当时我看的书上是说改变主意，概率会增大，具体解释我记不大清楚了
500

找到了
500 我也觉得雨人说得不错.....
500 概率应该有变化吧！问一下其他的高手了！
500 1号门背后为汽车的概率没变仍为1/3，
所以为了增加中奖概率应该舍弃1号门选择剩下的那扇门（2/3的概率！）
不知是否正确，还请指教
500 谢谢!
不过怎么是“认为”呢？
这不是你发的帖子吗？
难道没有答案？！
500 你不是西电的吧？！
前几天我的同学问过我这个问题，他也没答案！
500 我也试了在1/3附近摆动，你可以重试一下
500 是大于三分之一，但谁要能算出它的准确概率，那他可太牛了。

依据是大数概率总归会回归到三分之一，但第一次是羊，那么再选择同一个门，汽车的概率会超过一点点，微乎奇微的一点点。


阿晟
500 ok
500 概率应该没变，还是1/3。我用matlab仿真了一下。下面给出仿真程序，其中s2代表重新选择的概率，运算1万次，结果概率都等于1/3.

len = 10000;
s1 = 0; %represent for scheme 1, guest doesn't change his decision after emcee discolses a card
s2 = 0; %represent for scheme 2, guest may change his decision after emcee discolses a card

for i=1:len
list = zeros(1,3);
t3 = floor(rand*3);
list(t3+1) = 1; %'1' represent for 'car'

guess = floor(rand*3) + 1; %initial guess
s1 = s1 + list(guess);

sett = setxor([1 3 2],guess); %remaining two

emcee = randint + 1; %emcee randomly select one

if ~list(sett(emcee)) %emcee not hit
sett2 = setxor([1 2 3],sett(emcee));
guess2 = randint + 1;
s2 = s2 + list(sett2(guess2));
end
end

s1/len
s2/len
500 回小红帽：（我不知如何引用？）

仿真程序的结果是：0.3340 0.3357。
这个结果非常接近1/3，误差是由于计算机产生的随机数是伪随机的，同时我在程序中使用了floor这个函数，该函数是非对称的，可能导致概率分布在边界上有一点出入，改成round函数应该会好一点。

500 我试试看，能详细说明一下吗？
500 我想你大概是要拟合这两个方程中的参数k、a、b吧。

我用matlab的Curive Fitting工具箱做了拟合（matlab 6.5版才有），下面是结果，老实说用你给出的方程去拟合数据效果并不理想，不如直接用多项式去拟合，当然这两个方程可能是有其实际意义的又令当别论了。

注：拟合曲线是以天数为横轴，纵轴分别是归一化的种群数和开方值。（归一化是将最大归一化为1，即 new_种群数 = 种群数 /max(种群数)）；另外由于你给的数据中，下降阶段只有一个点，所以没做下降阶段的拟合，并且拟合时剔除了最后一个对应下降阶段的点。

对种群数的拟合结果：

x(t)=110.7/(1+99460*exp(-0.0322t))
rmse(rooted mean square error) = 0.0916 (这个误差大了点）

对开方的拟合结果：

x(t)=101/(1+100100*exp(-0.03478t))
rmse = 0.1039

拟合曲线见图，下图为误差
500 开方拟合曲线的图（没办法，一次只能一个附件）
500 我想你大概是要做关于棉蚜生长的蒙特卡罗模拟，然后再由模拟得到的数据去验证逻辑斯蒂方程，是吗？
这样的话，需要对棉蚜生长及相应的生态环境建立准确的模型，我不是学生物的，不懂，有了模型的话，剩下的事相信大家都会做了。
现在大多数工作都难在最初的建模分析上！
500 其实，我理解蒙特卡罗就类似穷举法。（当然这很耗时，于是在仿真方法中有一种叫“重要点采样”的方法，可以对大概率事件进行重点仿真，加快速度）

以对上面猜奖的模拟例子来说，我知道了猜奖这个过程中所有随机事件的分布，即观众猜奖的概率分布，主持人猜奖的概率分布，在这个简单例子中都为均匀离散分布。那么仿真时，只需按照已知的分布产生相应的随机变量（如果是复杂分布的随机变量产生问题，我在另一篇帖子里提了Papoulis书上有介绍），再将这些变量按照系统的传输函数组合起来，就得到了输出。
于是做模拟需要的是对系统的充分了解和分析，确定影响系统输出的变量，及相应分布，剩下只是编程问题而已。

我知道这里说起来简单，做起来可有难度。大家共勉吧。
500

概率应该是一样的，文中计算有误：文中计算条件概率时，是在已知左边为羊的情况下计算的，而计算第一次猜中和未猜中的概率时，是在不知左边为羊的情况下计算的，背景不一样，不可用全概率公式。若也在已知左边为羊的情况下计算第一次猜中和未猜中的概率，则两者都为二分之一，再用全概率公式计算两种策略下第二次猜中的概率，概率仍然相等。
这是一道故意迷惑人的趣味题。
500

不可过于迷信书本，书上也会错。特别是近些年新出的非专业性的书。
500

我想你用的是逆概率公式？可推不出P（C1在H的条件下）=2/3呀，可否把证明过程补全了？对H=“主持人打开一扇有山羊的门”的理解前后一致吗？

500

1、根据你计算出“P（C1 在H的条件下）=1/3”的方法，H=“主持人打开一扇有山羊的门”是指这一已经发生的动作，并将其作为一个必然事件来用。那么在全概率公式和条件概率公式中它可以用任一必然事件来替换。
2、“P（汽车在另一扇未打开的门后在H的条件）=1”中的“另一扇”是区别于游戏者打开的门还是主持人打开的门？
3、你先算出“P（C1 在H的条件下）=1/3”，然后又算出“P（C1在H的条件下）=2/3”，如果这里的H是同一个概念，显然自相矛盾，应该有个解释。用条件概率公式我还是没能算出P（C1在H的条件下）=2/3，P(C1*H)并不等于2/3呀。我觉得在你的“P（C1在H的条件下）=2/3”中的H的含义变了。
4、根据原题目的意思，不妨把游戏者一开始猜的门称为第一扇门，主持人打开的称为第二扇门，留下的一扇门称为第三扇门。这样，游戏者不改变主意，猜中汽车的概率是P（汽车在第一扇门后|第二扇门后为羊）；游戏者改变注意的话，猜中汽车的概率是P（汽车在第三扇门后|第二扇门后为羊）。所以游戏者改变主意是否有利，与你算的P（C1在H的条件下）没有直接关系。当已知主持人打开的门后为羊时，无论游戏者改变还是不改变注意，猜中汽车的概率都为1/2。
5、这个问题最常见的误解，是将游戏者不改变主意时猜中的概率误用P（汽车在第一扇门后），改变主意时猜中的概率用P（汽车在第三扇门后|第二扇门后为羊），这样不改变主意时猜中概率误为1/3，改变主意时猜中概率为1/2，从而认为改变主意更有利。
500 希望大家把问题看清楚了再讨论。这里一些不同的意见是由于对问题的理解不同造成的。这样胡搅蛮缠下去，虽然帖子的数量上去了，但会让头脑清醒者对这里失去兴趣。
500 原来猜中汽车的概率为1/3
除去一扇门后，如果重新选择，那么猜中的概率为1/2
因此重选
500 如果1000扇门里出去一扇门有没有必要换？
500 我觉得换不换意义不大，反正剩下的几扇门里抽到汽车的概率是一样的，那又何必再换呢？
500 在未去掉门之前，每扇门里藏有汽车的概率是一样的，那么如果剩下n扇门，每扇门里藏有汽车的概率依然相同（虽然概率大小可能有所变化）。难道其他的门里藏有汽车的概率大于已选中的吗？
500 我还是觉得汽车在每扇门中出现的概率是一样的，不管概率是否变化。去掉几扇门只能说明被去掉的几扇门里没有车，但剩下的几扇门里出现车的概率还是一样的。
500 我想能不能这样来理解？
假设：
在主持人开了一扇门后请一个完全不知情的人来重新选择，这时他可以选择第一次选的那扇门，也可以选择第一次没有选的那扇门，那么这两种选择方式就可以代表：坚持和另选这两种情况。
既然这样，重新选择时，这个人应该知道：两扇门里一扇有车，一扇有羊，这时对他来说两扇门后出现汽车的概率是不是一样呢？我想这个出现汽车的概率应该不会受到选择者知不知情的影响吧。
500 我又仔细想了想，我前面说相同好像错了。
如果不换，那么代表抽中的概率不变，如果换，那么代表否定原来的猜想。
原来抽中的概率为1/3，否定原来的选择即认为另两扇门中有车，那么选中的概率为2/3，因此应该重选。
前面我没有考虑到主持人打开一扇门是一种提示，因此知情后选择应该是不同的。
500 这个问题我在某本书上看到过，该书的作者用了一系列的例子说明即使是受过高等教育的知识分子也常常会在有关概率的问题犯直觉上的错误。
500 关于这个问题的提法我看到的是：
当参与者选中一扇门后主持人从其它两扇门中的一扇门后牵出一只羊，然后会问参与者他是否要改变原来的选择。
这个问题确实比较有迷惑性，开始我的想法是应该改变选择，后来问过一个教授，他的回答是没有必要改变，后来我想，答案确实与思考问题的角度有关，详述如下：
一：从旁观者的角度考虑：
一方面可用条件概率来思考：
改变主意中将的概率=开始选中汽车的概率1/3*0+开始选中羊的概率2/3*1=2/3
不改变主意中奖的概率=开始选中汽车的概率1/3*1+开始选中羊的概率2/3*0=1/3
因此应该改变选择；
另一方面可以这样考虑：如果改变选择则：
换成羊的概率=开始选中汽车的概率=1/3
换成汽车的概率=开始选中羊的概率=2/3
因此，改变主意得到汽车的概率更大。
二：从参与者的角度考虑：
第一次选择选中汽车的概率很显然是1/3;
当主持人牵出一只羊后，参与者面对两个相同的门，此时他选任意一个门，得到汽车的概率都是1/2，因此，对与他自己来说，改变选择与不改变选择得到汽车的概率是一样的。

当然究竟哪一种角度更适合做问题的答案，大家来讨论一下吧！
500 关于小红帽提出的三人同牢问题，我想也要从不同的主体的角度来看待：
从看守的角度看：亚当在知道获释的一人姓名前后认为自已被判死刑的可能性会有变化；
从亚当自已来看：他一直都面临着两种等可能性的命运：死刑和获释，因此是否知道一个获释人的姓名是没有区别的。
500 这个问题我知道怎么回事了，只不过没有数学公式编辑，写不出来。重新选择并不会出现对自己有利的结果。
500 我只说一个大概，现在还不能发图片。
为什么那个成海燕算出来调整选择后选中汽车的概率为2/3，（原先的为1/3）。我开始看了他的推论过程确实没什么错误的地方。可是他没考虑这样一种情况，那个主持人不是一定能翻出一张是羊的扑克。他的算法就是认为那个主持人一定翻出的是羊。问题出在这，不知道你能懂我的意思不？
500 有疑问的话，就发个Email给boss，在让他贴
500 第二次选择时，概率应变为1/2，偶做这样的游戏几百次了
500

什么著名，这个问题很无聊，第一次选的目标在第一次的选择中占1/3的比例，。
第2次即便是不变选择，该目标在第二次的选择中仍旧是1/2的比例
500

完全同意雨人的意见!
500

知情者比不知情者更有优势。贝叶斯原理告诉我们，在新的观测出现的时候，可以用贝叶斯定理把先验概率转换为后验概率。当然，在正确可靠的知识的纠正下，后验概率比先验概率更真实地反映了事实情况。

主持人打开一扇门告诉我们这里面是羊，就给了我们一个重要信息。利用好这个信息对原始猜测进行更新，就能更好的逼近真实情况。
500

此为正解
500

概率不可能一样，我认为你写的程序有问题，我也写了一个matlab程序，得到的结果是1/3和2/3。

========================================================================
clear all;

N = 10000; % 实验次数
wintime1 = 0; % 胜利次数1
wintime2 = 0; % 胜利次数2

for l = 1:N % N次实验
car_d(l) = ceil(3*rand); % 车随机放在 car_d 号门后

first_select(l) = ceil(3*rand); % 玩家随机选择 1 2 3 中的一扇门

% 主持人打开放了羊在背后的门 compere_open
for k = 1:3
if (k == car_d(l)) || (k == first_select(l)) % 把背后为车的门号和玩家选择的门号排除
continue;
end
compere_open(l) = k; % 主持人选择打开的门号
end

% 玩家做一次改选
for k = 1:3
if (k == first_select(l)) || (k == compere_open(l)) % 排除初次选择的门号和主持人打开的门号
continue;
end
second_select(l) = k; % 改选后的门号
end

if first_select(l) == car_d(l)
wintime1 = wintime1 + 1; % 不改变选择的胜利次数+1
end

if second_select(l) == car_d(l)
wintime2 = wintime2 + 1; % 采用改选的胜利次数+1
end
end

win_first = wintime1/N % 不改变选择的胜利概率
win_second = wintime2/N % 改变选择的胜利概率

=================================================================

有人也说了，网上也有很好的模拟程序http://www.grand-illusions.com/simulator/montysim.htm
500 若改变选择，本质上是他在第一次时选了2个门，概率自然是1-1/3=2/3，
但是若不换，则是代表自己的概率由1/3，变为1/2
500 斑竹说得很有道理，严重支持
500 问题的关键是
主持人打开不是参加者选择的门
这一行为
是不是对后面的统计造成了影响

支持概率不变的 把前后割裂开来看
支持改变概率变大的 把前后一起看
500 重新选择当然概率会大一些，但重新选择不一定要改变选择。
500 天啊，怎么到处都是这个题,还到处都有一大票人错.
得汽车概率是
不换 1/3
换 2/3
请某些人不要用文字歧义，篡改题目,来为自己的答案掩饰
500 这个问题是概率论中著名的蒙蒂 霍尔（mondy hall)问题，在上个世纪曾迷惑过一批数学家
通过实际模拟（如用扑克牌来实践）和用计算机模拟都可以明显地得出答案。
最初选择正确的门的概率的1/3，当羊被展示后同样如此，因此在另一个门中奖的概率就成了1-1/3=2/3。
解决它需要理解统计学中的“独立性”。所谓“独立性”就是对于被分析的对象，将其至于一个只考虑在一个绝对理想的完美空间。我们知道几个独立的随机事件同时发生的概率，只需要把他们各自的概率相乘就可以了。当讨论问题的门有足够多的时候（定义门的个数为n，分别考虑n=2，3，4，5，6……）这个问题就不是很简单了，我们会看到一个正态分布。
——我的设想，有计算机好的可以帮着模拟一下！
500 哈哈.
此问题确实是有点意思.
那些认为换不换无所谓的,请看一个极端的情况.

如果是摸彩票,10000张里面只有一张有奖,现在你摸了一张,一个知道内幕的人把余下的9999张里面打开9998张没有奖的,(这肯定做得到).然后给你再一次的选择机会,问你会不会换掉最初的选择.

当然换了,除非你一开始就撞大运了,那你换了后没奖,那只能怪你运气实在太好了.选择换的,就相当于一次包了9999张彩票,这还不中,运气确实不错,你也没什么好遗憾的.

这个问题,Erdos这样的大家直觉上都出了错,所以......没做对,也很正常.
500

为什么是正态分布，你说的是什么的分布？
500 发现很多人还是觉得换不换都不影响概率呢

真是头疼


500 楼上的 你还是没弄懂
500 概率没有变化，
还是三分之一。
500
改变主意，概率变为2/3
可以从极限角度考虑，假设原来的门特别多，则你选中汽车的概率特别小，而当也只剩下两个门时，则改变注意得车得几率就将近时1 了
500
看了一下午这个问题，开始我也认为和《科学美国人》的贝壳问题一样，开门或者翻开贝壳后不影响概率，另外，对于A的概率继承下来，B和C的概率转加到C上这种说法也不知道对错。而“雨人”说的全概公式要在同一范围内使用也觉得有道理。
后来研究过历史以后发现了问题的实质，下面我来分析一下：
1.结果是A：1/3，C：2/3，这是正确的
2.有疑惑的人多是对概率是固定的说法不能接受，有的认为环境变了，需要重新考虑，变成了1/2。一个很流行的例子是通过分组来说明，100个门，选择一个，打开98个，剩下的那个的概率是1/2还是99％？实际上，把门分为两组，你选择的一个概率只有1％，有99％的概率在其他门后面，这之后只不过执行了把那一组门后没有汽车的打开这样一个动作而已。
3.这个改变选择在初始情况下应该是1个对2个的切换，如果从整个系统概率的角度来考虑，转加概率的说法是可以接受的。
4.至于那个全概公式是否正确，关键仍然是前面所说的，1/3的概率不会受到影响，变为1/2，所以按照1/3计算是可以的，不属于不同范围。

网上实际上有很多模拟器了，比如下面这个：
http://www.grand-illusions.com/simulator/montysim.htm

500 我觉得 这是不是应该符合伯努尼分布呢，简单计算一下，应该是在1/3附近。我是新手：）
500 我想问一下高手，如果他不选择重新抽取，这时候２号门内藏有汽车的概率是多大呢？ 顺便问一下我这问题是不是有些猪头？）
500 感觉是改变主意好一些
500 概率为1/3


500 概率为1/3

500 你可以这么看，假设一个盒子里面有红，黑，白三个球，当你取出一个球之后，不放回原地，继续取出。你看以后取出球的概率变了吗？

500 哇 看了很久 快疯了！
但是心里总觉得应该是无所谓换不换的， 可是我没有办法说服自己呀！
500 重新选择的概率大一倍。见附件
500 这个问题在于主持人自己知不知道哪个门后面是汽车
1，如果支持人知道，那么相当于她在剩下的2个中去掉了一个错误答案，那么换得几率会变大。
2，如果主持人不知道，那么在1/3的情况下会被主持人选中汽车，换不换机会均等

这个结果可以通过计算机模拟出来
500 这个问题要这样想: 最初选择是车的概率是1/3, 是羊的概率是2/3.
你坚持首选，最后得车的概率还是1/3， 得羊还是2/3

改变首选， 如果首选是车，结果车变羊，概率为1/3. 首选是羊，改变后羊变车，概率为2/3.

结果是当然要变你的首选。

主持人开一扇羊门是在你首选之后，不影响你首选的概率分布，这个道理要想清楚。
500 很多人认为当主持人打开一扇羊门后，剩下两扇门有车或有羊的概率就是1/2,1/2了，大错特错呀！ 剩下那两扇门是不一样的，你首选的那扇门有车的概率只有1/3, 另一扇有2/3
500 概率变了
起初是1/3
后来由于主持人开了一扇门。那末现在他有两种选择，如果换，概率大了就是2/3了
否则还是1/3

500 很简单啊，肯定要重新选啦
问题关键是不知道主持人是否有意选中后边藏羊的门。如果是有意，换不换都一样；如果是无意，就得换了。所以该重新选啦
500 我认为那位嘉宾不要改变注意.
因为如果他放弃的话,只有50%的可能性选中汽车.
若他不改变,因为主持人选中了山羊,在很大程度上他选中的是汽车.不管怎么说,他若是不改变的话,选中的可能性也有50%,还应加上他第一次没选中汽车而主持人选中了山羊的概率,即加上(2/3)*50%,也就是说他选中的是汽车的概率是50%+(2/3)*50%.不知我说的对否,还望大师们加以指点!
500 换不换都一样，最初3选1即中汽车概率为1/3，随着时间变化，在1号门和另外一扇门之间选择（如果选择主持人打开过的那扇门，那么不是傻帽就是白痴，也就没必要讨论什么概率了）2选1既概率为1/2。
500

关键就是这句话,老实说我还没相通,不过试过那个模拟器我已经相信了,改变主意选对的概率实际在66%~70%之间....
500 一点也不有趣，你是否改变主意，概率是不会改变
500 主持人有 1/3 可能选中汽车与否不影响概率的计算。实际上主持人应该100%知道汽车所在位置
500

事实上，这就好比投10次硬币再投一次投到反面的概率是1\2而不是2的11次方分之1一样

这句话已经讲明了一切
500 概率要发生改变的，是概率和条件概率的关系，第一种选择是1/3的概率，第二种是2/3的概率。这是一道经典的题目，有一本书叫《随机性》上面好像专门讨论过。当然，书本上的东西未必就是正确地，但是我觉得它分析的还是有道理的。
500

我这里有正解，但是文件有点大，937kB，无法上传。
500 概率是不变的,以前在一本数学杂志上看过,好像是中等数学还是什么的
500 要好好想想，我以前在一本数学杂志上见过，印象很深，有很多著名的数学家都在这里犯了错误，这个问题最初是在1本美国的数学杂志上，当时就引起了很大的争论，看来在这里也一样，有很多很厉害的人都犯了错，概率是不变的，所以应该改变选择概率才更大，你要假设它是正确的再想方设法证明它的正确性，要很有耐心，否则就会犯错误，这个概率不变后来已经被数学家接受


对不起，我之前看错了，我还以为hhhh31415926是同意不换的，所以反驳了他，其实他的观点是对的，而我却又朝错误的方向去想，实在是粗心的错误
500 刚才算了一下

其实你的编程中已经暗含了一些假设

1)把背后为车的门号和玩家选择的门号排除
2)排除初次选择的门号和主持人打开的门号

当把这两个假设考虑进去,那么概率恰如你计算的结果




而以上认为概率不变的讨论,暗含的假设为:

主持人有 1/3 可能选中汽车


500

那这个主持人rp一定很高
500 应该换，那个主持人说的
想象多次试验可以得出结论。
500 我觉的应该重新选择！因为选择的概录更高。
500 事情发生前1号门汽车的概率为1/3,其余2扇门为2/3.
事情发生后1号门汽车的概率仍为1/3;其余2扇门仍为2/3,而其中一扇门已被打开,另一扇门
则变为2/3.
接下来的问题便是1/3与2/3的选择了.
结论:应该重新选择.
其实任何问题并不是靠理论推倒就能下肯定的结论.实践才是检验真理的唯一标准.我们不妨取两个苹果一个梨来模仿“玛利亚幸运抢答”,多做几次结论自然便会出来.
勤劳才是真正的智慧.
500 我算出来了,都是1/3,概率没变,解答如下:
解:设Ai={i号门为小汽车，i＝1,2,3} C11, C12中的数字是垂直写下来的
[1]主持人没开门之前,一号门背后是小汽车的概率
　　P(A1)=(C11*C12)/(C13*C12*C11)=1/3
[2]在主持人开２号或３号门不是小汽车的前提下，一号门背后是小汽车的概率
P[A1∣(A2非∪A3非)]=P[A1(A2非∪A3非)]/ P(A2非∪A3非)
=P(A1 A2非+A1 A3非)/P(A2非+A3非)
={P(A1 A2非)+P(A1 A3非)-P(A1 A2非 A3非)}/
{P(A2非)+P(A3非)-P(A2非 A3非)}
∵P(A1 A2非)= P(A1 A3非)= P(A1 A2非 A3非)=P(A1)=1/3
P(A2非)=C12/C13=2/3 P(A3非)=C12/C13
P(A2非 A3非)=P(A1)=1/3
∴P[A1∣(A2非∪A3非)]=P(A1)=1/3
∴前后概率没变，为1/3

徐杉 上海水产大学 农林经济管理03级 13671713068
500 请允许我引入一些经济学的知识来说明一下我的思路：
主持没有开门之前，对于游戏者来说赢的概率是1/3；
开门之后，相当于主持告诉游戏者：“你刚才的选择有可能是正确的。”
这个时候，对于游戏者来说，他/她知道三个选择中，有一个决不可能是汽车，因此他/她只剩下2个选择。这对他/她来说，这是一个与之前的决策无关的“边际决策”。此时，对于他/她来说，无论选哪一个赢的概率是1/2。

综上所述，主持没有开门之前，对于游戏者来说赢的概率是1/3；主持开门之后，对于游戏者来说，无论选哪一个，赢的概率是1/2。
而他/她选哪一个，是一个与之前选哪一个完全无关的边际决策！
500 主持没有开门之前，对于游戏者来说赢的概率是1/3；主持开门之后，对于游戏者来说，无论选哪一个，赢的概率是1/2。
“边际决策”的意思是这个决策的依据仅仅是你目前所面临的选择，而你考虑以前的所有东西都是没有必要的，它们都是已经“沉没”了的。这个道理就像有人炒股票，买了以后跌得不得了，但他仍不肯卖出，因为他觉得高价买的，现在卖了就亏大了。其实决定卖与不卖的条件，应该是你对股票未来价格的预期，而不是你在它什么价位买的！
所以我觉得算来算去，争论开门前后概率有没有变化好像意义不大，因为两者是否相等，对于一个理性的游戏者来说，与游戏者在主持开门之后的决策是无关的！无论他换还是不换，成功的概率都是1/2。
虽然概率是变了的，但换与不换对于游戏者来说成功的概率是一样的！
500 这题注定就不是什么难题。也不是什么诡秘的难题

因为涉及命题的元素少；
涉及计算的数字小；

所以也不是什么难题。
本人觉得这个题目涉及命题的元素没有给足，就是有些条件你不知道！

你不知道，关上门以后，1号门 和其它门 之间的物件，是否调换；
就是电视台由于节目成本，是否只考虑达到了节目渲染气氛，但并不愿意买账而作弊

所以这个题本身没有什么有趣的，很简单的一个题：1/3 和1/2，就是1号门关上后不调换和不作弊的结果。有什么值得讨论这么久。

命题的元素没有给足。商业宣传的东西，怎么这么傻去套公式，晕倒~~
500

Monty Hall 问题是个对策论问题，不是概率问题
这个题题意表述不清楚，没法作答 502 对于正整数n用p(n)表示n的各位数之和。已知p(n)=n/74,求n.. 502 做一下过过瘾!My Webpage 502 好象很简单啊
502 是1998吧！ 502 对的，谢谢 502 由题意知道n是７４　　的倍数，然后再试就行了 504 名人成才的启示

王梓坤



中国科学院院士，前北京师范大学校长

南开大学概率论与数理统计的奠基人

王梓坤先生1952-1984年任教于南开大学数学系，其间1955-1958年赴（苏联）莫斯科大学攻读概率论获得副博士学位；1984-1989年任北京师范大学校长；1991年当选为中国科学院院士。

　

　



时间：4月7日（星期三）下午4：00

地点：数学楼二楼第一讲学厅

为庆贺王梓坤院士的寿辰，南开数学学院将于本周末举办概率方向的多场报告会！

欢迎参加！！



504 IT‘S PITY，I HAVE NO TIME TO LISTEN TO THAT LECTURE！ 505 不定方程a^4+b^4=c^4 (a,b,c不全为零)无整数解. 505 确实有关,但究竟怎么做???? 505 就是用初等数论中的a.^4+b.^4=c.^2无解的证明啊
书上有解答
505 我只是高中生，是不是用无穷递降法． 505 这是一个费马大定理有关的问题，在有些书里面提到过 505 这个问题好象与费马大定理有关。 505

在潘承洞的 初等数论 一书上有该题目的解答了！ 505

高中就搞得这么深,后生可畏呀,呜呜~~~~~~~~ 506 对于任何正整数ｎ≥３，存在一个数ｆ（ｎ），使得当且仅当ｍ≥ｆ（ｎ）时，平面上任意一个无三点共线的ｍ个点组成的集中有ｎ个点围成一凸ｎ边形．猜测ｆ（ｎ）＝瞊(ｎ－２?)＋１． 507 二重积分的一个课件：）

507 右键，目标另存为。

507 同意！积分就是要强调多做，死做题，你自然而然的就会把基本概运算技巧掌握了 507 我感觉到要学好这个,还是得把概念弄懂,能用数学语言描述,加之做做吉米就差不多了. 507 积分一直是高等数学的核心内容，在下册积分更多，有重积分、曲线积分与曲面积分。另外还引入了第一型积分与第二型积分的定义。因而成了学生学习的重点与难点之一。那么怎样学好积分这块内容呢？希望大家多多提出好的意见！ 507 哎呀，好东西，不错不错！ 507 刚才还是想办法用FLASHGET给下了，谢谢你！ 507

同意彗星的意见！ 507 举几个例子，下课一周二三十道习题。学生叫苦也好，骂娘也好，逼着学生学习。
对，逼着做习题好，不练出不了真知 507

太谢谢你了，正是我需要的，找了多长时间都没有找到，今天收获大了！

还有没有其它的，烦你慷慨解囊一下。 507

举双手赞成！现在学校领导就知道让学生给老师打分。可是有些学生根本就没有娶上几次课，根本对老师讲课的好坏就没有发言权！
如果高校领导能教职工像学生给老师打分一样给学校领导打分该多好啊！ 507 积分是个技巧问题。多做题目许多tricks自然就明白了。

国内有个毛病，喜欢弄这课件那课件的浪费学生时间。其实老办法最好。上课讲概念，举几个例子，下课一周二三十道习题。学生叫苦也好，骂娘也好，逼着学生学习。

只要老师行得正，学生不会恨老师的。日后用到积分的时候会记得有一个特别厉害的数学老师，使他们学到了不少东西。

国内的高校领导真的是出毛病了。学生一叫苦，老师就挨批评。 507 我觉得要充分理解“元素”，比如 面积元素，质量元素。积分就是求这些元素的和。
理解后像二重积分既能积体积又能积面积这样的问题就自然解决了。
507 我也同意楼上的发言，在作题中才能发现更多的问题。
谢谢楼上提供课件。 507 首先掌握基本的积分公式，
然后要掌握积分中的变量替换。
曲线曲面积中参数法是最基本的，GREEN和斯托克斯公式的理解和掌握。 507 咋下不了啊？谁好心给我发一份啊
www.tonnye@163.com 508 谁介绍一下微分方程的初边值问题的小波解法方面的东西？ 509 12年后重温微积分 509 看看大师的角度如何研究问题！！ 509 这个讲稿在南开数学的ftp上就有啊！不会那么难找吧？
有关数学的ftp好多都有的 ！


能否提供一下地址啊？！ 509 确实不错，o有幸听过。 509

羡慕ing 509 谢谢！ 509

幸福啊 509 陈省身的大师，八十多岁还主讲了微分与积分，希望大家参考老人家的思想，将微分与积分学好，学扎实。 509 接着上次的。 509 接着上次的。 509 接着上次的。 509 接着上次的。 509 接着上次的。 509 评论一下呀，到底如何，与实际上学的内容一样吗？ 509 “向”是否体现在（dydz,dzdx,dxdy）上呢？我们记得，计算曲面积分时，dydz在画成重积分相应部分时，由向可定出其符号，然后直接画成重积分。 509 为了新生，这个主题置顶， 509

用adobe reader 软件 509 刚看完1
还不是很理解....
但是提到的外代数和外微分,很有趣啊....

但我没想到怎么反映积分区域的向呢?

如:

d(Adx+Bdy+Cdz)=(B'_x-A'_y)dxdy+(C'_x-A'_z)dxdz+(C'_y-B'_z)dydz (1)
这是在外微分下得到的..

如果对(1)积分换成普通意义(dxdz=dzdx)
得到

(B'_x-A'_y)dxdy+(C'_x-A'_z)dzdx+(C'_y-B'_z)dydz (2)
________________~~~~~~~~~~~~~~~
用课本得到Stokes公式是

(B'_x-A'_y)dxdy+(A'_z-C'_x)dzdx+(C'_y-B'_z)dydz (3)
________________~~~~~~~~~~~

这样就没有体现"向"了?这里我不明白...
望指点啊.... 509 好文! 509 《陈省身谈微分与积分》第一讲
-------------------------------------------------------

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{CJK}
\usepackage{CJKvert}
\begin{document}
\begin{CJK*}{GB}{song}
\begin{center} {\Large \bf 第一讲\quad 微分与积分}\end{center}
\begin{center} 2001年10月11日\end{center}
\section{微积分的起源: 牛顿与莱布尼兹}
讲到微积分,最要紧的两个人是牛顿(Issac Newton,
1642-1727)跟莱布尼兹(Gottpied Leibniz, 1646-1716),
微积分就是他们发现的. 关于牛顿, 有兴趣的是他做这个工作是
在学生的时候, 也许比你们的岁数还要小, 那个时候,
也就是17世纪那个时候, 分 瘟 疫很厉害, 欧洲死了很多人.
他在英国剑桥大学, 因为瘟疫的关系, 学校放假了, 他就
回家在家里做关于微积分的这些工作.
莱布尼兹是一个各方面都非常优秀的人, 数学是 他的兴趣的一部分,
他的兴趣到宗教、法律各方面都有. 他们两人之间有点争论, 是因
为争论谁是微积分的发现者. 这个争论是不幸的, 也没有什么意义.
实质上是莱布尼兹 头一个发表关于微积分论文的人,
他的论文在1684年发表. 牛顿做这个工作早于莱布尼 兹,
而 巢寄嶙 发表论文早于牛顿,
牛顿有了这个工作后没有发表什么任何的东西. 而
莱布尼兹不但发表了这些东西, 同时还引用了一些符号,
也许我们现在还在用. 那么后 来两个人有一个争论,
大概都是跟数学没有关系的人在那里造成的情况, 这不是一个什
么有意思的事情.
\section{微积分基本定理}
微积分是数学里头很重要的方面.
至于什么是微积分呢？我想微分的发现跟笛卡儿发现 坐标非常有关系,
因为笛卡儿发现坐标之后, 数学主要的目的就是研究函数, 研究两组
数的关 系, 有种种的关系. 我们知道, 函数有种种, 有线性的, 非线性的,
三角函数等种种函 数,那么要怎么样地研究函数的性质? 我们都知道,
函数可以用曲线来表示, 如$y=f(x) $ 这条曲线. 在这条曲线的每点,
如果它是可以微分的话, 那么它在每点有个切线. 微
分就是把这个曲线用它的切线来研究它的性质.
所以也等于说它是把函数线性化, 线性 化之后, 可以加、减、乘、除,
可以计算, 因此可以得到数出来. 数学要是能够得到数 出来,
总是很要紧的. 所以微分大概是说用曲线的切线来研究曲线的性质.
积分来得早了,因为积分实际上大致讲起来, 它是要计算面积.
那么假使平面上有一个区 域, 由曲线来做为边界, 它的面积有多大,
圆周的面积有多大, 这里的问题是积分的开始, 也是积分重要的目的.
因此, 实际上, 积分的发展在微分之前. 积分当时也没有一定的 定义,
积分就是有个极限的观念. 曲线所围城的区域一般想法子用直线来逼近,
使得逼 近的曲线趋于你的边界的时候, 就有个极限, 就是这个区域的面积.
所以, 总而言之, 积分的发展在微分之前. 中间这两个问题好象没有关系,
但是其实这关系非常的密切. 积分差不多是微分的反运算. 比方说,
假使你求这条直线跟两条垂线所成区域的面积, 这两条垂线,
一个是$s=a$,一个是$s=x$, 你要去算这个区域的面积, 是个定积分$\int
_a^xf(x)dx$, (读作$f(x)$定积分从$a\rightarrow x$).
这是当年莱布尼兹的符号, 这 个积分的符号记成这样,
因为积分总是代表一个和, $\int$代表和(sum). 假设面积一边 由$s=a$
的直线作边界, 另一边是任意的$x$, 你把$x$这条直线移动的话,
就得到一个 $x$的函数, 这个函数, 我叫它$A(x)$, 就是我图上的面积,
是个积分, 所以它是一个数 目, 与$x$有关, 所以是$x$的函数.
这个函数跟曲线方程$y=f(x)$这个函数有密切关系 .
为什么有密切的关系呢？很简单地看看,
假如求$A(x)=\int_a^xf(x)dx$的微分, 求它 的微分嘛, 就是说,
求$s=x,x+\delta x$ 所围成的这个小条区域的面积. 现在如果你拿
$\delta x$除的话, 我想很容易看出来了, 这个极限就是$f(x)$.
所以很容易看出来$A (x)$这个函数的微分就是$f(x)$, 因此
$$\frac{d A(x)}{dx}=f(x).\eqno(1.1)$$
这就是微分同积分的基本的关系. 这个关系说$A(x)$是一个积分,
求它的微分的时候, 就得$f(x)$. 这个一般地, 叫做微积分的基本定理.
我从前在南开念微积分的时候, 始
终不懂为什么这是一个微积分的基本定理, 因为一般地把这个关系式写成
$$\int f(x)dx|^b_a=\int^b_af(x)dx \eqno(1.2)$$
形状. 左边积分是个不定积分(indefinite integral), 不定积分是个函数,
左式是函数 在$b$的值减去函数在$a$的值, 等于这个定积分(definite
integral). 所以从这个关系 知道要求积分的话, 只需要求一个函数,
它的微分是已知的,就是$f(x)$, 即微分是已知 的.
所以这样微分跟积分连起来了. 互相的, 积分等于微分的反运算,
有了$f(x)$, 要 找一个函数, 它的微分等于$f(x)$, 是个反运算.
因此微、积分有密切的关系.
\section{多元微积分}
上面讲的是一个变数的微积分. 下面讲高维的, 要多变数的. 多变数的话,
有新的现象 , 是什么样的呢？我想对于多变数的, 我们先不看别的,
先看两个变数的情形, $x$跟$ y$,
那么我们知道这个时候微分的观念的推广是偏微分,
等于$x$跟$y$分开求微分. 积 分的观念推广是重积分. 二重积分(double
integral) 是在2维的情形, 在高维的情形是 多重的. 先看2维,
2维的情形就有了区域, 我们叫它$\Delta$, 那么它的边界叫它$\gamma$.
所以积分的一个自然推广是一个2重积分, 普通积分把$x$分成小段,
然后取小段 再乘上这个函数, 求一个和. 在2重积分的时候,
方法也是把区域分成小块, 然后取每一 小块的面积,
在其上函数值乘上它的面积, 然后求它的和. 很不得了的, 假使函数好的
话, 无论你如何圈你的区域,极限是一样的, 所以这极限就是2重积分
$$I=\int\int f(x,y)dxdy.\eqno(1.3)$$
在2维的时候, 甚至高维的时候, 一个重要的现象是,
我们现在有2个变数$x,y$, 换变数 怎么样？所以我现在换变数,
换变数当然是在微积分里是很重要的一个办法, 因为很多
的问题是看你的变数是否选择得适当, 有时换变数, 问题就立刻简单化了,
就可以解决 了. 现在我换变数：
$$\left\{\matrix{ x=x(x',y')\cr y=y(x',y')\cr}\right.\eqno (1.4)$$
其中, $(x',y')$是另外一组坐标.
我们发现一个事实,在高维的时候,微分的乘法, 我们 写成 $dx\wedge dy$,
这是一个乘法, 怎么乘呢？ $dx\wedge dy$在微积分上是最微妙 的观点.
什么叫微分？什么是$dx$？这个是困扰了数学家几百年的事.
怎么样定微分的 定义跟究竟什么是$dx$, 这个很麻烦, 可以做到很满意,
不过把它讲清楚需要有一定的 时间. 所以我马马虎虎说有一个 $dx$.
在$dx,dy$这种微分之间要建立乘法$\wedge$. 什么叫$dx\wedge
dy$？这个问题更复杂了, 你如果$dx,dy$本身是什么都不清楚, 乘了
以后是什么东西更是一个很微妙困难的问题. 在这方面有一个大的进步,
就是引进外代 数和外微分. 假定 $dx\wedge dy$这个乘法是反对称,
$$dx\wedge dy=-dy\wedge dx.\eqno (1.5)$$
这个问题就清楚简单了. 因为乘法如果是反对称的话,当然 $dx\wedge
dx=0$. 事实上,
因为$dx\wedge dx=-dx\wedge dx$, 所以$dx\wedge dx=0$, 在反对称的乘法之下, 把
$dx\wedge dy$看成变数, 因为乘法是反对称的, $dx^2=0$, 所以就没有高次的东西了
. 这样得到的代数叫做外代数. 这个代数很妙的.
有一个立刻的结论：换变数公式为
$$dx\wedge dy=\frac{\partial (x,y)}{\partial (x',y')}dx'\wedge dy'.\eqno (1.
6)$$ 假使我们的微分用的是偏微分, 所以
$$dx=\frac{\partial x}{\partial x'}dx'+\frac{\partial x}{\partial y'}dy', dy
=\frac{\partial y}{\partial x'}dx'+\frac{\partial y}{\partial
y'}dy'.\eqno ( 1.7)$$ 现在用外乘法一乘, $dx'\wedge dx'= dy'\wedge
dy'=0$. 而$dx'\wedge dy'$因为乘法 是反对称的,
所以是刚好乘以$x=x(x',y'),y=y(x',y')$ 的雅可比$\frac{\partial (x
,y)}{\partial (x',y')}$, 这个符号是雅可比,
是四个偏微分所成的行列式, 所以
$$dx\wedge dy=\frac{\partial (x,y)}{\partial (x',y')}dx'\wedge dy'.\eqno (1.
8)$$
这个刚巧是我们重积分换变数的一个关系.我们知道重积分要是换变数的话,
它应该乘上 雅可比. 所以这个结论就是, 对重积分的Integral,
即积分下的式子, 把积分号丢掉, Integral是一个微分多项式,
乘法是反对称的. 所以假使多重积分有3维, 4维到$n$ 维 的空间,
多重积分的Integral可看成是外代数的多项式, 那么换变数就自然对了.
这里 头有一点微妙的地方, 因为通常, 你要证明换变数的公式的时候,
假定雅可比是正的, 不然的话, 乘上雅可比的绝对值, 使它是正的.
这个是高维几何微妙的东西, 就是空间 有个向(Orietation),你转的时候,
有2个相反转的方向. 转的时候, 假使改了方向的话 , 雅可比是负值,
因此我们一个结论是多重积分的Integral应该是一个外代数多项式,
是$dx,dy$的多项式, 乘法是反对称, 这样换变数完全可以对的,
当然我只做了2维的例 子. 高维是很明显的, 同样的.外乘法是妙得很呐,
是不会有高次的, 所以比较简单, 平 方一下,就是0.
\section{外微分}
上面讲了这么样一种关系, 甚至这关系还更要好,
我们讲高等微积分的时候, 一个重要 的定理是格林定理(Green's
Theorem). 就是说, 假使你有个区域, 在边界上的微分是可
以变为区域上的微分, 是一个一重积分和二重积分的关系,
这是个非常重要的关系. 比 方龚升教授有一本小书, 讲到这个关系,
他认为这是整个微积分的基本定理, 我是同意 的.
这样的关系现在通常写格林定理的时候, 往往是写成有积分,
$$\int_{\gamma}Adx+bdy=(\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}
{\partial y})dxdy.\eqno (1.9)$$ 如果有一个问题,
有时候你可以只管Integral, 不要管其它, 那么Integral就是把一个
一次微分式变为两次微分式, 这怎么变呢？公式定理是这样子:
我就引入一个外微分, 我们刚才讲$dx\wedge dy$ 是一个多项式,
是一个外代数的一个式子, 就象我们普通多 项式一样,不但如此,
对于这样的式子, 我们还可以定义它一个微分,
$$d(Adx+Bdy)=dA\wedge dx+dB\wedge dy=A_y dy\wedge dx+B_xdx\wedge dy.\eqno (1
.10)$$ 叫外微分(Exterior differential calculus). 外微分很简单,
假设有$Adx+Bdy$, 它的 微分就是微分它的系数, 也就是微分函数.
$A$与$B$是$x,y$的函数, 所以就微分$A,B$ .
$A$的微分就是$A_xdx+A_ydy$, $B$的微分就是$B_xdx+B_ydy$,
可是$A_xdx\wedge d x=0$ 就得到$A_ydy\wedge dx$, 第二项就得
$B_xdx\wedge dy$. 但是因为乘法是反对 称的, 所以就得$(B_x-A_y)$,
这是格林定理里头 2重积分的系数, 所以格林定理把单次
积分变成两次积分, 它的Integral实际上是个外微分.
可以看出外微分是很妙的东西, 因此你可以把积分号丢掉, 就说我们拿
$dx,dy$造一个外代数, 对这个外代数有个外微 分, 外微分很简单,
就是假使微分各项的时候, 其实是对每项系数微分, 结果我得到一
个多项式, 这个多项式的次数高一个. 作为函数就变为一次微分式了,
所以次数高一个 ,
因此就作为原来是$k$次的话,得到一个$k+1$次的微分式.
这个是格林定理中如何把曲 线微分的微分式变为区域微分式,
一重微分变为二重微分的公式. 这个就很好了, 因为 这里面有一个外代数,
所以把这个微分式乘起来, 用一个外乘法, 微分的乘法是反对称 . 然后呢,
现在我有一个微分, 它把$k$次的外微分式变为$k+1$次的外微分式, 这样子
就把这个外微分式中间给了一个新的结构, 可以微分,
这个微分跟普通的微分不一样, 它是把$k$次变为$k+1$次,
微分一般地总是加一次. 这个外微分是最早时候Frobenius,
Dauboux和我的老师Elie Cartan引进来的. 他们最初
引进这个观念是对于一次微分式, 是Frobenius,
Dauboux引入的一次微分式. 而Elie C artan是法国的教授, 是我的老师,
他恐怕是二十世纪, 也就是上个世纪最伟大的几何学 家,
法国巴黎大学的教授. 我想这种教授很是模范, 他不做别的活动,
专做数学, 时常 功课是完全新的. 有一年, 他给了一门课,
是《解析力学》(Analytical Mechanics), 他把外微分的观念从Frobenius,
Dauboux从一次式的定义推广到高次式, 所以整个的外 微分是Elie
Cartan引进来的, 这是有用的东西. 这个外微分有奇怪的现象:
是用两次之后等于0.
$$d^2=0,\eqno (1.11)$$
即这个外微分用两次等于0. 我们要证明(1.11),
就是对无论一个$k$次微分式, 微分一 次就变为$k+1$次,
两次就变为$k+2$次微分式, 它一定是0. 要证明这一点, 我证明对于
函数对了, 就行了. 所以我要证明对于任意的函数 $f$, 把这个$d$,
外微分用两次, 就等于0, 即$d^2f=0$ 就行了.
那么为什么呢？因为显然我要证明$d^2=0$, 只要证明$
d^2$作用在只有一项上对就行了, 这是因为它是线性的,
所以如果线性一项有这个性质 , 那么整个的和就等于0. 那么一项的话,
都是一个函数乘上一组$dx$, 我现在选$dx_i $, 就是假定在高维,在$n$维,
$x_i$就是$x_1$到$x_n$, 在高维时, 如果有一个函数$f
$,$f$是$x_1,\cdots, x_n$的一个函数, 对于这个函数, 用外微分两次,
一定等于0. 事 实上, 因为外微分一次就得到$a_i$是 $f_i$
对$x_i$的一个偏微分, 那么再用一次呢,
它的系数就是从$x_i$ 到 $x_j$微分$a_i$, $a_i$ 是$f$的对$x_i$ 的微分, 所以这
是$f$对从$x_i$到$x_j$的二阶微分:
$$d(a_idx_i)=\frac{\partial a_i}{\partial x_j}dx_j\wedge dx_i,\eqno (1.12)$$
这个函数对于$i,j$是对称的.
事实上我们知道一个函数微分两次的话跟次序没有关系,
是对称的. 如果一个对称的函数是$dx\wedge dy$的系数, 而$dx\wedge dy$是反对称的
, 那么它就等于0 了. $d$ 是一个外微分,
是对外代数的多项式的一个运算, 这个运算运用两次就等于0 了,
这是一个了不得的关系. 因为几何上讲, 假使你有一个区域,
你取这个区域的边界, 再 取这个边界的边界, 就没有边界了.
假使你取的边界是整个球, 那么球没有边界. 所以
几何上讲有一个运算求边界, 求边界的话, 用两次, 就等于0.
有一个区域的求一次边界 是一个很好的区域, 即不再有边界了,
这个几何的性质跟外微分的性质是对偶的. 求两
次边界一定等于0,这是个几何的性质; 求外微分两次等于0,
是个分析的性质. 这两个东 西不是两个互不相关的东西, 是完全对偶的,
是一回事. 一个边界通常用符号$\partial$表示, 边界两次等于0,
即$\partial^2=0$. 它跟外微分是对偶的. 这是一个了不得的 几何关系,
了不得的数学上的关系, 妙得不得了, 因为求边界是一个几何的问题, 更是
一个整体的问题, 一定要拿整个区域乘上边界,
但是求外微分是个分析的问题, 是个局 部的问题.
要外微分只要知道这个微分式在一点附近的性质就有了. 这一个局部的运算
跟一个整体的运算有这样对偶的关系是很难得的事情,
是一个重要的几何现象, 是重要 的数学现象.
为什么对偶呢？其实这就是格林定理的推广, 就是Stokes定理.
Stokes定理讲, 假使有 一个区域, 把它封闭上,
$\Delta^k$是这样一个$k$维的区域, 所以它的边界就是边界$
\partial \Delta^k$. 那么假使有一个微分式叫做$\alpha$, 它的次数是$k-1$(${\rm
deg}\alpha=k-1$), 于是我们就有这么一个关系: $\alpha$
在边界的积分等于$d\alpha$ 在$\Delta^k$的积分,
$$\int_{\partial \Delta^k}\alpha=\int_{\Delta^k}d\alpha.\eqno (1.13)$$
这是重要极了的定理, 通常用Stokes 名义. Stokes 是英国的应用数学家,
你们大概在 这个课中已经听到Stokes 定理. Stokes
定理就把两个普通的运算, 一个是等于区域的 边界的运算,
一个是等于外微分的积分, 这两个有简单的关系. 假使我们把外微分的积
分写成这个关系,
$$(\partial \Delta, \alpha)=(\Delta,d\alpha). \eqno (1.14)$$
这个外微分成一个矢量空间(Vector Space), 可以加减,
这个区域也是另外一个矢量空 间,也可以加减.
假使这两个矢量空间经过积分, 因此就有一个所谓的``对''(pair), 这
个矢量空间的一点和那个矢量空间一点连在一起是得到一个正数,
得到一个数, 那么St
okes定理就是说这个paring使得对$\Delta$的作用的算子$\partial$
与外微分$d$ 是伴 随的(adjoint), 是对偶的``对'',
这就是Stokes定理的意义. 高维时, 及任意维时都是
对的.龚升教授在他的小书里说, 这个是微积分的基本定理.
从它就给出我们普通微积分的基本定理. 因为假使$k=1$,
那么我们的区域是一个线段,
从$a$ 到$b$的线段, 这个线段就是$\Delta$, 它的边界呢, 是$b$点减$a$点.
$\alpha$ 在这里是一个函数, 上次讲的$d\alpha$是个积分,
在一维的情形就是用到直线上. 因此在一维的情形$\Delta$是个线段,
它的边界是$b-a$, $\alpha$是一个函数 $f$,所 以$d\alpha$是$df$, 于是
$$(b-a,f)=(\Delta,df)\Longrightarrow f(b)-f(a)=\int_a^bdf.\eqno (1.15) $$
这就是说函数在$b$点的值减去函数在$a$点的值等于$df$在这个线段上的积分,
这个就 是所谓微积分的基本定理. 也就是说右边是从$a$到$b$积分$df$,
左边就是$f(b)-f(a) $, 这就是我们的基本定理,
所以Stokes定理是微积分的基本定理在高维的推广. 因此在
多元的微积分里头也是个进步, 非常有用, 因为外微分包含很多材料.
有一个公式很容易证明的,
就是你把两个外微分的式子$\alpha$跟$\beta$相乘, 而求这 个的外微分,
$$d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge \beta+(-1)^{{\rm deg}\alpha}
\alpha\wedge d\beta, \eqno (1.16)$$ 这个公式很容易证明,
因为简单地只要假定$\alpha$和$\beta$都单项就行了. 这是由于
对于$\alpha$和$\beta$都是线性的. 假定它们都是单项的,
就可以写成$dx_1,\cdots, dx_k,\cdots,dx_n$,
前头乘个函数一算就可以得到了. 所以它们这个乘法之间和外微分
有这样一种简单的关系. 这个关系不但如此, 还可以更远的,
因为假使有一个运算,它的平方等于0, 这是很不得 了的,
这个就可以造一个除法, 有个商(quotient). 这样得到一个除法,
现在叫做同调 (homology). 现在许多数学的发展都是有个运算,
加两次等于0, 你就能造一个quotien t, 怎么样呢, 什么叫quotient呢?
就是你把所有的满足$d\alpha=0$的$\alpha$, 被所 有$d\betaβ$来除, 即
$$\{\alpha|d\alpha=0\}/{d\beta}.\eqno (1.17)$$
要是$\alpha=d\beta$的话, 因为$d^2=0$, 所以$d\alpha=0$.
因此你取所有的所谓的闭 形式(close form),
被可以写成$d$什么的东西来除, 就得到在数学里头用一个唬人的名
字叫homology. 也就是取所有的$k$次的微分式,
它们是封闭的(被$d$作用为0), 被所有 的$d\beta$的除, 造一个商结构,
这个商结构就叫做homology. 你可以用到这个$d$, 也可以用到这个边界.
用到边界的, 历史上, 是在拓扑里头, 先有 用边界的,
因为用的是$\partial$的homology 叫上同调(cohomology). 这是由于历史
的关系, 名字用掉了, 所以叫cohomology. 这个很厉害,
假使你有一个流形, 它是紧致 的, 它的cohomology form是有限维的,
这个有限维的维数叫这个空间的Betti 数(Bett i Number).
这是拓扑的内容, 单学微积分, 可以不必去管, 不过这个领域整个的有重要
的发展, 是近来数学的发展基本内容, 当然很要紧了.
你有一个很大的空间, 所有微分 式组成的空间大得不得了, 它有结构,
你可以加减, 也可以求外微分, 大得不得了, 然 后呢,
它有些几何的性质,取quotient, 这个quotient是有限的,
这个有限有个好处, 得 到数目有限, 是说有限维的维数是多少.
得到一组数, 这组数目就是这个空间的重要性 质, 因为得知Betti
数是一个整数, 有一群整数很要紧, 比方说, 球面,球面有这种Bet ti 数,
环面也有Betti 数, 它们是不一样, 下面 拓扑的人想法要证明这种Betti
数是 拓扑不变量, 因此拓扑在数学的运用中就要紧了.
\end{CJK*}
\end{document}

--------------------------------------------------------------- 509 《陈省身谈微分与积分》第二讲
-------------------------------------------------------

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{CJK}
\usepackage{CJKvert}
\begin{document}
\begin{CJK*}{GB}{song}
\begin{center} {\Large \bf 第二讲\quad 指数与对数函数}\end{center}
\begin{center} 2001年10月19日\end{center}
\section{本课的计划和目的} 还有几分钟,
我想趁这个机会讲一讲我的计划和目的. 我这个课的课时是8个小时, 但微
积分大得不得了, 微积分的范围很广. 不要说8个小时,
就是80个小时也讲不完的. 所 以我当然只能讲个大概,
尤其是介绍整个的有一些意义的问题. 至于详细的情形我没法 去多讲.
不详细的定义或者证明, 我想你们已经学过微积分,
所以我都不一定要给你们 参考书, 你们回去看一看自己以前用的书,
大概在书里找得到. 也有我的讲的范围和内容是书中没有的.
我觉得应该提一提微积分整个的影响或者是在 那些方面向前发展. 可以说,
微积分向前发展大概有两个最重要的方面. 一个是在几何 的应用.
微积分在微分几何的应用, 最早是Gauss. Gauss也许不是最早的,
应该还有 别的人, 如Euler, Monge等人. 不过,
我想Gauss是19世纪全世界最伟大的数学家. 数学 在那时候,
全世界也就是西欧了. 因为这个原因, 德国的数学在19世纪是全世界最好的
. 那时, 不但有Gauss, 还有Gauss的影响及其学生.
Gauss最要紧的学生就是Riemann. 因为有Gauss和 Riemann,
德国的数学就领先, 领先的意思就是大家跟着他的方向去发展 .
在几何上的应用的发展是很多的.
当年Einstein曾说过物理现象就是几何现象, 以此发 展他的广义相对论.
广义相对论当然要用坐标, Einstein了解最初的坐标表示几何问题 ,
希望坐标$(x,y)$ 有几何的意义.
当一个物理学家觉得应该有几何的或物理的意义时 , 他做起来才比较合理.
不过, Einstein慢慢了解这个做不到, 因为空间呢, 来得比较 复杂,
它允许任意坐标, 允许坐标的任意选择, 因此也允许坐标变换,
这就是我们现在 所叫的流形. 流形的概念是空间概念的推广.
本来用的是Euclid空间或者非欧空间等只 有几个空间,
现在推广的流形就整个推广了. 推广了以后, 整个的空间观念在物理上影
响向前发展了. 因此几何里头要描写物理现象就需要几何新的概念.
除了流形之外, 还 有纤维丛的观念. 在下面的课中,
我想稍微跟大家讲一讲几何方面的发展. 微积分还有一个发展,
最要紧的是复数. 很奇怪的, 普通的数目是实数, 那么在实数域 上,
$x^2+1=0$ 就没有解. 在复数域上, 我们不但使它有解,
并且复数有非常巧妙的性 质, 有很多现象都被放在复数里头了.
复数与实数一样, 有运算的规律, 你用这个规律 之后,
复数代表了很多现象. 我们以后会看到在复数里头的这些内容. 所以,
数学要应 用, 我们这个课是应用数学, 要学会应用. 要应用的话,
会发现复数很要紧. 因此, 复
变函数论在19世纪的发展是数学里头最要紧的,
是一个比其它方面的发展来得更要紧一 些的发展. 最后,
我得留点时间讲讲在复数方面的应用. 复数不只是使得对于任一个方
程式有解, 并且利用复数, 很多数学问题来得简单.
复变函数论比实变函数论简单多了 . 实变函数论有许多抽象的问题,
其实与实际不大有关系, 不过当时也需要了. 所以这是两个题目,
我要在这个课程里头把它们想办法讲一点, 使得大家能了解微积分
在它们上的应用是最重要的两个方向.
\section{关于Stokes公式的补充}
上次讲到了微积分的基本定理, 有时候就写成这种形状：
$$\int^b_af(x)dx=\int f(x)|^b_a\rightarrow L(\int f(x)dx)=f(x),\eqno (2.1)$$
即这两个式子相等. 很惭愧地, 当年我在南开思源堂念微积分,
我自己就有一个问题, 为什么这就是基本定理, 始终不懂. 很不幸地,
你们大概现在也还有这个习惯, 不敢问 问题. 我那时也不敢问问题,
跟你们现在一样, 始终不懂, 过了很多年, 才知道(2.1)的 确是基本定理.
这是因为(2.1)说明了微分与积分的关系. 这个式子的两端,
一边是个定积分, 是一个面积, 右边是微分相反的运算, 所以右边的
积分是一个不定积分, 换句话, 是一个函数, 它的微分是$f(x)$.
也就是说, 它的左边 是积分, 右边是微分.
那么这个基本定理就说明了微分与积分的基本关系. 大致上说,
微分是积分的一个反运算, 就是要找一个函数,
使得它作为已知函数的微分. 现在的问题是,
到了高维怎么样？这个基本定理是一个变数的. 现在假设多变数, 会怎
么样？这就是多变数的微积分. 有一个$n$维的空间,
$n$维下来就有许多不同的维. 多 变数的微积分基本观念是个重积分,
在平面上是一个二重积分, 在高维的空间是多重积 分. 我上次讲了,
积分有一个积分的区域, 积分是在一个区域里求积分, 然后还有一个 算子,
主要讨论积什么东西, 这一个函数是什么东西.
我上次讲这个算子是一个外微分 , 外微分就是$dx, dy$ 这些微分乘起来.
不过这个乘法是反对性的, 反对称妙极了. 因为反对称之后, 一个$dx$
不能够存在两次, 即$(dx)^2=0$. 一个要紧的问题是什么叫 $dx$,
这个问题比较复杂,讲起来比较长.
这个问题也就是什么是一个函数的微分. 我 们假定 $dx$是确定的,
有意义的. 以$dx$为变数造一个多项式, 这个多项式的乘法是反 对称,
这种反对称乘法的多项式叫外微分式, 外微分式就是指积分的一个对象,
在一个 区域里积这个外微分. 这也可以看作一种配偶(pair), 有一个区域,
再有一个积分和, 放在一起, 积分有一个值, 这个值是一个数,
这两个是配合的结果. 有了这个多重积分的观念之后,
多变数的微积分基本定理, 就是所谓的Stokes定理. St
okes定理是一个几何的现象与一个分析现象联合的结果. 在高维时候,
例如在$n$维的空 间, 假使存在一个$k$维的区域,
它可以是低维的任意区域. 有这样一个$k$维区域, 例
如平面上一个二维区域, 空间中一个曲面等, 很明显地,
这个低维区域有一个边界. 区 域有边界的观念是代数拓扑一个基本观念,
你要研究它的边界关系, 一个深刻的研究就
引到所谓（下）同调群(homology).
同调群是代数拓扑研究空间性质的最基本的一个观 念.
现在有一个$k$维区域$\Delta$, 它的边界写成$\partial \Delta$.
另外有一个$ (k-1)$维外微分, 外微分式子是$k-1$次, 微分以后为$k$次.
所谓Stokes定理, 就是说 对于$\omega$是一个$k-1$维外微分式,
它的外微分$d\omega$ 在$\Delta$上积分等于把
$\omega$在$\Delta$边界上求积分, 即
$$\int_\Delta d\omega =\int_{\partial\Delta}\omega, \omega\; {\rm \mbox{是外
微分式}}.\eqno (2.2)$$ 这个就是所谓Stokes定理.
这是多变数微积分的一个基本定理. 在龚升先生写的书中,
也特别提出这个观点.
这个基本定理的确包括我上面讲的那个基本定理作为特别情形.
假使这个空间是1维的, 在1维的情形, 区域是线段,
它的边界就是线段的两个端点, 两 个点.
求$\omega$在两个端点的值(其中$\omega$为那个不定积分)就是我在上面基本定
理的公式的右边函数在$b$的值减去在$a$的值,
就是在边界上$\omega$的积分, 而左边 就是在这个线段的积分,
就是从$a$到$b$的定积分. 所以, 不难看出来Stokes定理在直
线(1维)的情形就是微积分的基本定理.
那么2维的情形呢？2维就是很有名的所谓Green定理:
$$\int(P_x-Q_y)dxdy=\int Pdx+Qdy\eqno (2.3)$$
2维情形时, 区域是2维的, 它的边界是曲线.
于是(2.3)就是平常的Green定理, 你们都 知道, 都很熟悉.
所以Stokes定理在平面上的特别情形就是Green定理.
Stokes定理有不同的名字, 看你用哪一本书.
不过现在比较通行叫Stokes定理. 那么 还有另外的一个特别情形:
在三维空间, 假设有一个曲面, 它是一个三维区域的边界,
那么CI此时Storkes定理就写成
$$\int(P_x+Q_y+R_z)dxdydz=\int Pdydz+Qdxdz+Rdxdy.\eqno (2.4)$$
你们在学高等微积分已经碰到了,
一个二次式在边界(曲面)上的重积分等于它的三次式
在区域里头的三重积分. 这是Stokes公式的另外一个情况.
整个的情况在高维都对. 有一个基本性质, 就是外微分$d$
用两次一定等于0. 假使$\omega$是一个外微分式, 那么
$$d(d(\omega))=0.\eqno (2.5)$$
这个方程非常容易证明. 对于$\omega$, 外微分式显然是线性的,
所以你只需要把$\omega$当成一个单项来证明就行了,
这是因为你每一项的$d^2$都等于0. 于是对于单项的 情况,
单项是一组$d$乘上一个函数. 显然, 只要证明一个函数用两次$d$,
它一定等于 0就可以了. 我底下算了一下: 在一个$n$维的空间中,
它的坐标是$(x_1, \cdots, x_n )$. 有一个函数是$f$ 是$x_i$的函数,
$d$一次的话, 就是普通的偏微分, 也就是$\frac{\partial f}{\partial
x_i}dx_i$. 再微分一次, 得到二级偏微分, 再乘$dx_j\wedge dx_i$.
这个二阶偏微分$f_{ij}$是对称的, 这是因为求偏微分与次序无关. 因此这
个系数是对称的, 而我们这两个$dx_i,dx_j$的乘法是反对称的,
显然两次微分之后就等 于0了, 即
$$d(df)=d(f_idx_i)=f_{ij}dx_j\wedge dx_i=0.\eqno (2.6)$$
这里, 因为固定了$i$与$j$, 就得到$df_{ij}-df_{ji}$,
但是因为$f$是对于这个指标 是对称的, 所以就是0了.
因此上面证明了对于函数的$d^2=0$, 这就可以了.
Stokes定理可以说区域与外微分是一个对偶,
使得求边界跟算这个$d$这两个算子是adj oint, 是对偶的算子,
这是个了不得的结果. 因为求边界, 是一个几何运算, 其实求一
个区域的边界是一个完全的几何的运算, 是整个的区域的一个性质.
求外微分$d$是一个 局部的, 分析的运算, 是完全局部的,
只与这一点的附近有关系, 所以一个是整体的几 何算子.
一个是局部的分析算子, 它们是对偶的. Stokes定理说它们是对偶的,
所以这 是一个重要极了的定理. 我可以下面稍微讲得多一点.
空间不一定是普通的Euclid空间, 也许空间拿$x$做坐标为 所谓的流形.
假设空间是一个流形的话, 也可以讨论它的外微分式, 例如$k$次的外微分
式.
一个$k$次的外微分式加另外一个$k$次外微分式还是一个$k$次的外微分式,
于是所 有的$k$次的外微分式成为一个我们所谓的矢量空间(vector
space), 在其中可以进行加 减. 现在我就讨论所有$d=0$的这种外微分式,
即外微分为0的那些外微分式. 在数学上 ,
我们称这种外微分式是封闭(close)的. 这些封闭的外微分式构成矢量空间,
因为两个 close外微分相加仍为封闭的. 设
$$\Gamma^k=\{ \omega|\omega \; {\rm \mbox{是}} k\;{\rm \mbox{次外微分式}}\},
\; C^k=\{ \omega|\omega \in \Gamma^k,d\omega=0\}.\eqno (2.7)$$
那么我取$\omega$, $\omega$是一个封闭的外微分式.
现在我把$C^k$当成一个群, 这个 群有个子群,
这个子群是什么呢？它就是所有的$k-1$维的外微分式子用$d$来作用. 因
为$d^2=0$, 所以它就一定是close的.
因此在所有的封闭的$k$次外微分式构成的$C^k$ 中,
所有$d$乘上一个$k-1$次外微分式成为一个子群. 于是整个群用子群一除,
在群论 里头说它是一个商群(quotient). 这个群有个名字叫 de Rham
group:
$$H^k=C^k/{d\Gamma^k}.\eqno (2.8)$$
这在拓扑上非常重要, 就是说, 外微分式多得不得了,
甚至于close的外微分式也多得 不得了, 而在你除$d\beta$之后,
在很多情形之下, 就变成一个有限维的矢量空间. 那
么这个有限维空间的维数是这空间的一个重要的性质, 通常叫做Betti
number, 这是代 数拓扑中最浅的一个基本观念.
也就是我们讨论外微分式可以决定它的有些拓扑的不变 式.
\section{指数和对数函数} 我现在去讲另外一个问题.
上次有人讲, 对于跟这个课有些困难, 我讲的这些题目不一 定有关系,
所以你如果对某一个题目有困难的话, 就听我讲一个别的题目了, 所以不一
定受多少影响. 现在我换个题目. 微积分既然是研究函数的性质,
用微积分来表示它的 性质, 那么函数是多得不得了的. 函数有种种的性质,
而有一些函数, 比较简单, 因此 也比较重要并且许多应用上总碰到.
有两个特别重要的函数是指数函数(exponential
function)与对数函数(logarithm fun ction). 这两个函数有什么性质呢?
这是非常重要的函数, 我们都晓得头一个的微分式 .
而$x^{n+1}$的微分是等于$(n+1)x^n$,
因此$x^n$的积分是等于$\frac{1}{n+1}x^{n +1}$, 这里假使$n+1\ne 0$,
即
$$\frac{d}{dx}x^{n+1}=(n+1)x^n\rightarrow \int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1},\;
n+1\ne 0.\eqno (2.9)$$ 如果$n$不等于$-1$,
普通人到这个时候就结束了. 因为你知道这个公式是什么时候成立 ,
这个公式在$n=-1$时不对, 这就够了. 这是很自然的. 不过,
如果这时候要停止的话 , 你就没有用到函数积分的重要的定理,
因为$n=-1$时, 这个积分才有意思. 所以, 假 使$n=-1$,
我就取对$dx/x$的积分. 因为我不取$x=0$, 所以我这个积分假定它从$1$积
到$x$, 这个积分是要紧极了, 有意义极了. 因为我这个积分, 叫它$\log
x$:
$$\int_1^x\frac{dx}{x}=\log x,\eqno (2.10)$$
这就是对数函数. 下面我讨论对数函数的最重要的性质.
假使我把$x$乘常数$a$, 对$ \log ax$ 求微分.
由于$log$的微分等于$1/x$, 于是$\log ax$也是等于$1/x$, 所以这
两个函数差一个常数C:
$$\frac{d}{dx}\log (ax)=\frac{1}{ax}a=\frac{1}{x}\Longrightarrow
\log ax=\log x+C.\eqno (2.11)$$ 假使我将$x=1$ 代入(2.11), 此时 $\log 1=0$,
这是因为积分是从$1$到$x$, 所以从$ 1$到$1$积分当然是0.
于是我就证到常数$C$就是$\log a$, 因此就得到$\log$这个函数
的基本性质:$\log$函数用到$ax$的话等于$\log x+\log a$:
$$\log (ax)=\log a+\log x.\eqno (2.12)$$
换句话说, 对数是使得乘法变为加法,
这是从前用对数表计算的一个基本性质. 现在因 为有计算机了,
大概不大用了. 不过log这个函数非常要紧, 因为用到了我们这个基本的
性质 (2.12). 那么由这个对数的函数立刻就引进指数的函数,
指数函数是对数函数的反函数. 假使 $y=\log x$的话, 就按定义,
$x=e^y$, 即
$$y=\log x\leftrightarrow x=e^y.\eqno (2.13)$$
因此它们互相是相反的函数. $e^y$是个指数函数, 其与 $\log
x$一起有加法与乘法关 系的公式: $\log x$把乘法变为加法,
指数函数也就把加法变为乘法了. 一个把乘法变 为加法, 一个倒了过来,
它就把加法变为乘法, 这是一个简单的公式:
$$e^{x+y}=e^xe^y.\eqno (2.14)$$
我这里有个证明:
$$e^{x+y}=e^{\log u+\log v}=e^{\log uv}=uv,\;u=e^x,v=e^y.\eqno (2.15)$$
这些都是很容易的计算. 我现在要证明指数函数它的微分就是它自己,
即$e^y$对$y$求 微分就等于$e^y$. 这个证明为
$$dy=\frac{dx}{x}\Rightarrow \frac{\exp y}{dy}=\frac{dx}{dy}=x=\exp y,\eqno
(2.16)$$ 这里把指数函数写成$\exp y$, 当然也可写成$e^y$.
这时假定所有的数都是正的, 所 以没有什么log存在与否的问题. 于是,
指数函数的微分就是它自己, 上面就给出了一个 证明. 大家也许记得,
两个函数的图是这个样子, 一个是$\log $在$x$的区域中在$x=0
$的附近越来越小起来, 趋于负无穷.
对数函数也是一个增长的函数(increasing funct ion),
不过它增长得非常慢. 指数函数就增长得很快, 它永远是正的.
这是我画的两个
简单的图(graph).我想你们在任何微积分的书都看到过这两个函数的图.
指数函数与对数函数是统一的函数, 一个是另外一个的反函数,
这个性质是非常要紧的 , 有奇妙的性质. 第一, 指数函数的微分是它自己,
因此, 它有一个很简单的无穷级数 . 这个无穷级数是用Talyor公式展开的.
我把Taylor公式写一下：
$$f(b)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(b-a)+\frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2+\cdots+R_n,\eqno
(2.17)$$
$$R_n=\int_a^bf^{(n)}(t)\frac{(b-t)^{n-1}}{(n-1)!}dt.\eqno (2.18)$$
我想这些你们都念过了这些了.
这个Taylor公式把任意的函数展成一个无穷级数, $a$是 一点,
$b$是另外一点, 那么它可以展成$(b-a)$的一个多项式, 后面有一个余项,
这个 余项是由积分(2.18)给出.
Taylor公式在一个余项的时候就是这个所谓中值定理（Mean
Value Theorem）. Taylor公式就是中值定理的高次的一个推广. 由Taylor公式, 现在
我们这个指数函数简单得不得了, 因为微分下去都是它自己,
所以有一个无穷级数, 很 简单, 我写为
$$e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+\cdots, \eqno (2.19)$$
所以这个指数函数有一个很简单的展开, 它有一个重要的性质,
我想有时候, 你这个数 目当然是正数, 至少是实数,
有的时候你用一下复数的话, 有很巧妙的性质！ 同样的, 我知道$\sin
x$与$\cos x$有另外这两个展开:
$$\sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots;\eqno (2.20)$$
$$\cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots.\eqno (2.21)$$
你会发现, 假使对$e^x$, 将$x$改为$ix$, 其中 $i^2=-1$.
那么$e^{ix}$就有个式子:
$$e^{ix}=\cos x+i\sin x,\eqno (2.22)$$
我想很容易由(2.19)-(2.21)看出来有这样的公式. 允许变数取复数的值,
取一个东西,
那么假使你用这个公式的话, 取$x=\pi$, 于是$e^{i\pi}=-1$. 你们都知道这个公式.
不过这是个很有意思的式子. 因为这里头有几个常数. 大家注意的一个是$\pi$, 另外
一个就是$e$. $e$是因为Euler. Euler在当时 18世纪的那个时候,
那时跟现在时间不太一样, 那个时 候世界就是西欧. 世界有科学的发展,
就是在西欧. 大家承认有一个最伟大的数学家,
Euler是那时被承认最伟大的数学家. 所以有人做了国王之后,
在他的朝廷里愿意有个伟 大的数学家, 于是Euler就被请到圣彼得堡.
他就写了很多很多书. 这个Euler是很有意 思的,
大概写的文章是没有人超过的. 他写了几百本. 他有好多小孩,
所以他是抱着小 孩子, 孩子坐在他腿上, 做他的数学.
我跟他曾经发生一个关系, 就是我们这个南开图 书馆要不要他的全集.
他的全集要几千块美金, 几百本. 很抱歉的, 后来我决定不买了 .
太贵了并且恐怕没有人看了, 文章都是拉丁文的,
结果我们图书馆没有Euler的全集.
我们有很多其它人的全集, 不过现在看来问题是有些文字的问题. 比方说, 你们如果
有功夫的话, 可以看看高斯的全集.
Gauss刚才我说是19世纪最伟大的数学家, 大家都知 道他的数学能力.
所以说呢, 如果人家过节请他, 带着他一起去过节, 那么过节时就问
他小的几何问题, Gauss当然就能解.
那么Gauss的小的几何问题的解在他的论文集里, 这是很有意思的.
这些问题完全是初等几何的, 有的就一页. 做做他的小的几何定理,
他的小定理都很有意思, 我们可以偷他的来写一篇文章.
很不幸地是他的文章不是拉丁 文, 就是德文, 至少是德文.
Euler写了很多东西. 这个公式是其中之一, 它把几个主要的数连起来. $e,
i,\pi$ 有 这样的关系: $e^{i\pi}=-1$. 这是非常有意思的.
我再告诉你们另外一个公式, 不知你 们有无兴趣. 同样用这个展开的话,
可以用到${\rm arctg} x$. ${\rm arctg} x$的微
分是$\frac{1}{1+x^2}$. 所以${\rm arctg}$这个函数有一个性质,
就是一直求它们微 分的话,式子会比较简单.
因此由这些就得$\pi$的一个式子, 即$\pi$可以写成一个无穷 级数
$$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \eqno (2.23)$$
这是一个漂亮极了的一个公式. 它把一个1,3,5,7,9这么连在一起,
加在一起是$\pi/4$ ！所以, 这是漂亮极了的一个公式！
近代的一个有名的数论家 Selberg, 他是挪威的 数学家,
有一次他写一个文章, 讲他对数论发生兴趣就因为他看到这个公式.
他恐怕现 在是岁数大了一点, 我想他可以总有80多岁, 人还在.
\section{在几何上应用} 还有几分钟,
下一次我要讲一点几何. 微积分在几何上的应用. 几何上的应用, 当然是
空间几何最有意思的是曲面的几何——二维曲面的几何.
二维曲面有种种样子，有种种
的形式，有种种不同的性质。在这方面有Gauss的工作, 就是
$$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2,\;x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)\eqno (
2.23)$$ 这个曲面通常用参数表示，在这个三维空间中, 坐标是$(x,y,z)$,
于是把三维空间的坐 标表示为两个变数的函数,
所以$x,y,z$是两个变数$u,v$的函数，我们称之为参数(par
ameter).于是这个空间里头有一个短距离$ds^2$， 就是$dx^2+dy^2+dz^2$.
把$x,y,z$ 表示$u,v$的函数之后，$ds^2$ 就变为一个二次的微分式,
其中系数, 一般就叫做$E,F ,G$.
我们晓得几何开始的时候有Euclid几何，Euclid几何很伟大！它是头一本整个的几何,
它看出来要有一种公理得到数学的结论是很重要的，因为数学结论是由一个公理经过一
个逻辑的推理得来. 因此, 这个是很具体很坚决的一个结论.
而且它其实不只是几何, Euclid这个《几何原本》是整个的数学.
他看出来由公理用逻辑方法推出结论的重要性 .
对于这方面我觉得很惭愧的是，中国没有. 我们这个课是应用数学,
对于应用数学,
中国太注重应用了, 任何东西都一定要有应用. 而对于这样的一个数学大家以为没有什
么应用, 其实最初你要的是最初做了一点的话, 应用会来的,
并且应用更重要, 更深刻 . 对于这个二次微分式(2.23),
Gauss的工作就是可以根据这个二次微分式, 发展一个几何 ,
这个几何就大得不得了. Euclid几何可以它的微分式就是$du^2+dv^2$,
这是一个最简 单的情形. 另外一个情况之下就可以发展非欧几何.
现在$E,F,G$是任意函数, 再加上一 些适当条件,
这个几何的观念广大得不得了. 就是说, 在三维空间可以有切面, 即切面
上的几何，可以不管这个曲面在三维空间里的位置,
只考虑在曲面上的这个几何, 它包 括Euclid、非Euclid几何等在内，
广得了不得. 于是, 这样的一个发现使得几何有很多 ，
欧氏几何的观念也就推广到一般的情况. 所以,
我下次要讲点微积分在几何上的应用 . 我想今天也许差不多, 讲完了,
谢谢！
\end{CJK*}
\end{document}

--------------------------------------------------------- 509 《陈省身谈微分与积分》第三讲
----------------------------------------------------------

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{CJK}
\usepackage{CJKvert}
\begin{document}
\begin{CJK*}{GB}{song}
\begin{center} {\Large \bf 第三讲\quad 曲线论}\end{center}
\begin{center} 2001年10月26日\end{center}
\section{平面曲线}
我想这几次跟大家讲一点微积分在几何上的应用. 这是非常要紧的发展.
那么, 从最简 单的情况开始, 我们就讲平面上的曲线.
假设平面上有一条曲线${\bf x}(t)=(x_1(t),x_2(t))$,
即在这个图上所在的情况. 用 微积分的话呢, 就是这条曲线有条切线.
切线有个切矢量. 对于切矢量, 我们取这个矢 量是单位矢量,
它的长度是1, 也就是取为单位切矢量. 于是我们知道假使把坐标$x$表
示成弧长$s$的函数的话, 这就表示这个单位切矢量就是$x$ 对$s$
的微分$\frac{dx}{ ds}$,即单位切矢量为
$$e_1=(\frac{dx_1}{ds},\frac{dx_2}{ds}),(e_1,e_1)=1,s\;{\rm \mbox{是弧长}}.
\eqno (3.1)$$ 那么怎么样研究这条切线呢？很简单,
那就是有了一个单位切矢量之后, 并假设如果平 面是定向的,
即有一个转动的方向, 那么它就有一个单位法向量, 也就是跟它垂直的那
个单位矢量. 现在, 我叫$e_1$是单位切矢量, $e_2$ 是单位法矢量.
于是要得到这条 切线的性质,
第一件事情就是把$e_1$这个函数对于$s$再求微分. 那么再求微分之后,
当然这是一个新的矢量. 因为$e_1$是一个单位矢量, 所以$(e_1,e_1)=1$.
那么把它微 分一下子, 我们就得到$\frac{de_1}{ds}$ 同$e_1$垂直,
所以它一定在法线的方向. 因 此, 我们就有$\frac{de_1}{ds}$
等于单位法矢量$e_2$的倍数. 这个倍数是弧长的一个 函数,
我们叫$k(s)$. 这个倍数满足
$$\frac{de_1}{ds}=ke_2,e_2\;{\rm \mbox{是单位法矢量}},(e_1,e_2)=0.\eqno (3.2
)$$ $k$这个函数一般叫做曲率,
是这条曲线在这个平面里头最要紧的一个性质, 是弧长的一 个函数.
{\bf 习题:}
对于给定的曲线方程, 给出曲率$k$ 的公式. (提示：$k$是曲线方
程的一阶和二阶微分的一个函数)
\section{空间曲线}
从平面曲线再进一步怎么样呢？我们看看空间的情形.
假设我们现在有一条曲线是空间 的曲线${\bf
x}(t)=(x_1(t),x_2(t),x_3(t))$. 在3维空间里有切线, 所以这个空间的
坐标$x,y$ 就表示为参数$t$ 的函数. 这些东西你们大概都知道,
我再温习一下子. 所 以${\bf x}(t)$ 是一个矢量,
它的分量就是点的坐标, 而点是$t$ 的函数. 于是它就作 一条切线,
这3个分量叫做 $x_i(t) (i=1,2,3)$. ${\bf x}(t)$是一个矢量, 是参数$
t$的函数, 它的3个分量就是把点的坐标表示为$t$ 的函数,
那么怎么进行呢？ 同样的方法就是对这条曲线用微积分. 假定曲线有切线,
并且在切线上面有单位矢量,
即有单位切矢量. 对曲线有个方向, 一直这么走, 沿着一个方向, 比如说参数$t$ 是增
加的一个方向. 总而言之, 我们就有一个单位切矢量, 叫它$e_1$,
那么跟平面同样的情 况, 把$e_1$这个函数对$s$ 再求微分,
就等于说对$s$ 求二阶的微分. 因为$e_1$ 是 单位矢量,
所以得到的这个微分跟$e_1$ 是垂直的. 而对于一条空间中的曲线, 它的切
线是一条, 它的法线有无数个.
其实经过这一点跟切线垂直的法线有无数个, 那么其中
有一个是$\frac{de_1}{ds}$, 它是不完全确定的. 由于同样的理由,
我把这个方向的单 位矢量叫做$e_2$, 那么它就是 $ke_2$, 即可以写成
$$\frac{de_1}{ds}=ke_2.\eqno (3.3)$$
$e_2$是其中一条法线, 我们叫它为主法线(principal normal),
而$k$这个函数与平面 的情形一样, 叫做曲线的曲率. 所以现在,
我有一个切线的方向和一个主法线方向. 在
三维空间就有另外一个方向跟这两个方向垂直, 我们通常叫它binormal.
总而言之, 存 在另外一个法线, 所以它有两个法线.
那么这两个法线所成的平面就是法平面. 曲线是 1维的, 切线是1维的,
所以法线是2维的, 是个平面. 那么有一个$e_3=e_1\times e_2$ ,
其中$e_1\times e_2$ 是矢量积. 对于两个方向的话,
有一个确定的第三个方向是跟 它们垂直的,
并且使得$e_1,e_2,e_3$成一个正交系统. 我们假定这个空间是定向的, 右
手, 左手都有一个确定的方向. 通常我们都用右手,
所以就有一个确定的$e_3$满足
$$(e_i,e_j)=\delta_{ij}.\eqno (3.4)$$
因此在研究三维几何的时候,
这样的三个互相垂直的单位矢量所成的图形非常要紧. 这
是为什么呢？这样一个东西我叫它标架.
你把一个标架搬到另一个标架的运动是完全确 定的.
那么三维空间最要紧的性质就是三维空间的运动.
我们要研究的几何性质是经过 运动不变的.
所以就要知道什么时候你可以把这个东西搬到另外一个位置, 什么时候它
的位置相差在于一个运动, 而标架就是这个运动解析的表示的方法.
你要能够搬过去就 表示这个标架搬到另外一个标架的运动是完全确定的.
显然, 只有一个运动并且一定有 一个运动把一个标架变为另外一个标架.
因为要研究空间经过运动不变的性质, 所以解 析的方法就是利用标架.
那么假使我现在有一条曲线, 我不只有一个标架, 这些标架是时间的函数,
在那里运动 . 因此$e_i$这三个作为标架的矢量都是时间$t$ 的函数,
于是我可以求它的微分$\frac{de_i}{dt}$. $\frac{de_i}{dt}$是个矢量.
因为是 $(e_1,e_2,e_3)$是个标架, 所以
任何一个矢量就可以写成$e_1,e_2,e_3$这3个矢量的线性组合.
那么我把它稍微推广一 点, 就把它写成 $de_i$等于$e_j$的线性组合:
$$de_i=\omega_{ij}e_k. \eqno (3.5)$$
这个组合的系数是一次微分式, 这是因为我现在做了一下微分,
由这函数便得到一次微 分式,
那么这样的一次微分式我叫它$\omega_{ij}$,
这就表示两个相邻的标架的关系.
你有一个$e_i$ 的标架, 旁边有个相邻的标架$e_i+de_i$, 那么$de_i$ 表为 $e_i$的
函数的时候, 它的组合的系数就是一次微分式. $\omega_{ij}$
是一次微分式, 在这里 , 我的指标 $i,j$都是从1 到3, 3
是我们空间的维数, 所以$\omega_{ij}$ 一共有9个 : $i,j$ 每一个从1
到3, 所以一共有9个. 这9个一次微分式是有关系的, 它不是完全任 意的.
这个关系就是
$$\omega_{ij}+\omega_{ji}=0.\eqno (3.6)$$
所以假使你把$\omega_{ij}$ 看成一个$3\times 3$ 的方阵的元素的话,
这个方阵是反 对称的. 这一组方程很容易从$e_i,e_j$
的内积等于$\delta_{ij}$得到: 把这个关系 (方程(3.4))微分的话,
就立刻得到这一组性质. 这就是说$(\omega_{ij})$ 是一个$ 3 \times 3$
方阵的元素, 这个方阵的元素都是一次微分式, 并且这个方阵整个是反对称
的, 换句话说, 这个方阵主角线上的元素是0. 其它呢, 由于反对称,
有$\omega_{12}= -\omega_{21}$等, 是反对称的.
因此我们现在有一个单位切矢量, 有一个主法矢量,
还有一个与它们垂直的成一个标架 的$e_3=e_1\times e_2$(矢量积).
对于这个标架, 我把它的三个方程都对弧长求函数( 微分),
就可以把这个函数表为$e_1,e_2,e_3$ 的一个线性组合.
这个组合是这样的一组 方程： 第一个方程是$de_1=ke_2$.
因为我们的方阵是反对称的, 主对角线上的元素都 是0,
所以$\omega_{13}=0$. 但是其他的元素要注意 $e_3$的位置,
由于$e_1,e_2$ 选 择的关系, $\omega_{13}$ 是等于0的.
因此$\omega_{31}$ 也等于0. 所以这个方阵写 出来,
就是我下面的3个方程:
\begin{eqnarray*}
\frac{de_1}{ds}&=& ke_2\\
\frac{de_2}{ds}&=& -ke_1+\omega e_3\hspace{10cm} (3.7)\\
\frac{de_3}{ds}&=& -\omega e_2
\end{eqnarray*}
这组方程是当年曲线论发展的时候最早的一组方程. 我们通常叫它Frenet
方程, Fren et是法国的一个数学家. 我想这是他的的博士论文.
他不一定是头一个给出这个方程, 当时有几个人做出这个工作. 从我讲的,
你们可以看出来得这个方程并不太困难. 因此 我除了曲率 以外,
还有另一个函数$\omega$. $\omega$ 就是方程中的挠率(torison),
也是弧长的函数, 是表示空间的曲线在运动群下的性质. 所以空间曲线有两个函数, 一
个是曲率, 另一个是挠率, 挠率就是描写它怎么样不是一条平面曲线,
它是在空间弯曲 的一个量. 所以空间曲线是用两个函数来描写的,
它们解析地描写这空间的性质. 这两 个函数显然很重要,
因为它们要是等于0的时候, 就表示了曲线很简单的性质. 要是$k=0$ 的话,
这曲线就成为直线. 这很容易证明, 我下面给出证明： 因为 $k=0$, 所以
$de_1=0$. 因此单位切矢量$e_1$是一个常数, 因为这样它的微分才 等于0.
那么你把这个常数$e_1=C$代入到$e_1=\frac{dx}{ds}$中,
再把它积分一下子就 得到$x$是$s$ 的一次函数：
$$x=Cs.\eqno (3.8)$$
所以这就是一条直线. 反过来也很容易能证明如果你有一条直线的话,
它的曲率$k$ 是 等于0的. 因此$k=0$ 代表曲线的最简单的性质,
就是直线. 那么要注意的是在定挠率的时候, 一定要$k\ne 0$. 若是$k=0$
的, 于是 $\frac{de_ 1}{ds} =0$, 也就是直线了.
这时它就没有法子定主法线. 一条直线跟它垂直的是一个平面, 这
个平面里头所有跟此直线垂直的方向都是有同样的性质,
所以就没有主法线, 因此也不 能定挠率. 挠率一定要在这点的曲率$k\ne
0$的时候才有意义. 而当挠率等于0的时候,
当然就是表示这条曲线是在平面上一条曲线. 下面我也给了一个
简单的证明. 因为挠率这个函数是在Frenet 公式的第三个公式里. 所以
由$\omega=0$
可知此时$e_3$是个常数的矢量. 对于$e_3$ 这个常数矢量, 由于$e_3$是一个法线, 并
且因为法线跟切线是永远垂直的，所以 $e_3$ 跟$\frac{dx}{ds}$
的内积是永远等于0 . 因此$e_3$要是等于常数的话, 我就可以把方程
$$(e_3,\frac{dx}{ds})=0\eqno (3.9)$$
积分. 因为$e_3$是一个常数，所以这积分就是$e_3$ 跟$x$
的内积等于一个常数. 因此 它是一个平面曲线,
于是$\omega=0$是表示曲线是个平面曲线. 反过来, 可以很容易证
明平面曲线的挠率是0. 所以曲率和挠率两个函数都有简单的几何性质.
另外一种很有意思的曲线是$k$与$\omega$都不为0, 但都是常数.
那么在这个情形之下 , 可以证明曲线是个螺线.
就是这样简单的微积分的应用在生物化学上有重要的意义.
因为我们知道生物化学的一个主要的化合物是DNA. DNA是两条螺线,
是个双螺线, 这是 生物上非常基本之现象. 在生物上,
这样的曲线就跑出来了. 因此, 曲线论在生物化学 有重要的应用,
也就是大家要知道曲线的性质如何影响DNA的化学性质, 所以数学就很
重要了. 曲线的性质影响到化学的性质, 尤其是在化学里头,
有时候你把DNA切断了, 它 的性质就改变了. 所以切断之后,
数学性质就发生改变， 它的化学性质也改变, 讨论它
们如何改变，这是在DNA的研究及在生物化学方面是非常基本的问题,
大家做了很多的工 作. 现在拿一本微生物化学的书要翻开来的话,
就看见有一个基本的公式, 叫做White公 式. White是我的一个学生的学生,
他做这个工作是他博士论文的一个结果. 他运气很 好,
他这个结果变为生物化学的一个基本的公式. 我现在不能讲这个结果.
\section{Feuchll不等式,
Crofton积分公式和Fary-Milnor 定理} 做这个几何研究的时候,
有些重要性质要讨论. 通常重要的性质往往是整体几何的性质 ,
在曲线的情况也不是研究一小段的几何.
我们现在把上面的这个叫做局部的几何，即 研究一小段的几何性质, 这时
$k,\omega$都是弧长的函数, 用它们研究它的性质, 是怎 么样弯曲.
不过更重要的是研究整条曲线. 假使有一条曲线是封闭的,
看这条曲线有什么样的性质. 这里有个非常要紧的公式. 对
于这条封闭的曲线, 每点有个曲率. 因为封闭了, 我就研究全曲率,
即把这个曲率沿整 条曲线求它的积分, 于是就有所谓Feuchll 公式
$$\int_ckds\geq 2\pi,\eqno (3.10)$$
就是说这个积分有个下界, 一定是 $2\pi$.
这个直觉讲起来就是如果你一点曲率都没有 , 这条曲线就直线走下去,
是不会封闭起来. 你要直线走下去能够封闭的话, 总要把它 弯过来,
弯过来就要有曲率. 那么如果能够弯过来, 与原来地方对上来的话,
那么曲率 在整个曲线上的积分有一个固定的下界, 这个下界是$2\pi$.
这就是所谓的Feuchll公 式. 我要证明这个公式.
为什么讲全曲率要有一个下界? 证明这个公式的方法就是讨论这条
曲线的单位切矢量, 即在切线的方向的一个单位矢量.
主要观念就是利用高斯映射(Gau ss map). 对于这样一个单位切矢量,
在固定点取跟这个切矢量是平行的那些单位矢量, 所以你有
许多单位矢量是$e_1(s)$, 它是长等于1 的一个矢量.
所以你假使把它看成空间一个点 , 它就是在单位球上的一个点.
因此你取一个单位球, 将$e_1(s)$看成单位球上的一个 点,
那么当你这个点沿原来曲线走一圈的时候,
$e_1(s)$在单位球上成一条曲线. 这是 高斯映射的意思,
即所谓的高斯映射. 这条曲线$e_1(s)$在单位球上所成的的曲线不是
原来的曲线, 换了一种了, 因为它的方程是$e_1(s)$, 不是$x(s)$.
$e_1(s)$ 满足:
$$\frac{d\sigma^2}{ds^2}=(\frac{de_1}{ds},\frac{de_1}{ds})=k^2,
\sigma{\rm\mbox{是}} e_1(s){\rm\mbox{的弧长}}.\eqno (3.11)$$
单位球面如果有一个大圆, 那么这个大圆有一个极点, 我叫它$y$.
也就是说, 大圆是子 午圆, $y$ 是这个大圆的极点.
把这个极点当成顶上的一点, 那么曲线就有个高度, 这
个高度被取成是$y(x)$, 是个内积.
这个高度可以看成是曲线上的一个函数, 那么曲线
在空间里头就有了一个高度. 我们这曲线是封闭的, 当然有个最高点,
有个最低点. 在最高点, 因为它是最高的, 显 然它的切线是平的.
在最低点, 切线也是平的. 所以就有两个临界点, 一个是代表高度 最高的,
一个是最低的, 而与$y$这个点垂直的那个大圆,
一定跟单位球上的曲线相交.
因为$(y,dx)$ 这个内积是0, 所以$y$跟球面的$e_1(s)$在一点相交. 因此在单位球上
的曲线跟这个单位圆相交. 但是$y$是任意方向,
所以我们球上的高斯映射的曲线是跟球 上的什么圆都相交,
这是因为$y$是任意一个点, 于是$y$的那个子午圆交我们这条曲线 .
我想高斯曲线我叫它$\gamma$, 它跟 $y$的子午圆相交,
因此跟任意单位圆相交, 这 是很要紧的一个性质. 所以
$\gamma$这条曲线一定要相当长, 它在球上不是一条任何 的曲线,
它在球上是一条跟所有的圆周(大圆)都相交的曲线.
那么我还是需要证明它有$2\pi$ 这个下界, 下面来说明这个问题.
我这条曲线$\gamma $是$e_1(s)$, 叫同位圆. $e_1(s)$
就是空间曲线的一个高斯映射, 它是切线的方向在 单位球上所成的曲线,
而这条曲线叫做$\gamma$, 它跟球上的任何单位圆都相交. 那 么一般地,
这条曲线相当长了, 如果太短, 它没有这个性质. 说它有一个 $2\pi$ 的下
界, 是 Crofton公式：
$$\int\int=4L.\eqno (3.12)$$
Crofton的文章也很有意思, 不是一个正式的数学文章.
英国的百科全书(Encyclopaedi a) 请他写一篇文章, 是关于几何概率的.
他是在写(几何)概率的文章时候把他的结果写 在里头了. 这个结果很要紧,
换句话说, 就在平面上讲, 曲线的长度可以表为跟它相交 的直线的度量.
长度, 就是直线的度量, 这个意思在探物学里, 近代在医学都有应用.
有时候, 你身体上的东西, 要问它有多大, 也不能把人切开, 是不好量的.
于是就是用 看相交这个东西的线作为度量,
来量这个身体上的某一部分的大小. 这一部分数学一般 叫做积分几何,
不是微分几何. 积分几何就是研究这些积分的关系与性质. 积分几何在
医学上有很大的应用, 有很多机器采用采用这理论. 因为你要看人的病体,
也不能拿这 个病体来量, 就拿线射它,
按射它的效果来看病体的大小及其它的性质. 这就是积分几 何.
那么我现在说, (3.12)是Crofton公式, 就是说球面上边也有几何,
是球面几何. 它的点 我都知道, 它的直线就是大圆.
所以现在我在球面上有条曲线, 跟所有大圆都相交. 那 么,
这种直线的个数有一个量度, Crofton公式讲, 它是等于4倍它的量度.
Feuchll公式是球面上Crofton公式的一个结果. 因为
Crofton公式说它的量度是4倍于它 的四边路长,
所以就利用这条曲线跟每一个大圆都相交的性质就得到Feuchll公式. 因此
问题就是说什么是球面上大圆的量度.
球面上的大圆是球面上非欧几何的直线. 而对于 直线,
我也有个量度(measure).在球面上的量度很简单,
这是因为球面上的直线跟极点 有个简单的对偶关系: 因为你有一个大圆,
它有一个极点, 因此这条直线跟这个极点有 个对偶关系.
于是这个大圆的量度就取为这个极点的量度.
所以我现在大概讲一讲怎么样证明球面上的Crofton 公式.
这个证明其实很简单, 不过 要小心一点, 就是想法子换换坐标就行了.
现在比方说, $\gamma$这条曲线跟一个大圆 相交,
那么这个大圆可以换坐标. 如果换坐标,
由于$e_1(s)$这条曲线跟这个大圆相交 , 而大圆有个极点$y$,
所以要换$y$的坐标. 那么换坐标换什么呢？这个大圆与直线 相交,
而大圆是2维的空间, 所以要有两个坐标.
我就取这条曲线的弧长$s$作为一个坐 标. 那么,
这个大圆跟直线相交的话, 就有图上的这个情况：
还缺一个坐标是什么呢？大圆有一个极点, 这个极点是$y$.
显然$y$是与$e_1$垂直的,
所以$y$ 一定在$e_2,e_3$ 所成的圆周上, 这是因为$e_2,e_3$是跟$e_1$ 垂直的. 因
此 $y$就是在$e_2,e_3$的圆周上, 于是$y$就可以表为
$$y=\cos\theta e_2(s)+\sin\theta e_3(s),\eqno (3.13)$$
实际上, $y$是$e_2,e_3$ 的一个线性组合. 又因为它是个单位矢量,
所以可以写成这样 的形状. 因此$y$这点有两个坐标,我可以取为
$s,\theta$. 那么现在的问题是求$y$ 在 这个面积元素(element
area)的度量, 是要把 $y$ 这点的度量看成是大圆的度量. 通常这不难求.
$y$ 是一个点, 你就求$dy$. $y$是在单位球上的一点, 于是下面来求
$dy$. 把这个$dy$写为跟$y$ 垂直的两个方向的函数,
那么这两个单位矢量系数的外积 就是$y$ 的度量. 所以我现在这么做.
$e_1,e_2,e_3$是标架, 它们三个矢量是互相垂 直的单位矢量,
它们也都是 $s$的函数. 所以我把它的公式写出来:
\begin{eqnarray*}
\frac{de_1}{ds}&=& a_2e_2+a_3e_3\\
\frac{de_2}{ds}&=& -a_2e_1+a_1 e_3\hspace{10cm} (3.14)\\
\frac{de_3}{ds}&=& -a_3e_1-a_1e_2
\end{eqnarray*}
无论如何, 这公式里头的系数成一个反对称的方阵. 这就做下去,
很简单地, 如果算一 算$dy$,就得到$dy$一个公式:
$$dy=(-\sin \theta e_2+\cos\theta e_3)(d\theta+a_3ds)-e_1(a_1\cos\theta+a_3\
sin\theta)ds.\eqno (3.15)$$ 于是我们有
$${\rm\mbox{面积元素} }=(a_2\cos\theta+a_3\sin\theta)d\theta\wedge ds.\eqno
(3.16)$$ 若命
$$a_2=\cos\tau,a_3=\sin \tau,\eqno (3.17)$$
则
$${\rm\mbox{面积元素} }=\cos(\tau-\theta)d\theta\wedge ds.\eqno(3.18)$$
即最后$\cos(\tau-\theta)d\theta\wedge ds$ 是球面上的面积元素.
为了要求这个球 面上的面积, 求这个东西的重积分,
也就是求这个式子的重积分. 那么我数这个点的时 候, 是考虑完全绝对值,
来求这个绝对值的这个重积分. 我刚才假设有两个变数$s$ 跟 $\theta$,
那么就对它们来求积分. 积分的时候先固定 $s$, 取 $\cos$的绝对值来求
积分. 假使角度转一圈的话,
$|\cos|$一共变了多少呢？$\cos$的绝对值的积分是4 .
这是因为当$\cos$从 0到$\pi$时是从1到-1, 一共是4次1, 所以是4.
因此这样你就求到 跟曲线相交的大圆的度量, 即有多少个大圆.
这个度量是求这个重积分, 把它算出来. 算出来之后,
你只要求一次对$\theta$的积分就可以了. 剩下的是曲线的弧长. 所以Cr
ofton问题就能从这个计算得到. 你们抄下来, 回去想一想, 就可以得到.
因此Crofton公式说$\gamma$这条曲线至少有多长.
它把这个曲线跟任何大圆相交的性质 表为一个度量的性质, 即有多长.
由这个我就得到Feuchll定理. 这是很漂亮的一个定理 :
我们假使这个流形是封闭的, 在2维的情形, 就是封闭的曲线.
对于封闭的曲线, 它的 总曲率有一个一定的下限.
什么时候这个下限能达到? 显然当这条曲线是平面曲线并且
是一条完备(complete)曲线时是可以达到的.
根据上面讨论也可以证明这个结论.
更有意思的一个结果是所谓的Fray-Milnor 定理：如果曲线$C$有结, 则
$$\int_C kds\geq 4\pi.\eqno(3.19)$$
我想 Milnor是近些年来美国最优秀的一个拓扑学家者.
他做这个定理的时候, 就跟你们 一样. 上课时, 老师谈到这个问题.
他给出一个条件什么时候一条封闭的曲线能打成一 个结. 假使有结的话,
显然我们推测需要曲率更多一些, 因为打结就得转转. 不过Fray
-Milnor定理就是讲假使这个封闭的曲线有一个结的话,
它的全曲率的积分至少为4. 所 以全曲率一定就大于4. 这个证明很简单,
因为如果它小于4的话, 一定有个方向, 在这个方向上的高度只有一个
极大跟一个极小点.
所以我这条曲线一定是连接这个极大点与极小点的两个弧. 那么中
间就没有极大点和极小点, 所以中间那些平行的平面跟曲线相交的话,
都相交于两点. 那么用一条线段把这两点连起来,
于是它这曲线就围成一个区域. 显然曲线就可以缩成 一点, 所以就不是结.
所以如果这全曲率小于4 的话, 它这条曲线的结就可以解开. 因
此如果曲线有个结的话, 它的全曲率一定$\geq 4$.
于是立刻得出来Fray-Milnor 定理 . 下面我讲讲与陈国才的工作的关系.
陈国才的工作是讨论这个结, 进行不只一条曲线, 可以有好几条曲线,
即所谓link的研究, 讨论什么时候这个link 能绕过来曲率是挠率 .
这个问题物理学家很感兴趣, 最近, 做了很多这方面的工作. 不过,
推广Fary-Milnor 定理有个可能性,
就是讨论切线的曲率跟挠率对于陈国才的不 变式有什么影响.
陈国才是研究曲线的对偶同调的性质跟微分式的关系, 所以真正用在
这个方面, 你不见得能把这个结解开.
但是有可能当曲线的曲率与挠率有某种性质的时 候,
他所定的这个不变式会等于0. 所以有些问题研究的时候可以想一想.
如果有人听 了 Harris教授的课的话, 他就在讲陈国才的工作.
陈国才是近几年来中国产生的一个非 常优秀的数学家. 他没有名,
不愿与媒介有什么关系, 一个人做他的领域, 做非常特殊 ,
非常创新的工作.
\end{CJK*}
\end{document}

-------------------------------------------------------------- 509 《陈省身谈微分与积分》第四讲

/*发到200贴了，升高级成员了，庆祝一下！*/
----------------------------------------------------------

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{CJK}
\usepackage{CJKvert}
\begin{document}
\begin{CJK*}{GB}{song}
\begin{center} {\Large \bf 第四讲\quad 曲面论(一)}\end{center}
\begin{center} 2001年11月2日\end{center}
\section{曲面的标架} 今天我们讲一点曲面论.
微积分在曲面上应用的研究在整个数学里头是很要紧的. 这
是因为在曲面论中, 曲面的这些性质往往扩充到其他更广的情形,
而这些更广的情形变 化到曲面的时候也有很多性质,
在曲面的情形已经发生了. 那么, 曲面有个优点, 就是
我们假定它是在3维空间里头, 所以你看得见, 你可以画图,
可以在看得见它上头的曲线 里的性质及其他什么的. 一到高维以后,
就看不见了. 我的讲法跟书不一样, 所以我
想大家把这几页材料复印一下.
这个材料大概应该在普通微分几何书上找不到的, 它有 个优点,
就是快得很而且方法来得简单. 那么什么是曲面呢?
曲面就是图上一个扭曲的东西, 我把它的点的坐标表为两个变数的 函数,
这两个变数我叫做$u,v$. $u,v$一般叫做参数(parameter),
假使$u,v$变化的时 候, 这些点的轨迹就成了一个2维的曲面${\bf
x}(u,v)=(x^1(u,v),x^2(u,v),x^3(u,v) )$. 于是因为有$u,v$,
所以你可以使得一个参数的值是常数, 然后使得另一个参数变 化. 设$v$
是常数, 令$u$ 变化, 所以就有一条曲线, 它的参数是$u$. 同样, 你可以
使得$u$不变, 而$v$变化. 因此在曲面里头, 有两组曲线,
它的参数一组是$v$ 等于常 数, 一组$u$是等于常数. 对于这两组曲线,
每一条曲线在每一点都有一条切线. 所以在一个点$x$, 我们就有两
条直线. 我假定这两条直线不重合, 换句话说, 解析地讲, $x_u,x_v$
不是同一个方向 , 不平直(线性)相关, 其中$x_u,x_v$就是$x$
的矢量分别对$u,v$求偏微分. 或者我说 , 它的矢量积$x_u\times x_v\ne
0$. 假使这两个方向不重合, 所以它们就张成一个平 面,
这个平面我叫做曲面在这一点的切面.
这个切面在$x$这一点有个垂直的方向, 这个方向的直线一般叫做法线.
沿着法线的方 向有一个单位矢量, 因此也叫做法矢量.
这个法矢量有两个选择, 它可以向上走, 也可 以向下走,
有两个方向刚好相反的选择. 我选择它使得$x_u,x_v$
跟法矢量是一个右手 的坐标标架, 是一个右手系. 换句话说,
我叫这个法矢量$e_3$, 并假设 $e_3$是个单 位矢量,
于是$e_3$就满足条件
$$(e_3,e_3)=1\; ({\rm \mbox{单位矢量}}),\;e_3=\frac{x_u\times x_v}
{|x_u\times x_v|^2}.\eqno (4.1)$$ 那么在这样的选择之下,
$(x_u,x_v,e_3)$就是右手系. 这时, 行列式$\det(x_u,x_v
,e_3)$是正的, 即$\det (x_u,x_v,e_3)>0$, 所以是右手系. 现在,
我的这个方法跟一般的方法是不同的. 一般的书上往往用$u,v$
参数发展整个的 曲面的微分几何, 因此就比较长了. 他们这里有一个缺点:
因为$x_u$ 跟$x_v$ 不一定 垂直, 那么我们的兴趣是在于Euclid
几何有一个度量, 所以他们用的是非垂直的坐标系 , 而几何是一样的,
但是分析方面的公式就比较复杂了. 而我取 $e_1,e_2$是单位矢量 ,
它们是互相垂直的. 所以现在 $e_1,e_2,e_3$三个矢量都是单位矢量,
而且互相垂直 , 并且因为要它是一个右手系, 所以它的行列式应该是正的.
但是因为这三个矢量都是 互相垂直的单位矢量, 所以行列式等于$\pm 1$,
它的平方等于1. 所以我现在是叫这个 行列式等于1 的,
因此这是一个正交的坐标系, 它的行列式等于1, 于是
$$e_1,e_2,e_3\; ({\rm \mbox{右正交标架}}):\;(e_i,e_j)=\delta_{ij},\;(e_1,e_2

,e_3)=1,\;1\leq i,j,k\leq 3.\eqno (4.2)$$
\section{曲面的微分式及其几何} 那么微分几何怎么样呢?
这时就不只是有一个坐标系, 而是有一族(family)坐标系, 还
有几个变数(变的参数).
那么最要紧的一个现象就是一个坐标系跟它临近的坐标系是怎 么一个关系.
要了解这个关系是微分几何最主要的问题. 所以我现在有一族坐标系,
比方说是有两个变数$u,v$, 甚至可以有多个变数,
那么要找这个临近坐标系跟它的关系 , 我就把它微分了. 现在我这个${\bf
x}$是矢量, $e_i$也都是矢量, 所以我就求求看 $dx$, 看$d$跟$de_i$.
这是一个矢量的微分. 但是因为$e_1,e_2,e_3$ 是一个标架 ,
是线性无关的, 而我们是在3维空间中讨论的,
所以任何一个矢量必然是$e_1,e_2,e_ 3$ 的线性组合.
所以我可以把$de_i$写成
$$de_i=\omega_{ij}e_j.\eqno (4.3)$$
这里我用的是Einstein的符号: 如果有一个指数重复的话就相加.
因为我们的空间是 3 维的, $i,j,k$都是从1到3, 那么 $\omega_{ij}e_j$
就是对$j$ 相加. 所以这是3 项, 即$j=1,2,3$, 有3项. 这是Einstein
在微分几何引进的符号. Einstein还做了 一件事情: 比方说,
从前你要有个数目, 它要有个指数, 即$x_i$, $i$这个指数都写成 下标.
Einstein说不写下标, 他就写了上标, 因此后来的微分几何的书里头,
上标非 常多. 坐标的这个指标都写成上标, 其实, 上下没有关系. 所以,
我用下标写成公式 (4.3). 公式(4.3)是基本的公式,
它表示两个临近坐标的关系, 一个 $de_i$ 跟原来的坐标 $e _i$ 的关系.
$\omega_{ij}$是什么呢? 它是一次微分式. 因为 $de_i$ 是一次微分
式, 它的值是矢量的一次微分式, 所以你如果写成它的分量的话,
就有3个分量, 而且 每一个都是$de_i$的分量,
那么$\omega_{ij}$是一次微分式. 因为$i,j$都是从1 到 3,
所以一共有9个. 但是这些$\omega_{ij}$ 不是任意的, 这是几何上,
力学上最基 本的一个公式. 因为我们一切都是正交的系统, 所以
$\omega_{ij}$对于下标$i,j$是 反对称的, 即
$$\omega_{ij}+\omega_{ji}=0.\eqno (4.4)$$
为什么呢? 因为$e_i,e_j$ 满足 $(e_i ,e_j)=\delta_{ij}$, 你把它微分,
又因为$\ delta_{ij}$ 是常数,
所以微分它之后是0，于是就能得到下面公式:
$$(de_i,e_j)+(e_i,de_j)=0.\eqno (4.5)$$
由于$de_i=\omega_{ik}e_k$, 并且$e_i,e_k$是互相正交的,
所以由上式就得到$\omega_{ij}+\omega_{ji}=0$, 即公式(4.4).
对于所有的$i,j$从1 到3, $\omega_{ij }$是反对称的,
因此$(\omega_{ij})$ 看成一个$3\times 3$的方阵. 那么这个方阵是
反对称的, 它不是有9个元素, 实际上, 只有3个, 并且因为反对称,
所以主(对角)线上 的元素都是0, 其他的对于主线是反对称的. 也就是有
$$(\omega_{ij})=\left(\matrix{ 0 & \omega_{12} &\omega_{13}\cr -\omega_{12}
& 0 &\omega_{23}\cr -\omega_{13} &-\omega_{23} &0\cr}\right).\eqno
(4.6)$$ 因此只剩下3个元素, 即只有
$\omega_{12},\omega_{13},\omega_{23}$, 这3个都是一 次微分式.
而这3个一次微分式对曲面几何性质是非常要紧的, 即它们都可以由微分式
来表示. 普通研究函数论, 搞分析的时候, 都是讲函数,
讨论函数或者是把函数微分了, 把它的 微商作为系数,
大家传统不习惯于一次微分式. 其实, 一次微分式是把这个问题弄得简
单了. 我开头的时候曾经跟你们介绍过法国的大数学家 Darboux的书,
它有四大本叫 做《曲面论》. 这种书很值得看, 不过可惜是法文的.
他不用微分式, 他用的是偏微分 , 所以有许多公式写起来长一些.
用微分式的话, 一次微分式写起来就简单多了. 所
以我这里用了一次微分式, 用正交标架, 使曲面论非常简单.
这些你们在普通微分几何 书中很少能找到. 但是这种方法很有效,
因为一切东西都简单了. 我假定曲面是定向的,
即在转的时候有一个反时钟方向. 因为定了向之后, 在一个点,
它有两个切矢量的话, 它的法矢量就完全确定了. 因此, 曲面定向之后, 每一点一定

有一个固定的单位法矢量, 不是它的负的矢量. 那么,
曲面上有一个很要紧的几何结构 , 就是一个点加一个单位切矢量,
即$x$跟$e_1$, 这是现代所谓纤维丛的最简单的情况 ,
也是最要紧的情况. 那么对于$x+e_1$, 它多了一个维数,
因为固定了$x$之后, $e _1$这个单位切矢量还可以转圈, 所以
$x$的轨迹是2维的. 那么每一个$x$的切矢量还得 加1维.
这是因为它可以是一个圆, 转一个圆周, 它是单位的.
所以这个空间是3维的, 而这个3维空间我叫做$E$:
$$E=\{ xe_1|x\in M\}({\rm \mbox{圆丛}});\;\dim E=3.\eqno (4.7)$$
有一个3维的空间或者说造出一个3维空间, 这个观念要紧极了.
现在许多数学, 物理都 需要这个观念.
一旦你用原来的流形来描写几何不够, 往往需要上面有一个圆圈, 这个
我们叫做纤维丛. 这时圆周是一个纤维, 因此这个纤维丛叫做圆丛.
因为纤维是圆, 所 以$E$是由流形$M$(曲面我叫它为$M$,
是一个流形)造出来的一个圆丛. 那么在一点要有 $e_1$, 就有$e_2$了.
这是因为$e_2$ 是跟它垂直的一个单位切矢量, 同时可以由原来
的定向确定下来. 因此$e_1,e_2$就定下来了, $e_3$是法矢量当然也定了.
所以 $xe_ 1$这个单位切矢量跟标架是一回事.
有了单位切矢量也可以构造一个标架, 当然有了标 架,
你就可以取第一个切矢量为$e_1$.
所以这3维空间就是我们的曲面所有这些标架$e _1,e_2,e_3$ 所成的空间.
于是我们就有上面的公式(4.7). 我说$E$是3维的, $E$有 一个映射,
映到原来的曲面$M$: 因为你有这个切矢量, 它有一个原点$x$, 由$xe_1$把
它映为$x$, 这是一个从$E$ 到$M$的映射. 要研究曲面的微分几何,
单从曲面不够, 一定要用$E$. $E$跟原来的曲面有密切的关系 ,
刚才我讲了这种几何的关系. 用 $E$的好处在于, $E$
的空间是3维的空间, 它上头 有一次微分式,
这些微分式在$E$上头都是确定的. 那么除了我讲的$e_1,e_2,e_3$这几
个单位矢量, 当然曲面的点$x$也是一个矢量, 它的位置矢量也是一个矢量.
$x$ 是$u, v$的函数, $dx$ 当然是$u,v$ 的一个一次微分式,
它也可以表为$e_1,e_2,e_3$ 的一 个线性组合. 但是实际上,
它一定是$e_1,e_2$ 的组合, 这是因为$e_3$ 是法矢量,
所以它一定是在切面上头, 而$e_1,e_2$都是切矢量, 所以$dx$一定是$e_1,e_2$的线性

组合, 它的系数我叫做$\omega_1,\omega_2$, 即得到我们第一个公式:
$$dx=\omega_1e_1+\omega_2e_2.\eqno (4.8)$$
所以我现在有5个一次微分式: $\omega_1,\omega_2,
\omega_{13},\omega_{23},\omega_{12}$. 这组微分式非常要紧,
它们都有简单的几何 意义.
这个就说明微分式讨论几何性质使得问题简单而且容易.
现在我们就有公式( 4.8). 我们将公式(4.3),(4.4)作为我们的第二个公式.
我在前面讲过, 微分式有个最大的优点, 就是微分两次后是0, 即对于$dx$,
$d(dx)=0$ . 对于任何函数的外微分两次一定等于0,
这就相当于在空间任意取一个区域, 再取它 的边界, 而边界不再有边界.
取边界取两次一定是等于0. 因为这个性质, 这种数学结
构就有所谓的同调(homology)性质. 现在你要搞什么东西, 都是同调性质,
非常要紧. 不过我们现在把公式(4.8)左边$dx$ 再 $d$一下子就等于0,
而把右边的展开就得 $d(\omega_1e_1) +d(\omega_2e_2)$, 即
$$d(\omega_1e_1)+d(\omega_2e_2)=0,\eqno (4.9)$$
注意当外微分前面有一个一次的话, 微分第二个因子要改号. 总而言之,
你就把它们微 分了. 微分之后,
就发现所得到的式子是$e_1,e_2,e_3$的线性组合, 那么它的系数是
二次微分式. 而对于这个系数是二次微分式的矢量要等于0的话,
所有的系数都要等于 0. 于是你如果令$e_1,e_2$的系数为0 的话,
就得到我下面的第三个公式:
$$d\omega_1=-\omega_2\wedge \omega_{12};d\omega_2=\omega_1\wedge \omega_{12}

.\eqno (4.10)$$ 我不详细把它做了, 这个证明很简单, 可立即可得.
这是要紧极了的一个公式. 这些公 式你们也许觉得新,
因为在普通书上看不见, 这是由于普通不喜欢用微分式, 许多人也
不会用微分式, 其实这很简单. 所以我就得到公式(4.10).
然后令$e_3$的系数为0, 就得到第四个公式:
$$0=d\omega_3=\omega_1\wedge \omega_{13}+\omega_2\wedge \omega_{23}.\eqno (4

.11)$$ 这是非常非常要紧的公式.
由这些就得到所谓的Levi-Civita平行性. 现在,
这个也叫联络(connection). 对于联 络, 普通找一本书,
可以讲上很久很久, 其实很简单. 我说在这个情形之下, Levi-C
ivita联络就是$\omega_{12}$这个一次微分式. 注意$\omega_{12}$
是$E$里头的一个一 次微分式, 它就定几何的性质,
使得我可以把这个矢量沿着一条曲线平行的移动. 这是 什么意思呢? 就是
$\omega_{12}$这个一次微分式由方程(4.10)完全确定. 因为如果有
一个$\omega'_{12}$ , 使得适合同样的方程式, 即
$$d\omega_1=-\omega_2\wedge \omega'_{12};\;\;\;d\omega_2=\omega_1\wedge
\omega'_{12}.\eqno (4.12)$$ 我需要证明$\omega_{12}=\omega'_{12}$,
即只有一个可能性, 只有一个$\omega_{12} $ 适合方程(4.10). 也就是说,
假使有另外一个$\omega'_{12}$适合方程(4.10), 那么
我们把两个方程相减, 就得到
$$\omega_1\wedge (\omega'_{12}-\omega_{12})=0;\;\;\omega_2\wedge (\omega'_{1

2}-\omega_{12})=0.\eqno (4.13)$$
而两个一次微分式如果相乘等于0的话, 而且如果其中一个不是0,
那么其它那个必然是 它的倍数, 这是外代数最简单的东西.
你们算一算就出来了. $\omega_1,\omega_2$是不 为0 的,
而且不但不等于0, 并且线性无关. 因此,
$\omega'_{12}-\omega_{12}$既等 于$\omega_1$的倍数,
又等于$\omega_2$的倍数. 但是$\omega_1,\omega_2$ 线性无关 ,
所以它要等于0. 因此如果再有一个$\omega'_{12}$适合同样的方程,
它一定等于$\omega_{12}$. 这是完全确定的.
那么我用这个引进所谓的Levi-Civita平行性.
我们现在有$de_1=\omega_{12}e_2+\omega_{13}e_3$.
我们把$e_3$这一项取消, 取消是什么意思呢? 假使有一个矢量, 你
把它的$e_3$取消之后, 就是沿着$e_3$的方向取这个正交投影,
所以你把它取消了的意 思就是取它的正交投影. 你把它取消的话,
我现在不再是普通的微分了, 是新的微分了 . 我用$D$表示这个新的微分,
于是就得到这组公式:
$$De_1=\omega_{12}e_2,\;De_2=-\omega_{12}e_1.\eqno (4.14)$$
这是照我刚才证明的是由几何完全确定的,
这是因为$\omega_{12}$是完全确定的. 假使 $De_1=0$的话,
我就说这个矢量是Levi-Civita意义下平行, 即我说在这种情形下它就是
平行的. 它是平行的, 这是有新的意义. 在Euclid 几何的时候,
这就是普通平行, 现 在是普通平行的推广,
也就是$De_1=0$时是Levi-Civita平行. 所以在曲面上, 你用一次 微分式,
尽管这个平行比较难懂. 令$De_1=0$的话, 对于矢量是个微分方程.
这个微分 方程不一定有解, 但是假使你有一条曲线,
你就可以沿着这条曲线求解. 对于曲线来说 ,
所有的这些函数都是$t$的函数. 沿着这条曲线求解, 可以求到解.
至于这个条件, 我说这个矢量就是Levi-Civita 平行.
所以从这个定义可以了解这个平行性跟曲线的选 择有关. 假使有一个点,
另外还有一点, 那么你联这两点有两条不同的曲线, 你把同一
个矢量沿头一条曲线平行, 并沿第二条曲线平行,
看到的一般不是同一个矢量. 至于这 个平行性与曲线的选择有关系,
是普通的平行性的推广. 普通的时候, 平行性在Euclid
平面里上是绝对的和定了的, 现在这个时候是跟曲线的选择有关系,
这就是联络. 我刚才把 $x$ 这个矢量 $d$两次等于0. 而同样的, 我可以对
$e_i$这个矢量也$d$ 两 次, 即$d(de_i)=0$. 因此算出来$d(de_i)=0$,
就有:
$$d\omega_{ij}=\omega_{ik}\wedge \omega_{kj}.\eqno (4.15)$$
实际上, 很简单地, 我对$de_i=\omega_{ij}e_j$ 求微分.
然后因为$\omega_{ij}$是一 次微分式, 所以应该有个负号,
即负的$\omega_{ij}\wedge de_j$, 于是有
$$d(de_i)=d\omega_{ij}e_j-\omega_{ij}\wedge de_j=0.\eqno (4.16)$$
但是$de_j=\omega_{jk}e_k$,
所以头一个$d\omega_{ij}e_j$改为$d\omega_{ik}e_k$
没有关系, 这是因为你对于$j,k$是求和, 可写成$j$, 也可写成$k$, 都是从1到3, 无

所谓的. 因此就得到公式(4.15). 这是一个基本的公式, 看着麻烦,
其实很简单. 尤其是在3维的情形, 很简单. 实际上 ,
右边讲起来是3项之和, 但是这3项是对于$j$ 求和. 因为$\omega$
是反对称的, 所以 我们来看$\omega_{ik},i\ne k$,
或者就来看看$\omega_{13}$. 在下面那个公式看$d\omega_{13}$
应该是$\omega_{1j}\omega_{j3}$, 但是实际上, $j$只能等于2, 这是因
为 $j=1$时$\omega_{11}=0$, $j=3$ 时$\omega_{33}=0$.
所以右边看着是这么样之和 , 其实就只有一项, 所以你就得到
$$d\omega_{13}=\omega_{12}\wedge \omega_{23}.\eqno (4.17)$$
同样可以得到
$$d\omega_{23}=-\omega_{12}\wedge \omega_{13}.\eqno (4.18)$$
这些一般就是所谓的 Weingarten公式, 非常简单.
所以这些公式都是从简单的外微分立即得到的. Weingarten公式很有意思,
你要它跟原 来的 $\omega_{1},\omega_2$的公式比较的话,
完全是一个形状, 即注意到这些公式与 公式(4.10) 相似.
这个形状是有几何意义的, 现在它用来定所谓的 Betti Transform ation,
这个我不细讲了.
Weingarten公式跟原来$d\omega_i$的公式的相似性是有深刻
的几何意义的. \section{曲面的基本不变式}
上面我讨论了$De_1$的Levi-Civita 平行性.
如果取这个矢量在$e_3$这个方向的话, 我 就得到$\omega_1\wedge
\omega_{13}+\omega_2\wedge \omega_{23}=0$, 即公式(4.1 1). 因此,
$\omega_{13},\omega_{23}$都是$\omega_1,\omega_2$ 的线性组合,
我可以写 成
$$\omega_{13}=a\omega_1+b\omega_2,\;\omega_{23}=b\omega_1+c\omega_2.\eqno (4

.19)$$ 由这个我得到这个曲面的要紧的不变式.
一个曲面与另一个曲面有什么分别? 这个分别 在于曲率.
曲率是曲面上的函数. 比方说, 一般的话, 我们用第一基本式跟第二基本
式来表示:
$${\rm \mbox{第一基本式}}\;\;{\rm I}=ds^2=(dx,dx)=\omega_1^2+\omega_2^2;\eqn
o (44.20)$$
$${\rm \mbox{第二基本式}}\;\;{\rm II}=(-dx,de_3)=a\omega^2+2b\omega_1\omega_

2+c\omega_2^2.\eqno (4.21)$$ 对于第一基本式,
我叫它(I).它就是曲面的$ds^2=(dx,dx)$. 由于$dx=\omega_1e_1+\
omega_2e_2$, 但是$e_1,e_2$是互相垂直的单位矢量,
所以就得到$\omega_1^2+\omega_2^2$.
因此$\omega$这5个一次微分式都有重要的几何意义. $\omega_1,\omega_2$
的平方和就是曲面的度量. 在3维空间里头, 曲面当然有一个度量,
那么它的度量是什 么呢? 就是它的Riemann 度量, 是一个2次的微分式.
这个2次微分式简单极了, 就是$ \omega_1^2+\omega_2^2$. 那么,
我也可以对$e_3$这个矢量取$-(de_3,dx)$. 照我刚才所写的,
它就等于$a\omega^2+2b\omega_1\omega_2+c\omega_2^2$,
这也是一个2次微分式. 这个一般叫做第二基 本式.
那么有一个第一基本式, 还有个第二基本式, 你就取它的特征值.
特征值的和就是$a+ c$, 特征值的积就是$ac-b^2$. 一般地,
$H=\frac{a+c}{2}$叫做曲面的中曲率, $K=a c-b^2$
叫做曲面的Gauss曲率. 这里要紧极了, Gauss曲率有许多有趣的性质.
因此这
是怎么样从5个一次微分式由它们的线性组合的关系就得到曲面的不变式.
中曲率跟Gauss曲率这两个不变式描写曲面的几何性质. 比方说,
可以证明Gauss 曲率是 正的话, 曲面是鼓的, Gauss曲率是负的话,
曲面就有鞍点, 就象马鞍点. 许多几何性 质都可以用这两个曲率来描写,
所以是曲面里头两个最主要的不变式. 这个不变式是函 数.
以往我们得到的是一次微分式,
而一次微分式不大容易想象究竟是什么意思, 但由
它的运算可以得出函数来. 这函数当然是了解得比较清楚,
便得到中曲率跟Gauss 曲率 . 中曲率等于0, 一般叫做极小曲面.
所谓的极小曲面, 举例就是你把一条封闭的曲线放在
肥皂水里头所成的曲面就是面积最小的曲面, 它的中曲率为0.
所以这有简单的几何意 义, 最近, 甚至现在都有很多关于极小曲面的研究.
Gauss曲率更要紧, Gauss曲率是等于$\omega_{13}\wedge \omega_{23}$.
在曲面上也一 样有Gauss映射. 曲面每点有一个单位法矢量,
把这个单位法矢量看为一个半径为1 的 球面的点,
就把曲面映射到球面上去了. 每个点有一个单位法矢量, 你在$0$点画一个
单位法矢量跟它平行, 它的端点就在单位球面上.
那么对于所有的点都做这个构造的话 , 就在单位球面上得到一个区域.
在这个映射下, 两个面积元素的比, 即它的像(imag
e)的面积元素跟原来面积元素的比就是Gauss 曲率.
这样一下子就看出来了. 所以这 个Gauss曲率有很简单的几何意义. 这时,
曲面的讨论是一个推广. 曲面的时候有曲线 , 曲线也有一个Gauss映射.
那个Gauss映射是取单位切矢量, 其实也可以取单位法矢量 .
那么曲线的时候, Gauss映射把切线映射到单位圆上头,
把单位圆的度量被原来这个度 量除就是曲率.
现在就把这个观念推广到高维, 推广到2维, 即推广到曲面, 所以我由
这个曲面Gauss映射到一个单位球面上头, 这两个面积的比就是Gauss曲率.
所以这是一 个非常自然的几何度量. 现在有个很要紧的关系.
上头有$d\omega_{ik}=\omega_{ij}\wedge\omega_{jk}$, 现
在我把这个公式 用到$\omega_{12},i,k=1,2$,
于是$d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge\omega_{32}$.
但是$\omega$是反对称的,
所以$\omega_{32}=-\omega_{23}$. 这里$\omega_{13}\wedge\omega_{23}$
就是$ac-b ^2$, 也就是Gauss曲率. 所以我就得到公式
$$d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge\omega_2,\eqno (4.22)$$
其中, $K$是Gauss曲率. 这是一个令Gauss 非常惊讶的公式. 所以
Gauss把这个定理 叫做Theorem Egregious, Egregious是拉丁字母,
意思指这是一个了不得的定理. 为 什么呢?
它证明了Gauss曲率只跟曲面的Riemann 度量有关,
跟这个曲面在空间的位置无 关. 因为在这个公式里头,
$\omega_{12}$已经证明了只跟曲面的Riemann度量有关.
然后$\omega_1\wedge\omega_2$就是在这个度量下的面积元素, 当然只跟$ds^2$有关,

即只跟 Riemann度量有关. 所以虽然Gauss曲率是一个曲面在空间里头的一个不变式,

但是它只跟曲面的Riemann度量有关. 换句话说, 你把曲面变换(deform)一下子, 使得

Riemann度量不变, Gauss曲率就不变. 所以
Gauss曲率有这么重要的性质. 我想 Gauss做了许多要紧的和漂亮的结果,
这个定理显然是他特别欣赏的一个结果, 是很特别的 一个结果. 实际上,
我们就把这些方程用外微分微分一下子, 得到基本公式, 然后就得
到这些公式. 下次, 我要讲由这个公式证明Gauss-Bonnet公式.
Gauss-Bonnet公式是推广三角形三角 之和等于$180^o$,
将这个公式推广到曲面的情形. Gauss-Bonnet公式的应用非常之广.
证明的时候, 我始终利用圆丛. 这圆丛稍微用得复杂一些: 假定这个丛是一个复的线

丛(complex line). 那么这个复线丛的纤维是条复线, 在复线里头,
绝对值等于1的复数 是一个圆周, 就是圆丛. 这个观念在物理上是基本的.
现在大家搞得很多的是辛几何( symplectic geometry).
单有辛结构(symplectic structure)不太有用, 你要把辛几何
用到量子力学的话, 需要加上一个复线丛,
就是我们现在所讲的东西的一个推广. 我们 现在讲2维, 一到物理的话,
空间与时间加在一起是4维, 所以你基本的空间是4维, 在4
维空间当中有一个复线丛. 因此就得到这个Gauss 曲率.
现在这个曲率是2次微分式,
它$d$一下子等于0, 就得到Maxwell方程. 所以微积分在几何上应用是许多物理的基础

. 最近我在《科学》杂志上写了一篇文章,
叫做《Gauss-Bonnet公式与Maxwell方程》 , 你们如果能找到,
可以去看一看. 我想把这篇文章拿来给大家, 但是现在乱得很, 没 找到.
下次我想讲Gauss-Bonnet公式的一个证明,
这个跟我们的工作有非常密切的关系. 在50年前, 在昆明西南联大,
我教微分几何, 就得到Gauss-Bonnet公式的这个证明. 普通
书上复杂多了. Gauss-Bonnet公式主要意思是说, 你有任何一个曲面,
曲面上头有一个 多边形,
把这个多边形的Euler特征数表示种种曲率的组合, 这是Gauss-Bonnet公式.
我得到这个证明. 我想这是Gauss-Bonnet公式最简单和最自然的一个证明,
就是把 $d \omega_{12}$一微分就得到Gauss-Bonnet公式积分的式子.
然后我在一九四几年的时候 , 到了Princeton 做高维的, 当然自然而然地,
我想法子把这个推广到高维, 这个是可 以做到的. 以后,
我还做了些别的工作. 所以可以说我这个Gauss-Bonnet公式的证明在
我所做的工作中是我最喜欢的一个. 我想现在可以结束了.
\end{CJK*}
\end{document}

---------------------------------------------------------- 509 《陈省身谈微分与积分》第五讲
-------------------------------------------------------------

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{CJK}
\usepackage{CJKvert}
\begin{document}
\begin{CJK*}{GB}{song}
\begin{center} {\Large \bf 第五讲\quad 曲面论(二)} \end{center}
\begin{center}{\Large \bf —Gauss-Bonnet公式}\end{center}
\begin{center} 2001年11月23日\end{center}
\section{曲面论发展的简介} 很高兴又与大家见面了.
我在医院里住了几天, 你们可以看出来我还没有完全好, 不过
我觉得我还是跟大家讲讲这些东西. 那么,
我今天要讲的是Gauss-Bonnet公式. 这个公 式有相当的意义,
也有相当的历史, 尤其跟我个人的工作也有关系, 所以我要提一提我
跟这个问题是怎么样的关系. 我们上次讲到曲面论,
曲面论是微分几何里头最重要的一部分. 因为许多微分几何的现
象在在3维空间里的2维曲面的情况已经产生了. 同时,
因为它是在3维空间里头, 这个几 何的情况是可以看见的,
不是完全用代数来表示. 曲面论有很长的历史, 最早的当然是Monge. Monge
是法国的大数学家, 他老先生对政治 有些活动,
所以他除了做大学教授之外, 他对法国的教育有很多影响. 他是拿破仑底下
的一个雇员, 帮助拿破仑做事, 他是拿破仑政府的海军部长,
甚至还跟着拿破仑去埃及 打仗. 因为他的影响,
法国的高工学校(Ploytechnique)就建立起来了. 很长一段时期,
法国最好的学生都在高工学校. 我想高工学校也许象现在的清华, 有许多好的学生, 例

如说, 法国一个最大的数学家Poincare 就是Ploytechnique的学生.
Monge是第一个写 关于微分几何书的人,
他的书就叫做《微积分在几何上的应用》, 这也是我要讲的题目 . 因此,
法国的教育在微分几何有一个相当的传统. 除了Monge本人之外,
由于他在高 工的影响, 他有很多学生, 都是在微分几何有相当贡献的人.
然后在微分几何逐渐发展之中,
比较晚一些的是法国另外一个大数学家Darboux.
Darboux是法国科学院的秘书长, 所以在他的时期,
他是在科技界有很多影响的一个人. 他不 仅是秘书长,
也是巴黎大学理学院的院长. 他的最大的工作是四本《曲面论》. 我想,
这四大本是数学文献里头永远的一个文献. 现在可惜由于它是法文的,
很多人不看这个 书, 我想这些人对微分几何缺少一点了解,
他们应该看这个书. Darboux的书讲得非常好 , 包括了很多材料. 在1941
年, 我在西南联大教书, 教《微分几何》, 也讲到曲面论. 讲到曲面论时,
当然 就看Darboux的书, 就想到Darboux的书里头,
一个主要的方法是用活动标架, 也就是采 用活动标架法. 他用得非常彻底,
做得非常之漂亮. Darboux稍微不用的一点是他不用 外微分, 我想,
我的课是讲微积分, 而微积分你要讲到多元, 多变数的时候, 这个外微
分不能避免. 这是因为在多变数的时候, 最有效的工具是外微分.
外微分可以加, 减, 可以乘, 可以微分,
所以有很多代数的运算可以用到外微分, 同时, 一个外微分也是一 个式子,
这个式子给予很多数学问题, 不管是它的几何, 还是它的分析,
都给你很多材 料, 因此是非常有用的. Darboux的缺点是他没有用外微分.
他用活动标架法, 但是没有外微分. 因此, 有很多工作, 不用外微分,
怎么办呢? 他也是还要用微积分的, 不用外微分, 他用偏微分. 用偏
微分比外微分差得多了. 因为你的曲面是2维的空间, 所以对于两个变数,
即曲面的参数 $u,v$, 你要对$u$求偏微分, 对$v$求偏微分,
这里头有很多偏微分, 而用外微分就简 单多了. 但是他不采用外微分,
这是很奇怪的事情. Darboux是发现一次外微分式的第一 人.
一个是Darboux, 一个是Frobenius, 他们两个人最早发现这个东西的,
但是等到应 用到曲面研究的时候, 不知道为什么, 他没有用.
也许是由于传统的关系, 他写了外微 分之后, 谁都不懂了,
所以他不用外微分了. 我刚才讲了, 在1941年, 我刚巧在昆明教这个课,
我很自然地想, 为什么不用外微分呢
?所以我就用外微分想法子做Darboux所做的工作,
或者说至少做曲面论和一些几何的讨 论. 我采用外微分,
因此我得到一个很好的了解. \section{曲面论基本内容的回顾}
什么叫外微分呢?就是你发现要研究曲面的话, 曲面是一个2维的流形,
它在普通空间里 头是2维的, 所以它上头任意一个点是两个变数,
通常就叫做参数. 但是现在呢, 我们就 叫它局部坐标$u,v$.
因此它的坐标是2个变数的函数, 所以是这个条件使它在每一点有
一个切平面. 这个切平面当然很要紧, 因为我们没有法子研究复杂的图形.
我们只能研 究最简单的如直线, 平面这些东西.
切平面跟曲面有最密切的关系. 那么, 单说密切的 关系不够,
一定要解析地能够解决比较更深刻的一些问题. 有一个切平面,
在这个切平面上是2 维的, 于是每一点就有许多矢量, 也就是切矢量.
切矢量就是跟这个曲面相切的矢量. 因为这个曲面是在Euclid 空间里头,
所以我可以讲 这个矢量的长度. 为简单起见, 我限于讨论长度等于1
的矢量, 即单位矢量, 所以有一 圈单位切矢量.
跟这些单位切矢量垂直的有另外一个矢量, 我们假定它是取成单位的,
那么这个矢量我们叫做单位法矢量.
要注意的是这里就有一个几何现象发生了, 因为假 使这个曲面弄平了的话,
单位法矢量可以向上走, 也可以向下走. 换句话说, 这个曲面
除了是一个2维的流形之外, 它还有一个定向: 在曲面上你是顺方向转,
还是跟逆方向转 , 这个转动是很不一样的. 所以,
你要定怎么样子转动是顺方向, 这就是要给曲面一个 定向. 定向有了之后,
它的单位法矢量就定了. 单位法矢量在这个方向可以向上走, 也
可以向下走. 定了一个之后, 这个曲面也就定向了.
这是很重要的一个观念. 虽然相差 的只是一个符号,
但是这是一个很重要的观念. Mobius是德国伟大的几何学家.
因为你要定向, Mobius发现有些曲面不能定向, 这当然
是很有意思的一件事情. 你们大家都知道的这个图形: 就是拿一张纸,
你把它转一圈连 起来的话, 就得到所谓的Mobius 曲面, 它没法子定向.
这是几何上很有意思的一件事情 . 那么我们假定曲面已经确定了一个方向.
有了这样定向的曲面之后, 几何情况是怎么样 的呢?由单位法矢量$e_3$,
其中$e_3$ 是在3维空间, 你发现有一件事实, 就是说你单
独讨论曲面不够, 你一定要利用曲面上的单位切矢量,
我叫这个单位切矢量为$e_1$. 这 样我就有了一个标架,
它有了第一个单位矢量和第三个单位矢量. 如果空间是定向的,
第二个单位矢量$e_2=e_3\times e_1$也就完全确定了.
所以我就有个单位标架. 单位标 架就是三个单位矢量按照一定的次序,
是互相垂直的. 为什么单位标架在几何的研究之中是这么重要?
就是因为几何是根据运动群研究空间在 运动之下不变的几何性质,
而这运动群就是标架所成的空间. 因为是有一个并且只有一
个运动把一个标架变为其它的标架.
至于全体的单位标架跟这个运动群的元素成一一对 应, 不但是一一对应,
而且对应保持拓扑和一切的性质, 所以运动群很要紧. 因为空讲
的运动不知道在解析的情况之下如何可以处理, 而了标架之后,
就可以处理了. 标架就 是矢量了, 而矢量一般是有3个分量的矢量,
而每一个分量是函数, 就可以把它微分, 加 , 减什么的. 矢量有加,
减的运算, 也有微分的运算. 在某种意义下, 还可以有积分的 运算.
所以我现在就可以微分. 我研究曲面的时候, 不只一个标架,
那么在曲面的每点, 这样的标架有多少呢? 假使你 晓得$e_1$的话,
同时这个曲面是定向的, 这个标架就完全定了. $e_1$是什么呢? $e_1
$是这个曲面在这一点的单位切矢量, 那么这个曲面有多少单位切矢量呢?
每点有一圈在 切平面上头等于单位矢量, 而曲面是2维的,
所以它们所成的空间是3维流形. 这是因为 这个点是在曲面上移动,
是2维的, 现在在点定了之后, 单位切矢量可以绕着它转一圈,
成一个圆周, 所以它是又加一维, 是3维. 这个3维空间非常要紧.
我想现在实际上,
你们要了解微积分或者了解跟微积分下去的数学或者在数学中的应用 ,
这个情况是最简单的, 同时是最有用的. 所以我有一个3维空间,
由于每一点有个圆周 , 现在有个名字叫做圆丛, 或者圆周丛, 丛是bundle.
所以你要研究曲面的几何性质, 用这个解析的方法, 一定要讨论它的圆丛.
讨论圆丛了之后, 一切都简单了. 因为一切 都是矢量, 而是矢量的话,
它有分量, 就可以微分, 就可以用代数或者微分的运算.
我们是在讨论微积分, 我们假定碰到什么函数都可以微分.
我叫在这个曲面上的点为$x $, 那么$dx$ 是一个矢量,
就是从原点连着这个点的矢量. $x$ 是$u,v$ 的函数, 而
$u,v$是曲面上的局部坐标, 所以你可以写出$dx$: 假使$x$ 限制在曲面上,
那么$dx$一 定是$e_1$ 与$e_2$的线性组合, 所以在这个地方,
我就充分利用外微分的观念. 实际上 $dx$是一个矢量值的一次微分式,
所以它是$e_1$ 与$e_2$ 的线性组合, 它的组合系数 是一次微分式, 所以
$dx$可以写为
$$dx=\omega_1e_1+\omega_2e_2.\eqno (5.1)$$
$(dx,dx)$ 就是我们曲面的黎曼度量. 因为
$e_1,e_2$是互相垂直的单位矢量, 所以
$$\omega_1^2+\omega_2^2=ds^2\eqno (5.2)$$
就是黎曼度量. 如果这个清楚了, 这对于普通讲微分几何简单多了.
因为普通微分几何 , 黎曼度量要写成 $g_{ij}dx_idx_j$,
这是因为在切空间里所利用的坐标是任意的 Ca rtesian坐标,
它不一定垂直, 也不一定是单位. $dx$ 等于$\omega_1e_1+\omega_2e_2$,
但是我们外微分有个基本的性质, 就是再用一 次的话, 它等于0.
这就是普通说的偏微分可以是交换的条件, 一样的, 也就是得到的偏
微分与微分的次序无关. 所以你就把$d$用到$dx$上头, 一定等于0.
你把右边展开的话 , 就得到$d(\omega_1e_1)+d(\omega_2 e_2)$,
注意当外微分前面有一个一次因式的话 , 微分第二个因子要改号.
总而言之, 可以得到
$$d\omega_1=-\omega_2\wedge \omega_{12};d\omega_2=\omega_1\wedge \omega_{12}

.\eqno (5.3)$$
$$0=d\omega_3=\omega_1\wedge \omega_{13}+\omega_2\wedge \omega_{23}.\eqno (5

.4)$$ 我会在下面给出$\omega_{12},\omega_{13},\omega_{23}$.
既然用微积分了, 所以可以把$(xe_1e_2,e_3)$的微分表为
$e_1,e_2,e_3$的线性组合.
这个线性组合把$de_i$写成$\omega_{ij}e_j$. 现在我用微分几何普通的符号: 假使有

一个指数要重复的话, 就表示相加, $i,j,k$从1到3. 你把$de_i$
写成$\omega_{ij}e_ j$, $\omega_{ij}$的几何意义很明显:
你现在有一组标架, 这组标架跟一组参数有关 系, 而对于这一组标架,
就有一个邻近标架, 这个邻近标架跟原来标架的关系就是$\omega_{ij}$.
这关系是由一次微分式来表示的. 因此就有
$$de_i=\omega_{ij}e_j.\eqno (5.5)$$
这组方程式很要紧, 它就表示两个邻近标架互相的关系. 在这个情况之下,
微分几何跟力学不大一样, 力学往往变数是时间, 所以一个标架跟着
时间在移动, 因此你整个标架只有一个变数, 都是时间$t$的函数.
现在我们是一个曲面 , 每点有许多标架, 所以我这标架的参数是3.
这是因为有切面的局部坐标, 又有切矢量 在平面里头变换的坐标,
所以我现在这个自变数是3, 还因为$E$ 这空间是3维的. 自变 数高了,
所以这是有原因使得外微分有效. 我们已将$de_i$ 写成方程(5.5).
$\omega_{ij}$对于$i,j$是反对称的, 这是因为我的 标架是单位标架,
即因为$(e_i,e_j)=\delta_{ij}$, 所以它是反对称的.
因此$\omega_{ij}$实际上很简单: 你把 $(\omega_{ij})$写出来,
它是一个方阵. 这个方阵是反对 称的, 所以在对角线的$\omega$等于0,
其余的对着对角线是反对称的, 因此实际上只有 3个一次微分式:
$\omega_{12},\omega_{13},\omega_{23}$. 我想我上次证明了
$\omega_{12}$由$d\omega_1,d\omega_2$的方程(5.3)完全确定, 这
是一个重要的定理, 这是使得Levi-Civita出名的重要定理.
我现在把方程(5.5)求外微分. 因为$d(de_i)=0$, 所以右边的话,
我就得求$d\omega_ {ij}$, 结果得到的是
$$d\omega_{ij}=\omega_{ik}\wedge \omega_{kj}.\eqno (5.6)$$
因此这些$\omega$之间有很简单的关系, 简单得不得了.
因为什么呢?因为对于$d\omega_{ij}=\omega_{ik}\wedge \omega_{kj}$,
$i,j$是不相等的. 如果相等了的话, $\omega_{ii}$ 是0,
这是因为$\omega$是反对称的, 所以你取$i\ne j$. 如果$k$等于$i$,
则$\omega_{ii}=0$; $k$要等于$j$, $\omega_{jj}=0$. 所以$k$ 不等于$i$, 不等于

$j$. 因为我们是在3维空间, $k$只有一个可能性.
因此这个看着很神奇的方程式, 它 的右边只有一项, 我上次把它写下来了,
就是
$$d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}.\eqno (5.7)$$
$$d\omega_{13}=\omega_{12}\wedge \omega_{23}.\eqno (5.8)$$
$$d\omega_{23}=\omega_{21}\wedge \omega_{13}.\eqno (5.9)$$
尤其是得到$d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}$这个公式.
但是$\omega$ 是反对称的, 所以就得到
$$d\omega_{12}=-\omega_{13}\wedge \omega_{23}.\eqno (5.10)$$
而 $\omega_{13},\omega_{23}$都是$\omega_1,\omega_2$的线性组合:
$$\omega_{13}=a\omega_1+b\omega_2,\;\omega_{23}=b\omega_1+c\omega_2.\eqno (5

.11)$$ 这刚巧就得到下面这个公式:
$$d\omega_{12}=-\omega_{13}\wedge \omega_{23}=-K\omega_1\wedge\omega_2.\eqno

(5.12)$$
$K$是Gauss曲率, Gauss 曲率就是$K=ac-b^2$. 这个公式不得了.
当年Gauss不是这样得 到这个公式, 是用旁的方法得到公式.
它叫做Theorem Egregium, 用中文讲, 它是一个 奇妙的定理, 妙的定理.
你细细看看它, 它是很妙的. 因为我们的 $E$是单位矢量丛,
它这个圆周丛对于曲面$M$ 有一个投影: 对于圆周丛, 有这个单位矢量,
我取它的原点 就是它的投影.
因此我们现在的几何比从前观念上比较复杂了, 就是说, 不只是有一个
曲面或者有一个曲线, 现在有两个空间: 有$E$这个空间和曲面$M$.
事实上, 有了曲面 $M$, 然后有由所有它的单位矢量所成的空间是$E$,
它是曲面的圆周丛. 现在通常叫这 个曲面是底空间,
它是在底上的一个空间. 所以就有一个3维的圆周丛, 它的底空间是我
们的曲面. 在这个情况之下, 我们有几个一次微分式:
在空间里头有一次微分式$\omega_1,\omega _2$,
然后有$\omega_{12},\omega_{13},\omega_{23}$, 一共5个一次微分式,
其中$
\omega_{13},\omega_{23}$是$\omega_1,\omega_2$的线性组合(公式(5.11)),
它表示曲 面的几何性质. 我们有
$${\rm \mbox{第一基本式}}\;\;{\rm I}=ds^2=(dx,dx)=\omega_1^2+\omega_2^2;\eqn
o (55.13)$$
$${\rm \mbox{第二基本式}}\;\;{\rm II}=(-dx,de_3)=\omega_1\wedge \omega_{13}+

\omega_2\wedge
\omega_{23}=a\omega^2+2b\omega_1\omega_2+c\omega_2^2.\eqno (5
.14)$$ 也就是$\omega_1\wedge \omega_{13}$ 加上$\omega_2\wedge
\omega_{23}$是曲面所谓 的第二基本式.
第一基本式是$\omega_1^2+\omega_2^2$,
是两个变数$\omega_1,\omega_2$的平方和.
第二基本式对于第一基本式有特征值, 特征值的代数和一般叫做中曲率
$H=\frac{a+c}{2}$, 特征值的积就是 Gauss曲率,
所以Gauss曲率是$ac-b^2$.
而我们现在有一个奇妙的公式就是$d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge\omega_2$.
在这个 公式右边, $\omega_1\wedge\omega_2$ 就是曲面的面积元素,
它当然只跟曲面的度量有 关, 与它的位置没有关系,
只跟曲面的第一基本式有关. 在它的左边, $\omega_{12}$
是我们的Levi-Civita联络, 由于右边由第一基本式完全确定,
所以左边也是只与第一基 本式有关,
因此我们知道Gauss曲率只跟第一基本式有关. 这是Gauss非常得意的结果.
\section{Gauss-Bonnet公式}
我们可以由$d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge\omega_2$
得出来Gauss有名的这个定理.
我现在说, Gauss-Bonnet 公式也立刻就由这个公式得出来. 那么, 当年我也这么想,

因为假使你有一个封闭的曲面, 有了这个Gauss 曲率乘以面积元素, 你当然很自然地问

它的积分是什么: 有一个面积元素乘以一个函数(Gauss曲率),
把它在曲面上积一遍得出 的数是不是跟这个曲面的几何有关?那么,
这个就是Gauss-Bonnet公式: $M$是封闭的定 向曲面, 则
$$\int\int KdA=\frac{1}{2\pi}\chi (M).\eqno (5.15)$$
在我们这个公式中, 我们把$\omega_1\wedge\omega_2$ 叫面积元素,
我们也可以叫它做 $dA$, $KdA$就是这个积分. 你立刻就想:
我们在封闭的曲面, 所以如果有一个积分, 它可以写成$d$什么的,
那么它的积分在应该是在曲面的边界上, 可以变为一个边界积分 ,
这是我开始讲的Stokes定理主要的部分.
所以会不会由这个得到Gauss曲率的积分是0 . 这显然是错误的,
Gauss曲率积分不会等于0, 这是因为你取一个2维的球面, 它可以
取一般的度量使它的Gauss曲率等于1, 那么在曲面上的积分当然不会等于0.
所以这个 道理是错误的. 当年因此我想错在什么地方.
错在我们这个公式$d\omega_{12}=-KdA$不是在曲面上, 是 在圆周丛上头.
这个曲面是在圆周丛上, 所以我需要把这个曲面提高到圆周丛上头, 提
高是什么意思呢? 就是在每一点你取这个点作为原点的单位切矢量.
所以换句话说, 我 们一般叫这个为矢量场,
因此你在一个2维流形上面要取一个矢量场, 这个矢量是单位矢
量跟曲面相切, 即为单位矢量场, 这是不是可能? 随便任给你一个曲面,
你能不能每点 指定一个单位切矢量, 或者切矢量, 使得它是连续的,
甚至是可以微分的. 这样的矢量 场不一定有, 这是一个拓扑的定理.
整个的这一段的发展是曲面论, 或者是整体曲面论
跟曲面的度量这种种的关系在差不多100年前是主要的问题.
那个时候最主要的杂志是《 Mathematische Annalen》,
全世界数学的中心是在德国. 《Mathematische Annalen》
上头关于这个问题有很多文章. 那时候, Einstein是《Mathematische
Annalen》的一 个编辑. 这个问题完全搞清楚了需要一些时间.
那么其中有一个因素是假使你有一个封闭的曲面,
你取每点的并且定向的单位法矢量, 即取每点确定的单位法矢量,
把它映射到单位球上去, 这个通常叫做Gauss 映射. 所以
Gauss映射把你的曲面映射到单位球上去,
这样就把一个2维曲面映射到另一个2维曲面,
两个都是定向的, 于是这里就有一个拓扑不变式, 叫做Mapping Degree, 即映射的次

数. 在平面的情形, 你有一条曲线, 所以单位球就是单位圆,
那么你把这条封闭的曲线 映射到单位圆上头,
究竟它转了多少圈呢?这就是Mapping Degree(映射的次数). 这个定
义在高维, 甚至是2维就不这么简单了. 显然,
我们把曲面映射到单位球上头, 然后取单 位球上头的面积元素,
这就是Gauss 曲率, 所以这个映射就等于 Gauss曲率的积分, 把
这个对面空间的面积元素用映射拉回来之后和原来曲面的面积元素一除,
即为求它的整 个的积分, 就得到映射的Degree. 可以证明这个Degree
在可以定向的曲面的情况下, 它 是曲面的Euler数的$\frac{1}{2\pi}$.
很可惜的, 我大概没有时间把这个完全讲完. 我想我下次再详细讲讲.
我现在大致讲讲 这个证明是怎么样的.
显然我们已有基本公式$d\omega_{12}=-KdA$. 我们还要把曲面放
到$E$上去, 所以要定一个单位矢量场, 这不一定可能.
这样的单位矢量场要有异点, 也
就是说如果你允许整体单位矢量场有异点的话, 它那是可能的.
这也需要证明. 有了异点之后, 就看这个异点的性质, 比如说,
你看看这些单位矢量场, 画这几个图（ 图略）.
这是矢量场的异点的可能性, 可能矢量场有许多不同的方向,
但是在异点有时 候这个矢量向外走, 也有时候矢量向里走,
也有时候就象第三个图, 它是跟一族双曲线 相切.
所以讨论矢量场的异点的性质是非常有意思的问题.
那么我在任何曲面一定有一个, 并且且不只一个,
而是有许多有异点的单位矢量场. 在 这个情形之下, 你要把曲面切成小块,
切成一个所谓complex(复形). 你先定它在顶点,
因为所谓的complex, 就是说, 有些顶点, 有些边, 有些面. 在顶点, 定一个任何的矢

量, 那么第二步把这个矢量场延到边. 取一个边的话,
如果矢量场已经在顶点确定了, 那么很容易看出来可以把它延到整个的边.
现在是面了: 假使是面的话, 比方说有个三 角形,
现在矢量场已经在边上都定了, 是不是能够延长到它的内部,
这就不明显了. 当 然这是一定可以的. 假使你允许它有异点,
比方说是一个三角形, 那么你就在三角形中 间取一点,
然后从这点连到边上, 那么这个矢量场就把它延到内部, 但是这样定的矢量
场在中间的那点一定是异点,
因为中间的那点没法子定一个可以连续的矢量场, 使得每 点只有一个矢量.
在这一点就没法子定. 所以刚才这个理由可以证明:
假使你允许这矢量场有异点, 这样的矢量场是存在的. 普 通一定有异点,
在地球上, 要刮风的话, 这风跟地球相切的时候, 它的方向是个矢量场 ,
一定有一点没有风, 至少有一点. 而这一点就很复杂了,
那么这种样子点的研究是很 有意思, 也很要紧的问题.
区别矢量场在异点的性质,
很简单的一个方法是我们可以在异点定一个整数. 这一般就
叫做它的指标：
$$I(s)=\lim \frac{1}{2\pi}\int \omega_1.\eqno (5.16)$$
就是说, 中间有异点, 异点附近的矢量场是完全确定的,
所以你在这点画个小圆周, 那 么圆周的边界矢量场已经有了,
所以你在这一点把它映射到一个圆周. 因为局部的时候 ,
你假定是Euclid几何, 假定用平行线, 你就把它映到圆周,
那么绕圆周是多少次呢? 这就是矢量场的指标.
下次我证明假使你有了这些, 你就取单位矢量的矢量场, 并且把
这个曲面提高到$E$里头, 即提高到圆周丛里头,
它就变这个曲面为有尖点的. 既有尖点 , 又有异点,
这个异点弄上去就是尖点. 那么这些尖点的指标加在一起就是Euler 常数 ,
就等于这个积分, 即这个积分有意义, 它是Euler常数.
我想微积分有一个重要的应用是在复变函数论. 你要讲数,
最有意思的数就是复数. 很 惭愧, 我看中国数学史, 中国人太实际了,
中国人没有复数. 复数要紧得不得了. 我要 讲一点复变函数,
我要证代数基本定理. 复变函数之后, 任何代数方程式都有解, 这是
不得了的一个结果. 这个结果, 当年Euler不会证, 很多人都证不出来.
Gauss 能证明 , 他是近代最伟大的数学家.
\end{CJK*}
\end{document}

----------------------------------------------------------- 509 《陈省身谈微分与积分》第六讲
--------------------------------------------------------------

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{CJK}
\usepackage{CJKvert}
\begin{document}
\begin{CJK*}{GB}{song}
\begin{center} {\Large \bf 第六讲\quad 曲面论(三)} \end{center}
\begin{center}{\Large \bf —Gauss-Bonnet公式(续)}\end{center}
\begin{center} 2001年11月30日\end{center}
\section{微积分在复变函数论中应用简介}
我还应该再讲两次. 这两次我有个计划: 预备讲一点复变函数论,
因为在数学中, 很要 紧的一件事实,
同时在数学史上也是非常要紧的一件事情, 就是有复数. 这个复数使得
数学简单, 复函数有许多漂亮, 有意思的性质, 因此,
这使得这些函数在应用上特别有 用处. 所以, 我预备讲一讲, 比如说,
复变函数有一个很重要的性质: 任意的代数方程 在复变函数之中一定有解.
这是一个不得了的事情, 因为不管你怎么样写一个方程, 你
要是允许解是复数的话, 它一定有解. 例如, $x^2+1=0$,
那么它有个解就是$\sqrt{-1 }$, 所以$\sqrt{-1}$就这么样子有用处.
不但如此, 复数跟实数一样, 可以加减, 有 同样的性质, 所以,
它可以运算. 同时它包含了许多材料是实数不能包含的.
我想我的课在过程中一定会有个空挡, 在空挡的时候,
我想找两次讲复变函数. 我预备 讲: 一个是我刚才讲的代数的基本定理,
就是说任意的代数的方程在复数域中一定有解 . 这个是很难证明的,
需要数学上新的观念. 比方说, 伟大数学家如Euler, 他想法子 证明,
但没有能成功. 我想Gauss 是我们近代最伟大的数学家,
他很年轻的时候就有一 个证明, 也就是复数需要一些几何的性质,
不完全是代数的问题. 我预备下次讲复数的 时候证明这个定理;同时,
复变函数最主要的一个定理是Picard定理, 就是说, 假使对于
一个复变函数, 取它的函数值在复平面里头所取的位置,
它把整个复平面都盖住了, 其 中也许可以去掉一点, 两点. 这是不得了的,
就是说, 函数如果是一个全纯函数的话, 它分布得非常之均匀,
可以说差不多把平面都盖住了. 有意思的一件事情是这个定理是
复变函数高峰的定理, 可以利用我们现在要讲的Gauss-Bonnet公式来证明.
这说明看起 来没有关系的一些方法跟观念, 结果是有关系的.
这是数学上非常要紧, 有意思的问题 . \section{关于学习的自动性}
这个课快结束了, 你们在这个课写个报告, 最好是自动.
你能够自己找到一个问题, 这 是更要紧的. 我想你们都是大学生,
大学生受高等教育最后的一段, 以后到社会上去, 即使在学校,
在学术单位里头, 最要紧的一定要自动. 不要是等老师叫你做什么, 你再
做什么, 这个最坏. 要自动, 要自己能找问题,
要自己能够答复自己找的问题. 那么, 当然你找的问题不一定合适,
你暂时也不一定能够得到答案. 不过, 你中间经过一些弯 路,
经过一些错误, 可以使得你的学问真正进步,
而使得你真正进步的就是要经过这样 的手续, 所以我鼓励大家要自动.
多一点地讲起来, 你们甚至要能够组织一个团体, 互相报告找问题,
或者请校内校外老 师, 同学来做报告, 这是很有好处的,
自己要把数学想一想, 或者对任意的学问, 你自 己有个思想,
觉得有个什么样的活动, 对于你, 对于这个学问的知识可以增加, 同时你
对学问的能力也可以增加. 所以这是很值得注意的一件事情,
希望你们考虑一下这个可 能性. \section{Gauss-Bonnet公式的证明}
上次, Gauss-Bonnet公式我没有证明全, 所以我先把证明说全了.
我上次讲的Gauss-Bo nnet公式就是: 假使在空间里头有一个曲面,
它是一个整个的曲面, 并且假使这个曲面 是定向的,
即它的法线有一定的方向, 于是这样子, Gauss曲率$K$就是曲面上的一个函
数, 我可以把这个函数对于曲面上的面积度量求积分,
这个积分是一个2重积分, 求它积 分之后,
结果这个积分等于一个常数($2\pi$)乘以曲面的Euler 示性数. 即
$$\int\int KdA=2\pi\chi (M)\eqno (6.1)$$
Euler示性数就是把曲面切成小块之后, 适于一点自然的条件,
把它切完之后, 其顶点个 数$-$边的个数$+$面的个数,
这样3个数的正负的和就叫做这个曲面的Euler示性数. 当 曲面是球面的话,
它的Euler示性数$=2$, 如果它是个环面, 它的Euler 示性数是0. 你
们可以试一试, 就能得到这个. 如果曲面是个定向曲面,
这是它的唯一的拓扑不变式. 一般讲起来, 假使球上加几个环 ,
环的个数就跟Euler示性数有个关系:
这环的个数普通叫曲面的亏格(genus), 这是曲 面最重要的拓扑不变式.
有意思的是, 这曲面的性质, 曲面上头函数的性质跟亏格有密 切的关系,
所以亏格是拓扑不变式, 它影响到曲面的几何性质和解析性质, 有非常之重
要的影响. 所以整个这些关系是很深奥的, 相当深奥的. 因此,
也是非常要紧, 非常有 意思的. 我上次证明Gauss-Bonnet公式,
最要紧的公式就是
$$d\omega_{12}=-\omega_{13}\wedge \omega_{23}=-K\omega_1\wedge\omega_2.\eqno
(6.2)$$
我现在重复一遍. 要研究曲面论的话, 一定要研究曲面上的标架.
假使取这个标架, 使 标架的3个单位矢量互相垂直,
并且我们假定它是个右手系, 即在两个之间选择一个右手 或者左手,
我们假使是右手系. 那么, 对于这样子标架, 假使你知道第一个矢量之后,
其它两个矢量就确定了. 因为我们假定第三个是曲面的单位法矢量,
那么第一个, 第三 个定了的话, 第二个也就定了. 事实上,
我这是一个单位标架, 同时是右手系(右手标架 ), 这就完全定了.
所以对于在一个点的所有这种样子的标架, 一共这种标架有单参数系 (one
parameter family), 是根据了一个变数. 曲面是2维的,
再加上这点的标架有一个 参数, 所以曲面所有标架是一个3维的空间.
3维空间有$x$这个顶点, 定它在曲面的位置 , 它去掉两个维,
然后再取一个切线方向, 又有一个维, 因为切线在切面里头可以转,
所以又多了一维. 这样子就得到所有标架系所成空间的3维的性质.
有了标架系, 有什么好处呢? 因为有了矢量, 你可以用公式来表示出来.
矢量有分量, 这分量就有数. 我们搞数学最要紧的要有数. 你要有数的话,
描写是准确的, 并且应用 的时候你可以观察到的都是数.
在某种意义下为什么微积分要紧? 我想数学主要的目的 是研究函数,
研究两个系统的关系. 现在这关系呢, 函数不好搞了, 所以微积分是把这
个关系线性化, 因此可以用代数. 矢量可以加, 拿个数目来乘,
所以微积分主要的成就 是把空间的理论, 把函数的理论线性化, 代数化.
有了代数以后, 你就可以算, 所以就 有用, 因此也重要.
那么有了标架所得到的解析的事实是什么呢? 我把这个标架叫做$
xe_1e_2e_3$,
$$E=\{xe_1e_2e_3|M {\rm \mbox{定向}}\;\;e_3{\rm \mbox{是法矢量}},\;e_1{\rm \
mbox{是切矢量}}\}\eqno (6.3)$$ $e_3$是单位的法矢量.
$x,e_1,e_2,e_3$ 都是矢量, 所以它们的微分也是一个矢量. 微
分之后是一次微分式矢量值. 因此, 它们可以表为
$e_1,e_2,e_3$的一个线性组合. 我把$dx$表为线性组合,
得到的系数我叫做$\omega_1,\omega_2$,
$$dx=\omega_1e_1+\omega_2e_2.\eqno (6.4)$$
$\omega_1\wedge\omega_2$就是曲面的面积度量, 是一个2次微分式,
它当然可以用来做 个重积分的积分函数(integral), 所以把它积分的话,
就得到这个曲面的面积. 我讲的关于曲面的理论的这些结果,
你在微分几何书上找不到. 如果你不能完全接受, 不能完全懂的话,
没有关系. 因为这些内容大概是普通微分几何可以讲一个月, 我讲一
两次就把它讲完了. 这也证明这个方法的优点.
它的优点主要是我在研究3维空间的Euc lid 几何.
Euclid几何最好是用正交标架, 因为正交性在Euclid几何不变, 是有意义的
, 所以最好用正交标架. 那么, 一般的微分几何的书等用到曲面论的时候,
它不用正交 标架, 你要想别的法子. 比如说, 平面解析几何,
你不用正交标架, 你的两个坐标不垂 直,
甚至于它走的方向不是单位的方向, 你去试试看就知道难多了, 麻烦多了.
不是不 可能做, 可以做到, 就是麻烦多了. 有意思的一件事情,
当然我们都知道, 坐标系统是 法国的哲学家, 数学家笛卡尔发现的.
他头一次用坐标的时候不是正交标架, 都是任意 的标架.
他用任意的标架拿来处理这种几何的问题.
不知道是哪位先生放了个正交标架 , 以后你在书上看到的都是正交标架.
所以, 我的标架是$xe_1e_2e_3$, 这4个都是矢量.
它们的微分也得到矢量值的一次微分 ,
所以每一个可以表为$e_1,e_2,e_3$的线性组合.
由于我们是在一个3维的空间, 那么
这就是上面写的这个公式(6.4)和下面的公式:
$$de_i=\omega_{ij}e_j.\eqno (6.5)$$
这时候, 因为是一次微分式,
所以这种线性组合是$e_1,e_2,e_3$的线性组合, 它的系数 是一次微分式,
不再是函数了. 以前如果是函数的话, 它线性组合的系数是函数, 现在 ,
系数是一次微分式, 这些一次微分式重要得很.
因为它描写一个标架跟它临近标架的 关系: 它临近标架动一点点,
跟原来相差多少? 相差是一个微分, 就是我们的$\omega_
i$跟$\omega_{ij}$. 这几个微分式有简单的关系,
最要紧的是$\omega_{ij}$, 你看它很麻烦, $i,j$从1到 3,
但是因为标架是正交的单位矢量,
所以$\omega_{ij}$对于$i,j$是反对称的. 因此 ,
你把$\omega_{ij}$写成一个$3\times 3$ 的方阵的话,
这个方阵是反对称的, 它的对 角线的元素都是0,
并且对于对角线它是反对称的, 所以只有3个真正要处理的一次微分 式.
你要用标架来研究几何的这种情况, 在力学很自然.
力学讲一个物体在那儿移动, 那么 它的位置就是时间的函数, 因此,
这标架是时间的函数. 这种函数在力学上是一个变数 的函数.
因为在力学上, 在动力学上, 真正的变数是时间, 只有一个.
但是要研究几何 的话, 情况来得复杂,
可能这个标架是跟多于一个变数有关系, 可以是多变数的函数.
因此这之间就有些关系, 这关系就是你求$d(de_i)$. 我讲过,
你用上$d$的话, $d$用两 次是0. 所以你把这个关系写出来的话,
就得到$d\omega_{ij}$ 是一个式子, 可以用其 他的$\omega$来表示,
这式子是
$$d\omega_{ij}=\omega_{ik}\wedge \omega_{kj}.\eqno (6.6)$$
你得到这样子一组方程, 这是有意义的. 因为$\omega_{ij}$是一次微分式,
你把它微分 的话是2次微分式, 而在右边是两个一次微分式相乘,
所以也是2次微分式, 因此这组方 程不荒谬. 这组方程非常要紧,
它们代表运动群整个的性质. 这组方程看着复杂, 其实 非常简单,
因为这些$\omega_{ij}$ 是反对称的, 所以如果$i\ne j$ 的话, 例如,
如果 $i=1,j=2$, 那么$k=3$. 这是因为$k$ 要是等于1,
于是有$\omega_{11}=0$, 而要是$ k$等于2, 那么有$\omega_{22}=0$.
所以这组方程式看着复杂, 右边只有一项. 很简单地,
你还可以得到一个特别情形, 就得到
$$d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}=-\omega_{13}\wedge \omega_{23}.
\eqno (6.7)$$ 这个公式要紧极了. 我们在这个情形就碰到一个新的情况:
同样你们念微积分的时候, 一般只有一个空间, 大概一般不是平面就是3维
空间, 可是我们现在有两个空间, 一个 是标架常数成的空间,
是3维的;另一个是我们2维的曲面, 所以我有一个2维曲面还有一
个3维的空间, 这3维空间是个标架. 因此如果一个标架, 你取它原点的话,
我们说它就 投影到曲面上去了, 这样子就有个投影.
现在它有个名词叫做纤维丛. 现在是圆周丛了, 纤维是圆周, 有一把圆周,
而整个的圆 周所成的空间就是我原来的曲面, 我们叫原来的曲面为底空间.
拿同一个原点的所有单 位切矢量就成纤维, 于是构成纤维丛.
它就象我们衣服似的, 有一条一条的线. 最简单
的纤维丛是它的纤维是直线, 那么它是直线丛.
我试着把它比方成一把筷子, 你有好多 筷子, 每一根筷子是条直线,
那么有好多筷子, 整个筷子成一个空间, 这就是我们的纤 维丛,
这是直线的情况. 我们现在做的情况是圆周丛.
这个观念是微积分里头一个新的观念, 就是说, 你不是讨 论一个空间,
而是你在讨论两个空间, 并且这两个空间之间有密切的关系. 一个是圆周
所成的空间, 一个是我们的底空间, 也就是原来的曲面.
这两个空间之间有我所说的这 个关系, 这个关系有意思极了, 重要极了,
因为有下面的关系
$$d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge \omega_2. \eqno (6.8)$$
右边是曲面上的式子, 这是因为$K$是Gauss曲率,
$\omega_1\wedge\omega_2$是面积度 量, 所以右边是曲面上的性质.
左边是一个东西的微分. $\omega_{12}$是在纤维丛$E$ 里头的一次微分式,
这个一次微分式的外微分等于右边的式子. 这个证明说明Gauss 曲
率只跟Riemann 度量有关, 因为要是有了Riemann度量就有$\omega_{12}$.
那么我们右 边的式子只跟Riemann度量有关, 这是Gauss
当年很得意的一个结果, 连Guass都觉得很 不得了有这么样子一个关系.
Gauss-Bonnet公式就是我们要求右边这个式子的积分.
我们现在有一个封闭的曲面, 它 是定向的, 要求右边的积分,
求出它的值来. 那么当时我也有一种错误, 因为右边这个 式子既然是$d$
一个东西的话, 在一个封闭曲面上的积分应该是0. 事实上, 它应该等于
$\omega_{12}$沿着这个曲面的边界的积分, 而如果曲面是封闭的,
它没有边界, 所以应 该是0. 这显然是错的. 为什么它不等于0?
我们虽然有$d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge \omega_2$,
但这个关系不是在一个2维空间上, 它是在$E$这个3 维空间上. 所以我
们只能够在3维空间利用Stokes 定理. 而在3维空间的话,
这个曲面在3维空间里头就有 边界了. 你要把这个曲面升到3维空间去,
怎么升呢? 就是每点要给一个拿这点做原点的 切矢量. 换句话说,
这就是所谓的矢量场. 所以这个曲面需要有个矢量场, 每点有个切 矢量,
而这个切矢量是$E$里头的一个点, 就把这个曲面升到$E$里头去.
假使有一个曲面, 是不是一定有个矢量场? 这不简单了. 在局部的时候,
当然很简单. 你写下坐标, 随便写些矢量, 就有了.
是不是能够在整个曲面给一个矢量场, 这是几何 里头所谓整体的问题,
普通拓扑就搞这个问题. 也就是说, 局部显然可以写矢量的, 你
有局部坐标, 你把坐标分量写下来, 当然就有个矢量场,
但是这个是局部的, 能不能扩 充到整个的曲面, 不一定可能. 那么,
我上次已经讲过, 要这样的话, 必须允许这个矢
量场有异点(singularity). 比方说,
在下面几个图里头有几个矢量场的例子: ( 图见透 明片) 最左边的例子,
它的异点就在原点, 经过这个原点, 向所有方向画矢量. 除了原点之外 ,
就定了一个矢量场, 但是原点是一个异点, 它是所有水流出来的出发点,
所以它是个 异点. 第二个, 所有矢量都向原点走, 原点还是一个异点,
原点就变成一个沉下去的一 个点, 英文叫sink. 而左边的叫source.
当然也有象最右边的例子. 从这些例子可以看出矢量场在异点有不同性质.
如何描写它的不同的性质, 就有一个叫 做矢量场的指标(index).
你在这一点, 假使有个孤立的异点, 那么围着这个异点做个小 圆圈,
因为是孤立的异点, 所以在小圆圈上的点的矢量是完全确定的. 那么现在,
在小 圆圈的点绕着异点转多少圈呢? 如果转一圈,
并且是在正的方向转一圈, 它的指标是1.
如果向负的方向就是$-1$. 那么, 在我的上面例子中, 无论sink 还是source, 指标都
是 1 . 双曲线的现象指标为$-1$. 异点很复杂, 因此指标可以取任何值.
假使我把曲面升到纤维丛里头, 升到圆周丛里头, 并且允许有异点,
那么这个上去的曲 面就有边界, 这个边界就相当于这些异点.
所以根据公式$d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge \omega_2$, 我们关于
Gauss曲率的积分就等于异点的指标和. 所以我们证明一个 重要性质:
不论你取任何一个矢量场, 假使它只有有限个异点, 我们这个积分是指标和
, 即是把每个异点的指标加起来就等于指标和. 这里很要紧,
因为这个积分是跟矢量场选择无关的. 所以这证明了一个曲面假使有一个
有有限个异点的矢量场, 在异点的指标和矢量场的选择无关.
它等于那个积分, 而那个 积分里是没有矢量场, 所以就得到这样一个结果.
我再说一遍, 现在有一个封闭的曲面 , 取一个矢量场, 有有限个异点,
它的指标和是与矢量场的选择无关的, 这是因为它等 于右边的积分,
而右边积分根本没有矢量场, 所以与矢量场的选择无关.
为什么这个数目等于Euler 示性数呢? 现在既然它跟矢量场选择无关,
你就任取一个矢 量场, 比方说, 假使有个曲面, 你把曲面分割了,
分割成小块, 每个小块是三角形. 对 于这三角形, 每个边取它的中点,
三角形取它的重心, 你就可以定一个矢量场, 就象我 所画的. 从顶点出去,
然后到三角形的重心就进去. 对于这样子定的矢量场很容易看出 来,
刚巧在边上的这种点的指标等于$-1$. 于是它在顶点的指标是1,
在三角形重心的指 标都是1, 但是在边上每个点指标为$-1$.
所以把这指标加起来的话, 就等于顶点的个数 $+$面的个数$-$边的个数,
因此就是Euler 示性数. 这样子证明了Gauss-Bonnet 公式.
\section{Gauss-Bonnet公式的推广及应用}
Gauss-Bonnet公式真正有用的时候是曲面有边界. 在曲面有边界的时候,
Gauss-Bonnet 公式是顶点+顶点的外角+边的测地曲率(geodesic
curvature), 再加上在面的Gauss曲率 . 下面是一般的Gauss-Bonnet公式
$$\sum (\pi-\alpha)\;({\rm\mbox{点}})+\sum \int k_g(s)ds\; ({\rm\mbox{边}})
+\sum\int\int KdA\;({\rm \mbox{面}})=2\pi\chi(M)\eqno(6.9)$$
对于有边界的曲面, 头一部分是边界顶点的点曲率,
其次是边界的边的线曲率, 然后整 个的这个东西的面曲率,
所以你有一个有边界的曲面, 你就取边界的点曲率+边界的线曲 率+面曲率,
是Euler示性数. 证明是一样的.
真正Gauss-Bonnet公式最有用的是有边界的情况. 比方说, 在一个
Euclid平面, 假使 有一个三角形, 这个三角形由直线所成.
由于空间是Euclid空间, Gauss曲率=0; 假使 边都是直线,
所以测地曲率也是0. 因此这个就是说 $\sum(\pi-\alpha)$ 等于$2\pi$.
这是因为要是三角形, Euler 示性数是1. 右边要等于$2\pi$, 所以这就说明三角形
三角之和在Euclid平面上等于$\pi$.
Gauss-Bonnet公式是三角形三角和公式在一般情形 的推广.
这个观念重要极了, 它就是整个纤维丛的观念. 我说, 由这个纤维丛,
Maxwell方程就是这个情况的推广. 你到物理上应用的时候, 你的
空间是4维, 是3维空间+1维时间, 是4维的洛仑兹流形.
那么要表Maxwell方程的话, 你 要用一个圆周丛,
实际上是一个复的直线丛. 它有个曲率, 我们的曲率是Gauss曲率乘以
面积元素, 而这个曲率是个2次微分式,
把表示这个曲率是封闭的条件写出来就是Maxwe ll方程. 所以,
Maxwell方程的几何背景是非常简单的, 就是因为世界是4维的空间,
所以是从2维 空间扩充到4维. 那么这个曲率因为是一个2次微分式,
还是反对称的, 因此在4维空间里 是一个$4\times 4$方阵:
$$(F_{\alpha\beta}=\left(\matrix
{0 & E_1 & E_2&E_3\cr -E_1& 0 &-B_0 &B_2\cr -E_2 &B_0&0 &-B_1 \cr
-E_3 & -B_2 &B_1 &0\cr}\right).\eqno (6.10)$$ 这个方阵里头
$E_1,E_2,E_3$ 是Electric Potential, $B_0,B_1,B_2$是Magnetic Po
tential, 也就是电势跟磁势, 这些都是方阵里头的函数.
表示由这个方阵所表示的2次 微分式是封闭的, 即$d$这个式子的微分为0,
就是Maxwell 方程
$$d(F_{\alpha\beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta})=0.\eqno (6.11)$$
Gauss-Bonnet公式是一个历史上很多演变的.
真正我写的公式既不由于Gauss, 也不由 于Bonnet.
Gauss只做了三角形的情况, 由测地三角形做到三角形.
Bonnet也没有做拓扑 的应用. Bonnet把三角形推广到任意曲线,
他把任意曲线的测地曲率积分表为Gauss-B onnet公式的积分.
当年Bonnet是法国最要紧的几何学家, 他在微分几何做了非常基本 的贡献.
我不管你们了解多少, 我希望你们了解这一部分的数学非常要紧.
Maxwell方程是它的 特别情况, 这个非常有用处.
我有一篇文章在今年的《科学》上发表, 题目叫《Gauss-
Bonnet公式与Maxwell方程》, 我讲的许多要点在这篇文章里头有.
\end{CJK*}
\end{document}

--------------------------------------------------------------- 509

你真幸运！ 509 这个讲稿在南开数学的ftp上就有啊！不会那么难找吧？
有关数学的ftp好多都有的 509

能不能共享一下？ 509 想看
等发了这个贴就有钱了
对了，多谢 509 thanks 509 其他地方可以下载：ftp://202.38.70.51/math_books/ 509 shi ya !! 509 有word版的就好了
可以打印！！
有没有书买？ 509 这些东西那找的啊？？///佩服 509 hao 509 象我这样求知若渴的人，怎能用积分来阻挡我学习的意向呢，这种资源就不要积分算了！ 509 为了下陈大师的讲稿，让我发了n多无聊贴！但是也值得，毕竟这个时代，真正的大师太少了。 509 为什么说我没有足够的积分下载文档啊 ？
呜呜………… 509 very good. 509 感谢共享！ 509 不错，很不错，讲得很简单，很清楚，把整个数学的微分几何发展体系概括起来，简单，一句见真谛，曾cctv采访他，让他用一句话概括他的整个数学生涯，他说，我是用微分的方法来解决几何问题，厉害，厉害！！！！！！！ 509 就没有了，我正看的起劲呢，精彩！浓缩着那么多内容，我们的下一代应该不仅学习英语，也让他们去学会法文，也可以更广的认识数学，好的数学资料还在待发当中啊！ 509 顶! 509 收藏。 509 好想买呀！可惜，阿拉是新人... 509 谢谢啦 509 你真幸运！ 509 hao a谢谢了 509 向大师致敬
509 不就是陈先生在南开的讲课嘛，还得我又下了一次，还扔了2分！

不过确实有价值，值了！ 509 i want it,but i can't offer it. 509 这种东西实在是稀少而重要啊! 509 这是不是他在南开的讲稿，不过他那时已九十岁了。 509 他讲的是微分几何呀 509 thanks 509 不错，上次下载的丢了，我又下了一遍！ 509 陈省身教授20004年12月3日因病逝世!
让我们沉痛悼念陈省生教授! 509 这是陈先生在南开给本科生讲微积分时的讲稿
(准确说是根据他的演讲整理的).陈先生一直主张在
学生一开始学习数学时就学到最好的东西,体会到数学
的美妙.他曾经多次请龚升老师到南开开微积分的课,
这次他自己以90岁的高龄,亲自给本科生开课,这该是
数学史上的一项纪录了吧?感谢陈先生! 509 好东西！在南开数学科学学院匿名服务器也可下载，但最多两个线程，速度还可以！！ 509 一定看 509 经典呀

经典
感谢版主 509 谢谢，
我不应该太自信 509 是不是在南开讲的 509 好文章 509 大学里没学好，惭愧惭愧，进来学习 509 非常感谢 509 积分和微分是重点也是难点，一定要学好才可以。 509 我刚来,请多关照.怎么下载不了 509 大师就是大师 509 haohaohao

哪里有微积分的电子版啊？？ 509 我是新来的，希望能看到。 509 有幸看到。谢谢。 509 讲得很不错，有幸能看到 509 陈省身先生的分析修为无与伦比！乃华人的骄傲！ 509 伟大的陈老讲了什么啊 509 很好啊!真是旁征博引!!
真有大家的风范啊!!很多很高深的东西他都能够信手拈来,更可贵的是能够让你听懂!!
同时还有他自己的有些心得,这非常重要啊!! 509 太谢谢你了！ 509 谢谢楼主 509 我下来看看 509 有幸！ 509 顶了，居然不够，汗！ 509 好东西.谢谢 509 发贴可以得几分？

我要加油了 509 现在有两分了

是不是可以看了

谢谢 509 thanks very much! 509 I want it alos. why should i pay for the credits for downloading it? coz i am freshman no enough credits pay for it. I strong suggest in future please free download don't charge me anymore. Poor man..............OH. 509 看不到，这么好的东西为什么要积分呢 509 3q 509

非常感谢楼主的分享 509 真的是太精采了 509 good 509 Good.
If you heard it, you are lucky one! 509 谢谢拉 509 非常感谢 很有价值 509 谢过！！ 509 很感谢！
但这上面的资料都是共享的吗？如果是，那真会大大的促进学习上的交流．
很好的 509

你是在哪听的？ 509 感觉很好，但是要作题,光自学不行. 509 谢谢!不错哦! 509 有没有陈省身的简单介绍阿 楼主应该介绍一下主要的内容才好 509 可惜我的积分不够了 509 这是去年陈先生在南开给本科生讲微积分时的讲稿
(准确说是根据他的演讲整理的).陈先生一直主张在
学生一开始学习数学时就学到最好的东西,体会到数学
的美妙.他曾经多次请龚升老师到南开开微积分的课,
这次他自己以90岁的高龄,亲自给本科生开课,这该是
数学史上的一项纪录了吧?

感谢陈先生! 509 向版主请教，为什么我有2分的积分也不能下载附件，看不到陈先生的文章。看帮助文件也没用。能及时指点吗？


回复：你直接点击附件就可看到，不过是pdf文件，你要装浏览器。 509 好的很！顶ing 509 很幸运能够得到这篇文章,真是非常好,还有吗 509 谢谢，我也很想看看！ 509 这些文章在我这里都不能通过编译为什么？ 509 thanks 509 不错的东东呀~~~！ 509 要积分，实在不应该。 509 很想看看大师的风采 509 没有看，想看，可是积分不够。看不着，不过相信一定很好的啊 509 我们是小学生啊，不要这么残酷好不好啊，要不然就不要发表出来给大伙看吗？
发出来了，还要积分。


回复：仅仅一分，我想这对你并不很难。 509 這是....教學嗎？！
還是只是談論而已壓？！ 509 谢谢
509 下载来看看。 509 谢谢分享啊！！！ 509 老龄新手报到，有没有更浅显些的？要是高等数学能像眼下的经济学一样融入日常生活就好了，不知那位能给推荐一下有关读物 509 请教，如何获得积分？ 509 已下载，非常感谢！ 509 物是人非啊！ 509 为什么要花钱 509 能够看到大师对我们的指导真是幸运啊~
感谢提供~ 509 thanks 509 谢谢楼主了 509 谢谢 509 通过网友介绍来到这里，有一种一见钟情的感觉。 509 没钱下文章
509 谢谢 509 陈：一个很另人敬仰的数学家。 509 第一讲为什么不免费? 509 很好 但是得要钱啊
找啊找 在本站ftp中找到了
不过还是要谢谢楼主 509 好就是好 509 再学一遍微积分 509 好，我是几年前学习的这个，差不多都忘记了，现在来看看大师的作品。 509 下了，好好研究一下 509 感谢他老人家！ 509 微积分是整个数学的基础,读了陈省身谈微分与积分后.深深受到冲击.在陈先生的谈话中学到了基本点.今后任务多问why. 509

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{CJK}
\usepackage{CJKvert}
\begin{document}
\begin{CJK*}{GB}{song}
\begin{center} {\Large \bf 第五讲\quad 曲面论(二)} \end{center}
\begin{center}{\Large \bf —Gauss-Bonnet公式}\end{center}
\begin{center} 2001年11月23日\end{center}
\section{曲面论发展的简介} 很高兴又与大家见面了.
我在医院里住了几天, 你们可以看出来我还没有完全好, 不过
我觉得我还是跟大家讲讲这些东西. 那么,
我今天要讲的是Gauss-Bonnet公式. 这个公 式有相当的意义,
也有相当的历史, 尤其跟我个人的工作也有关系, 所以我要提一提我
跟这个问题是怎么样的关系. 我们上次讲到曲面论,
曲面论是微分几何里头最重要的一部分. 因为许多微分几何的现
象在在3维空间里的2维曲面的情况已经产生了. 同时,
因为它是在3维空间里头, 这个几 何的情况是可以看见的,
不是完全用代数来表示. 曲面论有很长的历史, 最早的当然是Monge. Monge
是法国的大数学家, 他老先生对政治 有些活动,
所以他除了做大学教授之外, 他对法国的教育有很多影响. 他是拿破仑底下
的一个雇员, 帮助拿破仑做事, 他是拿破仑政府的海军部长,
甚至还跟着拿破仑去埃及 打仗. 因为他的影响,
法国的高工学校(Ploytechnique)就建立起来了. 很长一段时期,
法国最好的学生都在高工学校. 我想高工学校也许象现在的清华, 有许多好的学生, 例

如说, 法国一个最大的数学家Poincare 就是Ploytechnique的学生.
Monge是第一个写 关于微分几何书的人,
他的书就叫做《微积分在几何上的应用》, 这也是我要讲的题目 . 因此,
法国的教育在微分几何有一个相当的传统. 除了Monge本人之外,
由于他在高 工的影响, 他有很多学生, 都是在微分几何有相当贡献的人.
然后在微分几何逐渐发展之中,
比较晚一些的是法国另外一个大数学家Darboux.
Darboux是法国科学院的秘书长, 所以在他的时期,
他是在科技界有很多影响的一个人. 他不 仅是秘书长,
也是巴黎大学理学院的院长. 他的最大的工作是四本《曲面论》. 我想,
这四大本是数学文献里头永远的一个文献. 现在可惜由于它是法文的,
很多人不看这个 书, 我想这些人对微分几何缺少一点了解,
他们应该看这个书. Darboux的书讲得非常好 , 包括了很多材料. 在1941
年, 我在西南联大教书, 教《微分几何》, 也讲到曲面论. 讲到曲面论时,
当然 就看Darboux的书, 就想到Darboux的书里头,
一个主要的方法是用活动标架, 也就是采 用活动标架法. 他用得非常彻底,
做得非常之漂亮. Darboux稍微不用的一点是他不用 外微分, 我想,
我的课是讲微积分, 而微积分你要讲到多元, 多变数的时候, 这个外微
分不能避免. 这是因为在多变数的时候, 最有效的工具是外微分.
外微分可以加, 减, 可以乘, 可以微分,
所以有很多代数的运算可以用到外微分, 同时, 一个外微分也是一 个式子,
这个式子给予很多数学问题, 不管是它的几何, 还是它的分析,
都给你很多材 料, 因此是非常有用的. Darboux的缺点是他没有用外微分.
他用活动标架法, 但是没有外微分. 因此, 有很多工作, 不用外微分,
怎么办呢? 他也是还要用微积分的, 不用外微分, 他用偏微分. 用偏
微分比外微分差得多了. 因为你的曲面是2维的空间, 所以对于两个变数,
即曲面的参数 $u,v$, 你要对$u$求偏微分, 对$v$求偏微分,
这里头有很多偏微分, 而用外微分就简 单多了. 但是他不采用外微分,
这是很奇怪的事情. Darboux是发现一次外微分式的第一 人.
一个是Darboux, 一个是Frobenius, 他们两个人最早发现这个东西的,
但是等到应 用到曲面研究的时候, 不知道为什么, 他没有用.
也许是由于传统的关系, 他写了外微 分之后, 谁都不懂了,
所以他不用外微分了. 我刚才讲了, 在1941年, 我刚巧在昆明教这个课,
我很自然地想, 为什么不用外微分呢
?所以我就用外微分想法子做Darboux所做的工作,
或者说至少做曲面论和一些几何的讨 论. 我采用外微分,
因此我得到一个很好的了解. \section{曲面论基本内容的回顾}
什么叫外微分呢?就是你发现要研究曲面的话, 曲面是一个2维的流形,
它在普通空间里 头是2维的, 所以它上头任意一个点是两个变数,
通常就叫做参数. 但是现在呢, 我们就 叫它局部坐标$u,v$.
因此它的坐标是2个变数的函数, 所以是这个条件使它在每一点有
一个切平面. 这个切平面当然很要紧, 因为我们没有法子研究复杂的图形.
我们只能研 究最简单的如直线, 平面这些东西.
切平面跟曲面有最密切的关系. 那么, 单说密切的 关系不够,
一定要解析地能够解决比较更深刻的一些问题. 有一个切平面,
在这个切平面上是2 维的, 于是每一点就有许多矢量, 也就是切矢量.
切矢量就是跟这个曲面相切的矢量. 因为这个曲面是在Euclid 空间里头,
所以我可以讲 这个矢量的长度. 为简单起见, 我限于讨论长度等于1
的矢量, 即单位矢量, 所以有一 圈单位切矢量.
跟这些单位切矢量垂直的有另外一个矢量, 我们假定它是取成单位的,
那么这个矢量我们叫做单位法矢量.
要注意的是这里就有一个几何现象发生了, 因为假 使这个曲面弄平了的话,
单位法矢量可以向上走, 也可以向下走. 换句话说, 这个曲面
除了是一个2维的流形之外, 它还有一个定向: 在曲面上你是顺方向转,
还是跟逆方向转 , 这个转动是很不一样的. 所以,
你要定怎么样子转动是顺方向, 这就是要给曲面一个 定向. 定向有了之后,
它的单位法矢量就定了. 单位法矢量在这个方向可以向上走, 也
可以向下走. 定了一个之后, 这个曲面也就定向了.
这是很重要的一个观念. 虽然相差 的只是一个符号,
但是这是一个很重要的观念. Mobius是德国伟大的几何学家.
因为你要定向, Mobius发现有些曲面不能定向, 这当然
是很有意思的一件事情. 你们大家都知道的这个图形: 就是拿一张纸,
你把它转一圈连 起来的话, 就得到所谓的Mobius 曲面, 它没法子定向.
这是几何上很有意思的一件事情 . 那么我们假定曲面已经确定了一个方向.
有了这样定向的曲面之后, 几何情况是怎么样 的呢?由单位法矢量$e_3$,
其中$e_3$ 是在3维空间, 你发现有一件事实, 就是说你单
独讨论曲面不够, 你一定要利用曲面上的单位切矢量,
我叫这个单位切矢量为$e_1$. 这 样我就有了一个标架,
它有了第一个单位矢量和第三个单位矢量. 如果空间是定向的,
第二个单位矢量$e_2=e_3\times e_1$也就完全确定了.
所以我就有个单位标架. 单位标 架就是三个单位矢量按照一定的次序,
是互相垂直的. 为什么单位标架在几何的研究之中是这么重要?
就是因为几何是根据运动群研究空间在 运动之下不变的几何性质,
而这运动群就是标架所成的空间. 因为是有一个并且只有一
个运动把一个标架变为其它的标架.
至于全体的单位标架跟这个运动群的元素成一一对 应, 不但是一一对应,
而且对应保持拓扑和一切的性质, 所以运动群很要紧. 因为空讲
的运动不知道在解析的情况之下如何可以处理, 而了标架之后,
就可以处理了. 标架就 是矢量了, 而矢量一般是有3个分量的矢量,
而每一个分量是函数, 就可以把它微分, 加 , 减什么的. 矢量有加,
减的运算, 也有微分的运算. 在某种意义下, 还可以有积分的 运算.
所以我现在就可以微分. 我研究曲面的时候, 不只一个标架,
那么在曲面的每点, 这样的标架有多少呢? 假使你 晓得$e_1$的话,
同时这个曲面是定向的, 这个标架就完全定了. $e_1$是什么呢? $e_1
$是这个曲面在这一点的单位切矢量, 那么这个曲面有多少单位切矢量呢?
每点有一圈在 切平面上头等于单位矢量, 而曲面是2维的,
所以它们所成的空间是3维流形. 这是因为 这个点是在曲面上移动,
是2维的, 现在在点定了之后, 单位切矢量可以绕着它转一圈,
成一个圆周, 所以它是又加一维, 是3维. 这个3维空间非常要紧.
我想现在实际上,
你们要了解微积分或者了解跟微积分下去的数学或者在数学中的应用 ,
这个情况是最简单的, 同时是最有用的. 所以我有一个3维空间,
由于每一点有个圆周 , 现在有个名字叫做圆丛, 或者圆周丛, 丛是bundle.
所以你要研究曲面的几何性质, 用这个解析的方法, 一定要讨论它的圆丛.
讨论圆丛了之后, 一切都简单了. 因为一切 都是矢量, 而是矢量的话,
它有分量, 就可以微分, 就可以用代数或者微分的运算.
我们是在讨论微积分, 我们假定碰到什么函数都可以微分.
我叫在这个曲面上的点为$x $, 那么$dx$ 是一个矢量,
就是从原点连着这个点的矢量. $x$ 是$u,v$ 的函数, 而
$u,v$是曲面上的局部坐标, 所以你可以写出$dx$: 假使$x$ 限制在曲面上,
那么$dx$一 定是$e_1$ 与$e_2$的线性组合, 所以在这个地方,
我就充分利用外微分的观念. 实际上 $dx$是一个矢量值的一次微分式,
所以它是$e_1$ 与$e_2$ 的线性组合, 它的组合系数 是一次微分式, 所以
$dx$可以写为
$$dx=\omega_1e_1+\omega_2e_2.\eqno (5.1)$$
$(dx,dx)$ 就是我们曲面的黎曼度量. 因为
$e_1,e_2$是互相垂直的单位矢量, 所以
$$\omega_1^2+\omega_2^2=ds^2\eqno (5.2)$$
就是黎曼度量. 如果这个清楚了, 这对于普通讲微分几何简单多了.
因为普通微分几何 , 黎曼度量要写成 $g_{ij}dx_idx_j$,
这是因为在切空间里所利用的坐标是任意的 Ca rtesian坐标,
它不一定垂直, 也不一定是单位. $dx$ 等于$\omega_1e_1+\omega_2e_2$,
但是我们外微分有个基本的性质, 就是再用一 次的话, 它等于0.
这就是普通说的偏微分可以是交换的条件, 一样的, 也就是得到的偏
微分与微分的次序无关. 所以你就把$d$用到$dx$上头, 一定等于0.
你把右边展开的话 , 就得到$d(\omega_1e_1)+d(\omega_2 e_2)$,
注意当外微分前面有一个一次因式的话 , 微分第二个因子要改号.
总而言之, 可以得到
$$d\omega_1=-\omega_2\wedge \omega_{12};d\omega_2=\omega_1\wedge \omega_{12}

.\eqno (5.3)$$
$$0=d\omega_3=\omega_1\wedge \omega_{13}+\omega_2\wedge \omega_{23}.\eqno (5

.4)$$ 我会在下面给出$\omega_{12},\omega_{13},\omega_{23}$.
既然用微积分了, 所以可以把$(xe_1e_2,e_3)$的微分表为
$e_1,e_2,e_3$的线性组合.
这个线性组合把$de_i$写成$\omega_{ij}e_j$. 现在我用微分几何普通的符号: 假使有

一个指数要重复的话, 就表示相加, $i,j,k$从1到3. 你把$de_i$
写成$\omega_{ij}e_ j$, $\omega_{ij}$的几何意义很明显:
你现在有一组标架, 这组标架跟一组参数有关 系, 而对于这一组标架,
就有一个邻近标架, 这个邻近标架跟原来标架的关系就是$\omega_{ij}$.
这关系是由一次微分式来表示的. 因此就有
$$de_i=\omega_{ij}e_j.\eqno (5.5)$$
这组方程式很要紧, 它就表示两个邻近标架互相的关系. 在这个情况之下,
微分几何跟力学不大一样, 力学往往变数是时间, 所以一个标架跟着
时间在移动, 因此你整个标架只有一个变数, 都是时间$t$的函数.
现在我们是一个曲面 , 每点有许多标架, 所以我这标架的参数是3.
这是因为有切面的局部坐标, 又有切矢量 在平面里头变换的坐标,
所以我现在这个自变数是3, 还因为$E$ 这空间是3维的. 自变 数高了,
所以这是有原因使得外微分有效. 我们已将$de_i$ 写成方程(5.5).
$\omega_{ij}$对于$i,j$是反对称的, 这是因为我的 标架是单位标架,
即因为$(e_i,e_j)=\delta_{ij}$, 所以它是反对称的.
因此$\omega_{ij}$实际上很简单: 你把 $(\omega_{ij})$写出来,
它是一个方阵. 这个方阵是反对 称的, 所以在对角线的$\omega$等于0,
其余的对着对角线是反对称的, 因此实际上只有 3个一次微分式:
$\omega_{12},\omega_{13},\omega_{23}$. 我想我上次证明了
$\omega_{12}$由$d\omega_1,d\omega_2$的方程(5.3)完全确定, 这
是一个重要的定理, 这是使得Levi-Civita出名的重要定理.
我现在把方程(5.5)求外微分. 因为$d(de_i)=0$, 所以右边的话,
我就得求$d\omega_ {ij}$, 结果得到的是
$$d\omega_{ij}=\omega_{ik}\wedge \omega_{kj}.\eqno (5.6)$$
因此这些$\omega$之间有很简单的关系, 简单得不得了.
因为什么呢?因为对于$d\omega_{ij}=\omega_{ik}\wedge \omega_{kj}$,
$i,j$是不相等的. 如果相等了的话, $\omega_{ii}$ 是0,
这是因为$\omega$是反对称的, 所以你取$i\ne j$. 如果$k$等于$i$,
则$\omega_{ii}=0$; $k$要等于$j$, $\omega_{jj}=0$. 所以$k$ 不等于$i$, 不等于

$j$. 因为我们是在3维空间, $k$只有一个可能性.
因此这个看着很神奇的方程式, 它 的右边只有一项, 我上次把它写下来了,
就是
$$d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}.\eqno (5.7)$$
$$d\omega_{13}=\omega_{12}\wedge \omega_{23}.\eqno (5.8)$$
$$d\omega_{23}=\omega_{21}\wedge \omega_{13}.\eqno (5.9)$$
尤其是得到$d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}$这个公式.
但是$\omega$ 是反对称的, 所以就得到
$$d\omega_{12}=-\omega_{13}\wedge \omega_{23}.\eqno (5.10)$$
而 $\omega_{13},\omega_{23}$都是$\omega_1,\omega_2$的线性组合:
$$\omega_{13}=a\omega_1+b\omega_2,\;\omega_{23}=b\omega_1+c\omega_2.\eqno (5

.11)$$ 这刚巧就得到下面这个公式:
$$d\omega_{12}=-\omega_{13}\wedge \omega_{23}=-K\omega_1\wedge\omega_2.\eqno

(5.12)$$
$K$是Gauss曲率, Gauss 曲率就是$K=ac-b^2$. 这个公式不得了.
当年Gauss不是这样得 到这个公式, 是用旁的方法得到公式.
它叫做Theorem Egregium, 用中文讲, 它是一个 奇妙的定理, 妙的定理.
你细细看看它, 它是很妙的. 因为我们的 $E$是单位矢量丛,
它这个圆周丛对于曲面$M$ 有一个投影: 对于圆周丛, 有这个单位矢量,
我取它的原点 就是它的投影.
因此我们现在的几何比从前观念上比较复杂了, 就是说, 不只是有一个
曲面或者有一个曲线, 现在有两个空间: 有$E$这个空间和曲面$M$.
事实上, 有了曲面 $M$, 然后有由所有它的单位矢量所成的空间是$E$,
它是曲面的圆周丛. 现在通常叫这 个曲面是底空间,
它是在底上的一个空间. 所以就有一个3维的圆周丛, 它的底空间是我
们的曲面. 在这个情况之下, 我们有几个一次微分式:
在空间里头有一次微分式$\omega_1,\omega _2$,
然后有$\omega_{12},\omega_{13},\omega_{23}$, 一共5个一次微分式,
其中$
\omega_{13},\omega_{23}$是$\omega_1,\omega_2$的线性组合(公式(5.11)),
它表示曲 面的几何性质. 我们有
$${\rm \mbox{第一基本式}}\;\;{\rm I}=ds^2=(dx,dx)=\omega_1^2+\omega_2^2;\eqn
o (55.13)$$
$${\rm \mbox{第二基本式}}\;\;{\rm II}=(-dx,de_3)=\omega_1\wedge \omega_{13}+

\omega_2\wedge
\omega_{23}=a\omega^2+2b\omega_1\omega_2+c\omega_2^2.\eqno (5
.14)$$ 也就是$\omega_1\wedge \omega_{13}$ 加上$\omega_2\wedge
\omega_{23}$是曲面所谓 的第二基本式.
第一基本式是$\omega_1^2+\omega_2^2$,
是两个变数$\omega_1,\omega_2$的平方和.
第二基本式对于第一基本式有特征值, 特征值的代数和一般叫做中曲率
$H=\frac{a+c}{2}$, 特征值的积就是 Gauss曲率,
所以Gauss曲率是$ac-b^2$.
而我们现在有一个奇妙的公式就是$d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge\omega_2$.
在这个 公式右边, $\omega_1\wedge\omega_2$ 就是曲面的面积元素,
它当然只跟曲面的度量有 关, 与它的位置没有关系,
只跟曲面的第一基本式有关. 在它的左边, $\omega_{12}$
是我们的Levi-Civita联络, 由于右边由第一基本式完全确定,
所以左边也是只与第一基 本式有关,
因此我们知道Gauss曲率只跟第一基本式有关. 这是Gauss非常得意的结果.
\section{Gauss-Bonnet公式}
我们可以由$d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge\omega_2$
得出来Gauss有名的这个定理.
我现在说, Gauss-Bonnet 公式也立刻就由这个公式得出来. 那么, 当年我也这么想,

因为假使你有一个封闭的曲面, 有了这个Gauss 曲率乘以面积元素, 你当然很自然地问

它的积分是什么: 有一个面积元素乘以一个函数(Gauss曲率),
把它在曲面上积一遍得出 的数是不是跟这个曲面的几何有关?那么,
这个就是Gauss-Bonnet公式: $M$是封闭的定 向曲面, 则
$$\int\int KdA=\frac{1}{2\pi}\chi (M).\eqno (5.15)$$
在我们这个公式中, 我们把$\omega_1\wedge\omega_2$ 叫面积元素,
我们也可以叫它做 $dA$, $KdA$就是这个积分. 你立刻就想:
我们在封闭的曲面, 所以如果有一个积分, 它可以写成$d$什么的,
那么它的积分在应该是在曲面的边界上, 可以变为一个边界积分 ,
这是我开始讲的Stokes定理主要的部分.
所以会不会由这个得到Gauss曲率的积分是0 . 这显然是错误的,
Gauss曲率积分不会等于0, 这是因为你取一个2维的球面, 它可以
取一般的度量使它的Gauss曲率等于1, 那么在曲面上的积分当然不会等于0.
所以这个 道理是错误的. 当年因此我想错在什么地方.
错在我们这个公式$d\omega_{12}=-KdA$不是在曲面上, 是 在圆周丛上头.
这个曲面是在圆周丛上, 所以我需要把这个曲面提高到圆周丛上头, 提
高是什么意思呢? 就是在每一点你取这个点作为原点的单位切矢量.
所以换句话说, 我 们一般叫这个为矢量场,
因此你在一个2维流形上面要取一个矢量场, 这个矢量是单位矢
量跟曲面相切, 即为单位矢量场, 这是不是可能? 随便任给你一个曲面,
你能不能每点 指定一个单位切矢量, 或者切矢量, 使得它是连续的,
甚至是可以微分的. 这样的矢量 场不一定有, 这是一个拓扑的定理.
整个的这一段的发展是曲面论, 或者是整体曲面论
跟曲面的度量这种种的关系在差不多100年前是主要的问题.
那个时候最主要的杂志是《 Mathematische Annalen》,
全世界数学的中心是在德国. 《Mathematische Annalen》
上头关于这个问题有很多文章. 那时候, Einstein是《Mathematische
Annalen》的一 个编辑. 这个问题完全搞清楚了需要一些时间.
那么其中有一个因素是假使你有一个封闭的曲面,
你取每点的并且定向的单位法矢量, 即取每点确定的单位法矢量,
把它映射到单位球上去, 这个通常叫做Gauss 映射. 所以
Gauss映射把你的曲面映射到单位球上去,
这样就把一个2维曲面映射到另一个2维曲面,
两个都是定向的, 于是这里就有一个拓扑不变式, 叫做Mapping Degree, 即映射的次

数. 在平面的情形, 你有一条曲线, 所以单位球就是单位圆,
那么你把这条封闭的曲线 映射到单位圆上头,
究竟它转了多少圈呢?这就是Mapping Degree(映射的次数). 这个定
义在高维, 甚至是2维就不这么简单了. 显然,
我们把曲面映射到单位球上头, 然后取单 位球上头的面积元素,
这就是Gauss 曲率, 所以这个映射就等于 Gauss曲率的积分, 把
这个对面空间的面积元素用映射拉回来之后和原来曲面的面积元素一除,
即为求它的整 个的积分, 就得到映射的Degree. 可以证明这个Degree
在可以定向的曲面的情况下, 它 是曲面的Euler数的$\frac{1}{2\pi}$.
很可惜的, 我大概没有时间把这个完全讲完. 我想我下次再详细讲讲.
我现在大致讲讲 这个证明是怎么样的.
显然我们已有基本公式$d\omega_{12}=-KdA$. 我们还要把曲面放
到$E$上去, 所以要定一个单位矢量场, 这不一定可能.
这样的单位矢量场要有异点, 也
就是说如果你允许整体单位矢量场有异点的话, 它那是可能的.
这也需要证明. 有了异点之后, 就看这个异点的性质, 比如说,
你看看这些单位矢量场, 画这几个图（ 图略）.
这是矢量场的异点的可能性, 可能矢量场有许多不同的方向,
但是在异点有时 候这个矢量向外走, 也有时候矢量向里走,
也有时候就象第三个图, 它是跟一族双曲线 相切.
所以讨论矢量场的异点的性质是非常有意思的问题.
那么我在任何曲面一定有一个, 并且且不只一个,
而是有许多有异点的单位矢量场. 在 这个情形之下, 你要把曲面切成小块,
切成一个所谓complex(复形). 你先定它在顶点,
因为所谓的complex, 就是说, 有些顶点, 有些边, 有些面. 在顶点, 定一个任何的矢

量, 那么第二步把这个矢量场延到边. 取一个边的话,
如果矢量场已经在顶点确定了, 那么很容易看出来可以把它延到整个的边.
现在是面了: 假使是面的话, 比方说有个三 角形,
现在矢量场已经在边上都定了, 是不是能够延长到它的内部,
这就不明显了. 当 然这是一定可以的. 假使你允许它有异点,
比方说是一个三角形, 那么你就在三角形中 间取一点,
然后从这点连到边上, 那么这个矢量场就把它延到内部, 但是这样定的矢量
场在中间的那点一定是异点,
因为中间的那点没法子定一个可以连续的矢量场, 使得每 点只有一个矢量.
在这一点就没法子定. 所以刚才这个理由可以证明:
假使你允许这矢量场有异点, 这样的矢量场是存在的. 普 通一定有异点,
在地球上, 要刮风的话, 这风跟地球相切的时候, 它的方向是个矢量场 ,
一定有一点没有风, 至少有一点. 而这一点就很复杂了,
那么这种样子点的研究是很 有意思, 也很要紧的问题.
区别矢量场在异点的性质,
很简单的一个方法是我们可以在异点定一个整数. 这一般就
叫做它的指标：
$$I(s)=\lim \frac{1}{2\pi}\int \omega_1.\eqno (5.16)$$
就是说, 中间有异点, 异点附近的矢量场是完全确定的,
所以你在这点画个小圆周, 那 么圆周的边界矢量场已经有了,
所以你在这一点把它映射到一个圆周. 因为局部的时候 ,
你假定是Euclid几何, 假定用平行线, 你就把它映到圆周,
那么绕圆周是多少次呢? 这就是矢量场的指标.
下次我证明假使你有了这些, 你就取单位矢量的矢量场, 并且把
这个曲面提高到$E$里头, 即提高到圆周丛里头,
它就变这个曲面为有尖点的. 既有尖点 , 又有异点,
这个异点弄上去就是尖点. 那么这些尖点的指标加在一起就是Euler 常数 ,
就等于这个积分, 即这个积分有意义, 它是Euler常数.
我想微积分有一个重要的应用是在复变函数论. 你要讲数,
最有意思的数就是复数. 很 惭愧, 我看中国数学史, 中国人太实际了,
中国人没有复数. 复数要紧得不得了. 我要 讲一点复变函数,
我要证代数基本定理. 复变函数之后, 任何代数方程式都有解, 这是
不得了的一个结果. 这个结果, 当年Euler不会证, 很多人都证不出来.
Gauss 能证明 , 他是近代最伟大的数学家.
\end{CJK*}
\end{document} 509 内容太精彩了, 509 我下载不了啊 509 我要下载 509 谢谢 509 谢谢la 509 下不了啊
555~~~~~~~~~~~ 509 积分怎么来的 ，是不是通过回帖啊，我刚来没积分下不了啊 509 3q！！ 509 好贴一定要顶 509 谢了 509 我想问一些"小波理论"方面的问题. 509 刚刚加入，小弟挣分看看！！不看可不行啊，呵呵 509 身为数学系的学生不能不看啊，继续挣分下载 509 我们还年轻,很多东西需要学习啊 509 陈省身去年来学校讲座，邱成桐也来了，听众满满的。当时自觉得是个学工科的，和数学没啥关系就没去听。
现在陈省身死了。想起自己居然没去见老大最后一面，恨不得给自己俩巴掌。 509 好东西啊，非常的感谢！ 509 Good!太好了
509 好贴啊 我的钱... 509 hao,hao,hao!!!
509 感谢ing! 509 陈老先生，我们学数学的楷模，他讲的的确好！！！！ 509 谢一个 509 thanks 509 下载看看 509 不错，不过没听过! 509 急着想看
为什么不够积分
着急 509 很欣赏陈教授，我也有幸听过他关于几何的报告 509 唉,可惜去世了 509 温习一下啊 509 很好的呀,欢迎多发 509 下载来看看. 509 thanks
509 谢谢 509 xiexie
509 南开大学失去了一面旗帜
509 好书
好贴 509 谢谢，这些资料太好了，不知有没有更多的？
509 好感动啊，我一定好好学习。 509 看不了 509 今天教楼上两位数学的教师会成为明天的陈省身也说不定哦~~~ 509 刚看完1
还不是很理解....
但是提到的外代数和外微分,很有趣啊....
509 向陈老致敬，同时谢谢你提供的资料！ 509 感谢楼主提供资料，谢谢
509 不错，下来看看。 509 景仰。。。。。。。。。。。。。。 509 谢了，兄弟。老弟受益非浅啊 509 没有去南开听陈老的课太后悔了 509 下载了，还没有认真看。
还是谢谢楼主！ 509 怎样才能下载呢？ 509

太好了,就是计分不够啊 509 体会一下大师的思想
509 我只听老师说起，没见过大师的风范，很是遗憾 509 早听说陈的风采了，可是没有积分，看不了。 509 真的谢谢！[FONT=Arial][SIZE=7][COLOR=blue] 509 我也来看看 509 好！ 509

羡慕 509 有幸得见 509 谢谢！好东西！！！ 509 这个不是不要积分的吗？怎么我无法下载呢？渴望呀 509 原来这里回复就给积分呀，真是好心人，多谢！ 509 好,值得下载 509 特别好！ 509 非常不错,谢谢大师了啊 509 不错，很好 509 太棒了！！ 509 谢谢，不错 509 谢谢 509 很好的东西！thank you! 509
看看阿 509 虽然只是在数学刊物和电视上了解陈省身，但我对他是非常的仰慕
好象中国就他获得过沃尔夫奖吧 509 讲的真是具体，不愧为大师 509 不是吧，我这边直接打开就可以看了 509 用什么软件看啊~~~5555555 509 打开pdf wwd文件的东东 在哪下载啊 “重庆。。。软件？

斑竹帮小弟一个忙吧~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 509 下载后看不了啊~~~~~ 509 我们是数学人，不应该忘记了数学分析和高等代数！ 509 楼主太善良了！我正在研习微积分，正好被我赶上！
再道一声Thanks！ 509 这么好的东西，我前几天总是视而不见，真是浪费了！~！谢谢楼住了！！ 509 巨星逝去,留下得是他的佳品!!!~~~~~~~~~~
做为后来者,他是巨人,我们都应该向他看齐呀 509 好东东。。感谢 509 感谢你提供的资料，经典资料，值得收藏。 509 用pdf 阅读器可以打开看。 509 当你体验了无限的奥妙时。。。。。。 509 多谢搂主！
我在国外学物理，正愁数学看不太懂呢，您就送上这些好东西来了，太谢谢啦！！！ 509 好东西.谢谢 509 XIE XIE 509 陈省身是华罗庚以后的最有名气的数学家，能看到他的讲稿真是有福气了 509 是啊 大师讲的就是不同啊 509 能够看到这篇文章,真的是我的荣幸 509 对思维有启发，把dxdy看成物理中的面积，dxdy视为矢量差积，数值上等于面积，就比较好理解，显然同维相乘面积为0，异维相乘才有意义，到了3维就是混合积，4维就是混合差积，如此反复 509 请问怎样下载陈先生的讲稿?
509 非常感谢.陈前辈的外微分早有耳闻,去年看了"微积分五讲"之后对外微分念念不忘.


509 我是新来的，现大一，主修数学，谢谢楼主，给我启示很多 509 支持一下，下下来好好研读。 509 谢谢 509 楼主真的太可爱了 509 谢谢！ 509 谢谢啦 好咚咚
509 一阵可爱的钟声，
轻轻掠过我的心房。
响吧，春天的小唱，
一直响到远方。

响出去，响到那
百花盛开的园邸。
如果看见一枝蔷薇，
说我请你代为致意。 509 太棒了！谢谢！ 509 和陈省身相比，华罗庚，陈景润，吴文俊等人都是废物，以他们的成就，只能称为数学家，不能称为大师。假如他们当初没回中国，也许就会有大师或是接近大师的成就。（注意：这是陈省身说的，南开人大多都知道的）毕竟，不是任何数学家都可以称为大师的！！！
虽说陈景润在证明哥氏猜想上取得了一定的成绩，但是他毕竟没有完全证明它。如果他证明完了，那么他肯定可以拿沃尔夫奖，肯定可以成为大师的。但是他毕竟没有完全证明它，没有证成就是没有证成。再说谁知道他的证明思路是否正确，这还有待后人的证实。
本人希望在数学领域里，我们因以一个数学人的角度来看待这些数学家以及他们的成就，不能因为我们是中国人就偏袒，夸大他们以及他们的成就，要用客观的眼光来看。在我的眼里，在整个中国数学家群体里（包括 外籍华人）中，只有陈省身可以称为数学大师，丘成桐只能称为为大数学家。
我的评价标准：沃尔夫奖——数学大师
菲尔滋奖——大数学家
其他奖项——数学家
毕竟 数学大师是有限的！！不是人人都可以当大师

————一个学习数学专业的人 509 作为一个学习数学专业的学生，我很羡慕南开数学院的学生，虽然大师已去，但能够在中国数学的圣地——南开大学学习数学，真的很棒！
南开数学在世界上都是很有名的，经常会有哈佛，普林斯顿的数学家到省身楼讲学。
我有一个同学现在就在南开学习数学，每年都拿一等奖学金，他告诉我：在我们眼里，北大的数学都是垃圾。清华的更是垃圾中的垃圾。复旦的，界于二者之间。我们教数学分析的博 509 大师的作品，一定要下来看看哦！！ 509

不能这么简单的看，数学家不是以奖项来论的，有很多人工作很好，只是不太出
名，也没得过太多的奖。
Yau和Chern也不能简单地就这么比较，你并不了解他们的工作吧？
都是做数学的，为什么非得搞得跟武侠小说选盟主似的。 509 收藏了，不知道和高等数学上的微积分难度和内容的广度上哪个更难更广 509 呵呵，好东西。跟着大师来学一下微积分
509 真令人神往数学的世界 509

有幸得见 509 陈省身的大师，八十多岁还主讲了微分与积分，希望大家参考老人家的思想，将微分与积分学好，学扎实。 509 谢谢楼主 509 收藏了，谢谢 510 在凸ｎ边形中，引（ｎ－３）条互不相交的对角线，共有多少种连法？ 510 请各位做一做啊 510 My Webpage 512 能否用MATLAB 或者MATHEMATICA 软件进行数据的周期性分析呢？所谓周期性分析，即将数据进行Fourier拟合。希望各位朋友进行回答，我在这里谢谢了！
以下面的数据为例：
v=[-0.48 1.812 2.003 1.595 0.387 -1.621 -2.830 -4.138 -3.246 -1.335 1.137 2.829 2.221 2.712 0.404 -0.604 -0.512 -3.12 -2.229 -0.937 2.054 3.246 3.138 2.130 1.321 -0.087 -1.495 -2.103 -1.812 -0.420];
给出三角级数的形式最好。
盼！ 512 现场操作好么？ 512 你的学校远吗？我要去的话，只能在暑假呀——还是现炒现卖吧！ 512 fft(v)

ans =

Column 1

0.02000000000000

Column 2

-3.97840738700628 + 9.44509417674239i

Column 3

0.70542343314792 + 3.81000370134231i

Column 4

12.35715656158005 -39.25951765382101i

Column 5

-3.10190593141699 + 1.00007903532155i

Column 6

-4.24
500000000000 + 2.64484158315768i

Column 7

3.46716139308035 - 2.77696989926736i

Column 8

-1.30255932083425 + 2.76287880268033i

Column 9

-2.93179484257618 - 0.80376122700708i

Column 10

0.14934343841995 + 1.22617895892748i

Column 11

-1.80700000000000 - 1.88966743105765i

Column 12

-0.18297590526305 + 2.32713857601572i

Column 13

-2.47966139308035 - 3.22642440304481i

Column 14

-1.91855738689642 + 3.37714850312898i

Column 15

-1.99222265915475 - 1.22414249939634i

Column 16

0.10200000000000

Column 17

-1.99222265915475 + 1.22414249939634i

Column 18

-1.91855738689642 - 3.37714850312898i

Column 19

-2.47966139308035 + 3.22642440304481i

Column 20

-0.18297590526305 - 2.32713857601572i

Column 21

-1.80700000000000 + 1.88966743105765i

Column 22

0.14934343841995 - 1.22617895892748i

Column 23

-2.93179484257618 + 0.80376122700708i

Column 24

-1.30255932083425 - 2.76287880268033i

Column 25

3.46716139308035 + 2.77696989926736i

Column 26

-4.24
500000000000 - 2.64484158315768i

Column 27

-3.10190593141699 - 1.00007903532155i

Column 28

12.35715656158005 +39.25951765382101i

Column 29

0.70542343314792 - 3.81000370134231i

Column 30

-3.97840738700628 - 9.44509417674239i
用了命令FFT之后，得到如上的结果，这个结果与三角级数的系数有什么关系呢？能否转化呢？ 512 帮我作作周期性分析好吗？下面将时间数据都附上，散点图见附件。能否看看？这东西闹的我头都大了/
v=[4.17362199579594
0.59635955861291
-3.94700443860462
-20.53789054856448
-21.94600802711102
-18.29060010428963
-36.34035486046660
-39.80618557394304
-23.16791735223009
-20.39554387983757
5.75662484650163
8.92744014943518
10.76097990617640
12.95893350313638
14.97865738911837
15.78349033131943
16.91292301347577
33.12975103869108
28.90161410141315
20.23292984177941
1.55116422767173
-20.72981322390959
-6.44555055190290
24.38249248163424
21.13887422470643
-30.78505485191705
-14.00350240523413
6.13476037228888
-10.11514901318364
-22.48724909727760
-13.12866988087697
17.92754848410144
8.13931337602853
-2.75938390458742
];
t=[1
6
8
13
16
20
23
28
31
35
39
43
47
51
55
58
62
104
108
112
116
120
124
134
138
142
148
152
156
160
163
170
175
186
]; 512 晕，没人会．斑竹啊，向你求救了！ 512 你在北大，我现在可去不了．还是示范好！ 512 对有些问题，已经会进行分析了。 512 可以，直接参看 matlab参考资料 512 有时间来我的学校
加强联系
524 假设一个班的学生成绩是正态分布的，那么如何求某个分数出现的概率？或者是近似的求法？高手指点一下啊 524 错了可要管的哦

哈哈
可以明确一点吗
谢谢了哦 524 好像是有道理，谢谢啦 524 是啊，为什么只可能是0啊？小红帽你可以解释一下吗
或者另外可以提示下吗

我的理解，既然是近似的a－0.5——a＋0.5这样一个区间，是不会为0 的啊 524 假设这个数是a,则相邻的两个数是a+0.5,a-0.5
则这个数出现的概率是P{x<a+0.5}-P{x<a-0.5}

错了不管哈 524 不是点点连续的
是分段的 524

如果是0的话，那么各点都为0，则没有可能了
这个与P{X=0}=0是不同的啊

可能我没学好概率，请指教 524

受教受教,我表诉有误拉
我原本的意思是分数是一段一段连续,不是每个点都有存在的.比如没有90.1什么的
日后有错误,还请大家多多指正 524 不过可惜，这个概率为零。:huh: 524 因为正态分布是连续的！ 524 你的意思是？？ 524

对对，
同理，概率为一的事件不等于必然事件。 524

那要是说是小于某个分数的概率就是一楼的对吧 524 请问小红帽，为什么概率是0？
即使考虑学生数的离散性，也只能说，这个概率有可能为0。 524 正态分布是连续的，既然认为分数是正态分布的，也即认为所得的分数是可以连续取值的，那么恰为该分数的概率为0。但事实上分数总是离散地取的，所以若把该分数看作其附近一个小区间的代表，则概率当然不为0了。 524

概率为0就是为0，不是什么可能为0。不可能事件发生的概率必然为0，但某个随机事件发生的概率为0，不等于该事件是不可能事件。 524

正态分布可不是分段连续的，而是点点连续的。所以给出“分数服从正态分布”这一条件，也就是假设了认为分数是点点连续的。
你在最前面给出的算法是有道理的，但其基础不是假设分数取值是分段连续的，而是假设了每个分数a（设a是整数）都是[a-0.5，a+0.5）这一区间中取值的一个近似代表值，这样才能根据正态分布计算其取值的近似概率。
若认为其是分段连续的，则与服从正态分布矛盾，无法根据正态分布计算其概率，而要根据样本得到经验分布后，根据经验分布计算其概率。 525 欢迎你加盟我们的管理组！ 525 恭喜你，以后能用短消息了。
说话交流就方便了！！ 525 祝贺彗星。 525 到50个贴了，自己庆祝一下。 525 哈哈,米吐,米吐 525 晚来的祝福,祝福彗星!呵呵 531 感谢各位版主顾问的辛勤努力，
感谢广大成员的积极参与！
我们家园的人数，帖子数，都在飞快提升！
更可喜的是我们的帖子的质量不断提高，
精华帖不断涌现，数学问题的讨论也日渐专业化！
我们看着家园一天天成长，大家的心情一定也和我一样。。。。。欣喜而兴奋~
成员之间友爱互助，团结一心，我们相信：合作是硬道理！

希望今后大家继续宣传我们的家园，
让所有的数学爱好者加盟~~




呼呼 531 现在 我们 博士家园 成长壮大的速度，超过了我的想象，我的速度感觉都跟不上了。。。
每次点击 我的助手 都有很多新贴子。有的都来不及浏览了。哈哈哈。
愿我们的 家园 越来越好越来越好啊。 531 才一周，我们的论坛就这样了。很不容易。
帖子总数：1885 用户总数：421

但是，宣传还是不够。
希望大家多多宣传本站。
让这里成为数学的乐园。

大家加油！！

欢迎大家宣传！

531 还行
我们论坛的人气还是比较旺。
希望以后会越来越好的。
531 恭喜,恭喜 531 革命尚未真正的成功，



同志还需不断的努力！

531 我们的论坛一定会越来越好的！ 531 论坛的前景是无量的！！ 532 神经系统的WLC网络模式 532 密码呢，www.math.org.cn解出的是乱吗 532 怎么我下载了插件,还是看不了呢???出现的还是乱码. 532 密码：
www.math.org.cn

sillyme问一下：解压后的.djvu文件用啥看呀？？？不会看。 见笑了。

djvu的插件见附件。 532 很不错的。经典教材
pw:www.math.org.cn
532 part2 532 part3 532 能详细描述，你说的情况吗？？

我这里很正常的。 532 哦。是不是你没有djvu的插件呢。

那需要下载一个了。

你去网络里找吧！

djvu的插件多的很！

532 很正常的, thanks 532 我下载了，现看看！ 532 后边两个怎么释放啊！不会了！需要帮助啊！ 532 thanks 532 用什么打开？？？ 532 这本书不错的，入门很合适 532 绿色的DJVU软件，免安装 532 谢谢! 532 还可以下吗？…… 532 lz看一下资源是否失效了....我下不来...谢谢 532 很好，找了好久 532 thinks !!!!! 532 总是提醒没有权限，但真的渴望得到这本经典。 532 不错 下来看看 539 １９５０年３月１６日，著名数学家华罗庚由美国返抵北京。华罗庚在１９４６年应美国伊利诺大学之聘前往讲学。新生的祖国给华罗庚这个历尽坎坷沧桑的知识分子带来了无限希望。到了香港，他写了一封告中国留美同学的公开信。他在这封长达万言的信中，情真意切地动员爱国的知识分子放弃国外优越的物质生活，投入祖国的怀抱尽一份力。他真诚地呼唤说：“朋友们，梁园虽好，非久居之乡。归去来兮！为了抉择真理，我们应当回去，为了国家民族，我们应当回去，为了为人民服务，我们也应当回去，就是为了个人出路，也应当早日回去，建立我们工作的基础，为我们伟大祖国的建设和发展而奋斗！”

　　华罗庚同志１９１０年１１月１２日出生于江苏省金坛县一个城市贫民的家庭。１９２４年他从金坛县立中学初中毕业，入上海中华职业学校学习，因家庭贫困，一年后离开了学校，在父亲经营的小杂货铺当学徒。在此期间，他利用业余时间自学数学。１９２９年，他在金坛中学任庶务会计，开始在上海《科学》杂志发表论文。他的论文《苏家驹之代数五次方程式解法不能成立的理由》受到清华大学数学系主任熊庆来教授的重视。经熊教授推荐，他１９３１年到清华大学工作。他只用了八年的时间，从管理员、助教、讲师进而到英国剑桥大学研究深造。１９３８年受聘任昆明西南联大教授。在极为艰苦的生活条件下，他白天教学，晚上在菜油灯下孜孜不倦地从事研究工作，写下了名著《堆垒素数论》。但在国民党统治下，这一名著无法出版，只好送到国外出版，直到解放以后才以中文版在我国正式发行。１９４６年秋，迫于白色恐怖，他出走美国，先后任普林斯顿高等研究院研究员、伊利诺大学终身教授。１９５０年，华罗庚同志响应祖国召唤，毅然从美国回到北京，先后任清华大学教授，中国科学院数学研究所所长，中国数学会理事长，中国科学院数理化学部委员、学部副主任，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科学院应用数学研究所所长，中国科学院副院长，中国优选法统筹法与经济数学研究会会长等职。他把自己的毕生精力，投入到发展祖国的科学事业、特别是数学研究事业之中。
540 世界上第一个数学博物馆将于3月26日在意大利佛罗伦萨的马可波罗中心正式揭幕。
据安莎社23日报道，这个博物馆的创建者将它称为“阿基米德的花园”，这是目前世界上惟一一个专门的数学博物馆，它的出现将会使数学不再是一门枯燥难懂的科学，人们可以在这个博物馆里通过各种有趣的数学练习、数学模型和数学游戏，在数学的奇妙世界里遨游，体会数学的真谛。
541 全国第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛将于５月１３日在潮州举行。全国将有包括香港和澳门在内的７８个城市的４７４名学生参加总决赛。




全国 “华罗庚金杯”少年数学邀请赛是为纪念杰出数学家华罗庚，由共青团中央、中国少年报社、中国优选法统筹法与经济数学研究会、中央电视台青少年节目中心、中国数学会、中国科协青少年部等单位联合发起并主办的一个全国性少年数学赛事。始创于１９８６年，每两年举办一届，至今已举办了８届。作为教育部批准的少年知识竞赛项目，“华罗庚金杯”少年数学邀请赛以其规模大、规格高、影响广而倍受国内外的关注，除全国各大中城市外，日本、韩国、马来西亚、新加坡等国家也曾派代表队参赛。

比赛分初一、初二和小学三个级组。参赛的城市将通过初赛和复赛选拔出６名学生组成１支代表队参加总决赛，作为主办城市的潮州市届时将组织２支代表队即１２名选手参赛。该市曾组队参加过第三、第四届的比赛并取得团体第３、第４名，个人３金２银２铜的好成绩。 541 参赛选手的年龄有什么限制没有? 541 听说这次：
潮州得了第二名。
北京是第一。
543 标 题: 大学里最浪费生命的十件事(转载)

【 原文由 jokerlong 所发表 】

1、过于长久地打牌:对于促进学业、增进同学间的友谊、用来致富作用都不大。打
牌可以,天天打并且一打就半宿甚至成宿地打,最浪费生命了。
　
　2、过于频繁地卖呆。卖呆有很多种,比如刚起床还没完全醒过来地卖呆、看书走神
了卖呆、听课想入非非地卖呆、看见美女之后胡思乱想地卖呆以及无缘无故习惯性地卖
呆等等。适量的卖呆可以调节情绪,缓解看书的压力,但是老是卖呆,有时一卖呆就收不回
来呆得很久,这就……

　　3、坚持不懈地追求一个不可能追求得到的MM。既浪费精力金钱又伤害自尊,而且有
的时候追到了也会发现两人其实极其不适合—————何必当初呢?

　　4、充满幻想地学习一门将来根本用不上,自己又不会真正成为此门课专家的学问。
比如某些辅修,自己没学明白,又浪费了把主课学得精益求精的机会。将来还没人承认这
种学历。不过既然学了,就咬牙让它成为自己真正的副业,不然青春就这么浪费掉了?

　　5、老是一遍又一遍地看同一本非专业的书或者同一部电影。大学时应该博览群书,
甚至不求甚解,老是一遍又一遍地看武侠琼瑶什么的,虽然看了不费脑子,但是有那么多好
书你却失去了阅读的机会。将来工作了哪会有那么大的图书馆让你用?

　　6、失眠。失眠有外因也有内因,反正失眠最大的特点是该睡的时候迷糊但睡不着,白
天迷糊但看不进去书,一旦失眠一定要治一治。

　　7、上外语角练口语。这是非常难以迅速提高口语的,因为去的多数都是口语很水的
人,还挤,还不如找个老外或者若干老外进行exchange呢。当然了,如果另有目的,那就不
一样了。

　　8、看过多的不该看的图片。我指的是过多。看到一定境界你自己就会明白:看什么
都是一回事,太没劲了。还不如看点别的呢。

　　9、极其不实际地考一个根本考不上的研究生。还不如不考。有这功夫,要么换个专
业,要么找工作,甚至在这功夫谈谈恋爱都比胡乱考一个250:1的专业强。

　　10、毕业的时候随便找个工作,不进行科学的分析和广泛的探讨。这种事情杀伤力比
较大,你们不妨拿自己试一试,毕业十年之后你会有答案的。 543 精辟，确实，我觉得上学也是，要上，就要上一个好的学校，否则，十年之后，和昔日的同窗也是没有法比得。 543 支持 543
值得反思 543 同意!
我主要是经常失眠
543 543 有意思 543 不错 543 好顶 543 我毕业快五年了，回过头看对你的话深有同感！ 543 有意思！ 543 这也是中国目前高等教育的现状和问题，
值得反思！ 543

[QUOTE]
有道理 543 大楷了解了大学的生活了 543 谈恋爱、迷恋上网、家教赚钱、逛街、睡觉、打热线点歌、影迷见面会、上厕所
忙考研、工作
543 我觉得我大学里
题球题多了
浪费时间 543 543 很一般 544 顶！ 544 我愿意推荐此篇为 成员交流室 精华，让更多人从中获益。
迟作总比不作强。 544 在校的大学生都应该看看 544 【 原文由 gaugefield 所发表 】
这是gaugefield觉得应该注意的几个方面，希望能帮大家少走一些弯路。

一 顺利地完成高中到大学的过渡

进入大学校园，很多人都会被这里新鲜的事物所吸引。新鲜感过去之后，要尽快静下心来
想一想，自己为什么来这里，自己的目标是什么，四年之后自己要达到一个什么样的高度
，实现自己的目标的路该如何一步一步走。完成从高中到大学的过渡并不容易，有人需要
几星期、几个月，有人可能会需要一年或更久。在过渡期间，要注意两点：

（1） 学习上不可松懈。

（2） 要积极调整心态。

A. 如果高考不是很理想，那就应该尽快勇敢地走出高考失利的阴影，走出自定义的“失败
”。

B. 总听同学抱怨大学的校园有这样那样的不如意之处。持这种观点的人无论到哪里都不会
满意的。霍金说过：人活到一定的年纪就会意识到，上帝对人是不公平的，我们所能做的
是在所处的环境下尽自己最大的努力。正视现实，记住：Nothing is perfect.

二 积极培养一名合格的大学生应具有的素质

（1） 要有较强的自制力和抵抗诱惑的能力

当你要去上自习时，看到别人在玩，这时你不能跟着玩，而应该严格遵守自己的计划。


学会明辨是非，以成熟的姿态对待身边的人和事物。成熟不是圆滑，不是世故，而是智慧
培植起来的纯真。

尽量不要逃课。因为逃掉的不只是一堂课，更是一种对学习的态度。

（2） 有责任感、紧迫感

珍惜时间。

有人以天和小时计算时间，更有人以分和秒度量时间。如果离下自习的时间还有5分钟，很
多人会选择放弃，收拾书包离开教室。但5分钟就是300秒，300秒可以做很多事情，比如可
以背十几个单词。5到300的飞跃就在一念之差。如此慢慢地积累，何愁学习上不会有质的
飞跃。

每个人都无法把握明天，我们能做的只是珍惜今天。

（3） 关于学习

A. 心要诚，目的要纯。兴趣是最好的导师。要认真。

B. 毅力先行，坚持不懈。

物理难，这是事实，不要回避，正是它。不会的，不懂的，一定要搞明白。要有知难而上
的精神。吴健雄的父亲 仲裔曾写到：顶住压力，不怕困难，只管前行。?住那句话：Go
d never puts you into situations he can not get you out of .绝望的时候也不要忘
了这句话：从绝望中寻找希望,人生终将辉煌。

正确对待压力。

有压力并不一定是坏事。人人都喜欢吃高压锅煮的食物，松软可口。为什么？因为那是高
压。我们所说的调节压力，不是逃避，而是积极地调整自己的心态，与压力达到一种共存
的平衡。

C. 合理分配精力

尽可能地利用身边的条件为自己的成才服务，充实自己。四年的大学时光是非常短暂的，
在这十分有限的时间里，要多学一些在大学这个特殊的环境下才能学到的东西。这里首当
其冲的就是专业。97年诺贝尔物理奖得主朱棣文在回顾自己的求学经历时曾说过：肯花时
间于专业上，使我受益匪浅。

借用同学的一句话：在大学里拿高分很容易，真正难的是思想方法，没有人会教给你，必
须自己去体会。

D. 培养主动性、创造性

大学的学习更强调自学能力，兴趣占支配地位。学以致用不是学习的最终目的，学习是为
了创造。只有创造才能推动人类社会向前发展。

广泛涉猎相关学科，多听讲座。掌握最新的科技发展动态，有两本杂志可供参考：Physic
s Today 及《Newton科学世界》。注意泛与精的结合，推荐大家在学普物时，看看《费因
曼物理学讲义》（Feynman Lectures on Physics,共三卷）；学四大力学时，去读朗道的
书（Landau and Lifshitz ,Course of Theoretical Physics,共十卷，可选读一部分）。


E. 正确对待分数和名次

考试是达标性质的，要重视，但在分数和名次上不要苛求自己。不争第一，世上没有永恒
的冠军，站在最高领奖台上的往往不是最强者，一时的胜利堵不来一世的顺畅。人永远是
半成品，记住这一点，你就不会在顺利时妄自尊大，也不会在处于低谷时失去斗志。

不要追求完美，因为Demanding perfection can lead to trouble .

当自己状态不好时，要分清是退步还是前进中的波谷，如果是后者，就勇敢地走下去。


坚信：天道酬勤，有付出必有回报。


（4） 目标的重要性

讲一件发生在我们身边的真事。

生化系96级一位师兄，平时排名大概在40多(全班有50人)，就是那种每门课都刚及格的人
。大三下学期，大家忙着考研，他就想：我该干点什么呢？是对付对付考一个本校，还是
拼一拼考出去到外校？要知道本校是很好考的。想了一个假期，他决定报考北大，为了自
己有一个美好的未来。

他不忙于象别人那样扑在题海中，而是仔细地分析了自己的优缺点，优点是没什么了。接
着就开始搜集信息，发现有一个系当年刚开始招研究生，而且是冷门，所考的课程是大家
都没学过而必须自学的，于是他决定报考该系。

之后，大家发现他好像换了一个人，天天自习到很晚。而且他不是死用功，他分析到，那
个研究所是搞基因组的，而当时人类基因组很热门。他就注意收集这方面的材料,结果考试
时，有一道20分的压轴题就是关于人类基因组的意义以及应用的，这是当时任何一本教科
书上都没有的。直到2000年97级考研时，基因组也是重点，不过真正考试时没出。

最后，当然是完美的结局，他考上了。而与他一起的平时排名在十几的(对男生来讲，这排
名已经很高了)却没考上。

一个人，要知道自己的不足，知道自己的目的，努力摒弃外界不利因素的影响，向着自己
的目标努力前进，又不盲目，懂得争取。不管结果如何，我想他那奋斗的过程就是最好的
回报。

每个人目标不同，奋斗方式也不同。这来源于一种生命的平衡力，一种对选择生命意义、
自由追求的把握。不管你的目标是什么，奋斗方式如何，关键的是要付出，要奋斗，要争
取实现你的目标。

（5） 广泛交友

慎择友，多交学习上的朋友（系内、系外），真诚待人，不嫉妒别人，学会取长补短。


多给别人一些帮助，尤其是在别人需要的时候，不管他（她）当时会不会明白你的心意。


三 一些题外话

我上中学的学校是一所很普通的中学，大一入学时，我在全年级排在中等水平，在物理学
专业居中等偏后。我很羡慕我的同学绝大多数都是来自重点中学，能在中学就接受高水平
的教育。同时，我也深深地感觉到了与他（她）们的差距。现在我跟我的同学们相比，除
了分数比他（她）们稍高一点儿外，我在很多方面都离他（她）们有很大的差距。所以平
心而论，我觉得今天我并没有资格在这里给大家讲这些。不过，既然我来了，就不能让大
家空手而归。四年前，当我刚入学时，一位96级的大师兄对我说：继续努力，不要贪玩。
今天，我把这八个字送给大家，更希望如果我刚才写的能对大家有点儿帮助的话，就请大
家自强不息、奋斗不止吧！

四 结束语

上了大四，经过一年的磕磕碰碰，发现以前自己的目光真是太短浅了。书到用时方恨少，
做毕业论文时才知道自己读的书太少，学过的东西不会用，学与研究相脱节。上课听讲、
记笔记，不应再是学习的主要方式，否则，这样培养出来的研究生只是加强型的本科生。
每个人要寻找自己感兴趣的方向和课题，并提出自己的研究方案，和有着相同兴趣的导师
及同仁一起讨论、研究。打好基础，在研究中进一步学习，学习与研究相结合。只有这样
，你才能真正明白学过的东西，才能真正懂得书上的公式和方程背后所包含的深刻的物理
内涵。

我很幸运，能在数学所的理论物理研究室跟葛墨林老师做毕业论文。葛老师和我的导师是
非常好的朋友。葛老师对物理和数学的执著与热爱深深地激励着和鼓舞着我，而他孜孜不
倦的精神和高尚的人格让我这个晚辈深感敬佩，相比之下，自己甚为惭愧。能从师于葛老
师，是我一生的荣幸。

最后，以icefighter给我的毕业赠言来结束这篇文章：“坚定而自信地认为这个世界虽然
纷杂、奇妙，但我们总可以凭借自己的智慧去揭开她神秘的面纱。我认为这是支撑真正的
物理人有勇气去探索自然界所需的全部信念。”

祝所有爱物理、爱数学的人们学业辉煌、梦想成真！也谢谢来看这篇文章的人，gaugefie
ld自不量力了。


gaugefield

2003.6.21
544 我也是觉得这个帖子讲的很好啊，斑竹可以加为精华吗？
支持的顶啊~~ 544 说明一下，这个帖子我最初是在南开大学数学试点班的论坛看到的
http://sdb.math.nankai.edu.cn/sdblt/index.php

虽然这个论坛真的非常荒凉，但老生感悟版还是有不少比较好的帖子的
http://sdb.math.nankai.edu.cn/sdblt/viewfo...3f0356513f2c31d 544 讲得好啊！如果早几年听到这些，也许情形会好，不过还好，从任何时候开始都不晚。 544 说得真得太好了！


说得太确却了， 我深有感触！ 544 这是一个过来人的经验啊! 544

感慨啊！ 544 听君一席话胜读十年书 545 一个比较难的极值问题，引发很多讨论，推荐大家去看看。
http://www.gzjzes.com/forum/Display.asp?id...744&Board_ID=32 545 看来刘老师也同样会错误。 545 我开始也跟你犯同样的错误。
我们那个论坛也欢迎刘老师常去知道哦。 545 刘老师太客气 545 题目是这样的，已知a,b,c均为正实数，且ab+bc+ca=1
求一个极值。


1 a +b +1 b +c+1 a +c

不算太困难吧,是高中数学题目吧!
可以证明当a=b=c时,取得最小值1/2*(3sqrt(3))
545 我的确错了，谢谢楼上的指正，

下来我看了答案，
比较麻烦，谢谢楼主的题目了。

[URL=http://www.gzjzes.com/forum/index.asp（见求助：不等式的解法]http://www.gzjzes.com/forum/index.asp/URL]
答案是管理员给的，在回复的第四页） 545 欢迎pge老师对函数分析版关心和支持，

pge老师以后还要常来哟，

我只是一个见习的斑竹，

以后还要多多向你请教了！ 545 不见你们做题，就见你们king 546 讨论一下中国邮递员问题,OK?????? 546 中国邮递员问题及其理论基础



http://www.scpmp.com/study/webschool/s5/1/.../right1.6.htm#2 546 刘家壮老师给我们讲中国邮递员问题的时候说:值得一提的是,这个问题还是在济南首先被提出来的^_^当年山师的管梅谷老师带领学生们多次跟随邮递员进行考证...
可惜管老先生已经移居加拿大了,无缘一睹其风采! 546 这个问题不是已经基本解决了吗？从哪方面讨论？ 546 HAO A 546 中国邮递员问题的价值在于它的应用上,不过由中国人首先提出这个问题还是令人兴奋的. 546 3q 547 难道高中生数学知识就一定不丰富吗,我可以吗? 547 当然可以，你可以先申请某个版块的顾问，等发帖超过50帖后，可以申请转为版主。

欢迎你！
547

能者多劳。欢迎你为 博士家园 奉献你的热情和力量。 547 可惜我已经做了不少斑竹,否则,口黑口黑,我也申请一个, 548 挪威设立数学界大奖——阿贝尔奖
548 英美数学家因指标定理获阿贝尔奖
http://www.qiji.cn/news/ 奇迹报道

--------------------------------------------------------------------------------
【新华网 石丁】3月25日，标志着国际数学界最高荣誉的2004年度“阿贝尔奖”在挪威首都奥斯陆揭晓。英国数学家迈克尔·阿蒂亚与美国数学家艾沙道尔·辛格由于发现了指标定理，共同荣获了这项被誉为国际数学界“诺贝尔奖”的奖项，两人将分享总额高达87.5万美元（约合726万人民币）的巨额奖金。挪威科学院高度评价了这两位科学家的研究成果，称“他们的杰出贡献在于发现并证明了指标定理，该定理将过去曾被认为毫不相关的拓扑学、几何学和分析学完美地结合在一起，因而是现代核心数学中最引人注目的一个领域”。

1963年，阿蒂亚与辛格共同发现并证明了指标定理。自20世纪80年代以后，物理学家大量引用阿蒂亚与辛格的研究成果，在超弦和量子场论研究领域获得了大量成果，并对拓扑学、微分几何学的研究有极其深远的影响。鉴于指标理论对基础数学与基础物理研究的巨大贡献，国际数学界将指标定理的证明与著名的费马大定理的证明相提并论，将它们并称为数学在20世纪取得的最伟大的两项成就。

英美数学家分享荣誉

现年75岁的阿蒂亚出生于英国，目前任教于英国爱丁堡大学。作为英国最著名的数学家，阿蒂亚在其研究生涯当中获得了不计其数的荣誉。1962年，年仅32岁的阿蒂亚就成为英国皇家学会会员。阿蒂亚曾荣获“菲尔兹奖”。阿蒂亚不仅曾在英国担任皇家学会会长、剑桥牛顿数学科学研究所所长、著名的剑桥大学圣三一学院院长等职务，还是美国、法国、中国和俄罗斯等数个国家科学院的外籍院士。

来自美国麻省理工学院数学系的辛格教授出生于1924年，是美国国家科学院院士。辛格教授曾是白宫科学委员会的成员。在其半个多世纪的数学研究生涯中，辛格曾先后获得过美国数学学会颁发的“斯蒂尔奖”和美国政府颁发的“国家科学奖”，在美国数学界享有极高的声誉。

数学界的“诺贝尔奖”

以挪威数学家阿贝尔命名的“阿贝尔奖”设立于2002年。今年是该奖项第二次颁发。该奖仿效“诺贝尔奖”，每年颁发一次，奖金额为87.5万美元，是目前国际数学奖中奖金额最大的奖项，与诺贝尔奖100万美元左右的奖金差不多。挪威政府创立该奖的目的是为了鼓励人类在数学领域的探索与研究，同时也是为了弥补科学领域最高荣誉———诺贝尔奖中没有数学奖的遗憾。

在“阿贝尔奖”创立之前，国际数学界最著名的奖项当属以已故加拿大数学家菲尔兹命名的“菲尔兹奖”，但该奖不仅奖金少得可怜(不到诺贝尔奖的1％)，而且限制获奖者在40岁以下。对它的一个补充是以色列的“沃尔夫奖”，它虽然没有年龄限制，但其他的非学术因素还是存在的。第三个是瑞典颁发的“克拉福德奖”，这是为弥补非诺贝尔奖的专业而设，包括数学、地球物理等，但每个学科六七年才轮到一次，影响力有限。与以上奖项相比，“阿贝尔奖”尽管历史较短，但由于奖金额巨大，很快在世界范围内获得了承认，目前已被公认成为数学界的诺贝尔奖。
548 读大一的时候就知道了 548 奖金确实够多的了,不过很多人更喜欢荣誉,不会特在意奖金的数额吧. 548 找到他们二人的照片了 548 同意楼上老兄的观点，我不是数学系的，数学也很差，但还是经常到这里来转转 548 阿贝尔奖不限年龄还是给有突出贡献的年轻人？ 548

这是一个错误的叫法:数学诺贝尔奖!

你可以这样数学"诺贝尔奖",好不好?

因为大家都知道诺贝尔生前是没有设立数学这一项目的! 548

这位仁兄的观点有些不对啊:

你应该明白数学(或者对于一个男人来说事业)是没有年龄的!

生活中有一句话:人老无所谓,但是心绝对不能老!

这类话太多了,我只是想说不要那么悲观,其实我觉得一个真正的数学家绝对不只是在数学中有所建树,而应该在很多方面至少都有所涉猎,毕竟数学无处不在哦! 548 数学家终于可以高兴点了。

虽然它现在的声誉还是没有非尔滋讲高。

早知道这样，我当年就搞数学了！！

唉。
548 自己是以前是学习数学的，现在该行了，才知道现在自己最缺少的东西是数学， 548 数学部分国界，数学里没有名利，名利心重得人不是和做真正的数学。 548 第一届法国的塞尔拿了 549 应该是经典的必须看的 549 请来信索取书籍上传ftp密码。
www.boss@163.com

感谢你的奉献，上传后加分。 549 我也觉得没有太大价值，如果是数学专业的用 549 速度是可以练的
在大学里没有练过，但在高中的时候做高考模拟卷的速度平均达到了45分钟搞顶一份卷子，能有个125左右，检查15分钟，也就是做1个小时能有个135左右。
在做填空和选择时几乎不用笔，这个就是熟了后有技巧了。
不过从现在来看，练习时必要的，但是过度的就没必要了，毕竟现在计算机的速度很快，好的算法才是关键 549 我没用过，但我的一位同事用过，他现在的计算能力还是比较强的，一般人难不倒，即这本书至少可以提高人的计算能力。 549

有道理，赞成 549 这个网址不错 549 《季米》计算太多了....
烦 549 这个算得上名著了，但已经不是最新最好的，我觉得北大林源渠等4人编的数学分析习题集不错，有许多有难度的题目，不信就试试下面这道题
http://www.gzjzes.com/forum/Display.asp?id...=664&Board_ID=3 549 据说很多大牛都把这本书给全做完了.还有有人问华罗庚如何学好数学,华罗庚问他这本书上的习题作了多少 549 相信大家都是知道《季米多维奇习题集》这本书的，有人说很有用，也有人说“这本供工科使用的习题书包含的数学思想甚少，除了对付作业、考试对学数学几乎没有用处“。
请问大家的看法如何？

引用语句来自
http://sdb.math.nankai.edu.cn/sdblt/viewtopic.php?t=19 549 季米多维奇习题集的书还可以，就是数学思想不是很多！

我推荐一本：数学分析的典型问题和方法，斐老编的！
相信对于学习数学（主要是函数分析）的人来说绝对称得上经典好书！ 549 《季米多维奇习题集》分两个版本，国内都有中译本，一个是为数学系写的，另一是工科用的。《季米多维奇习题集》（数学系版本）有4千多习题，总体看还是一本好书，特别是对打好数学分析基础很有帮助，该书由山东科技出版社出了6本全解。但《季米多维奇习题集》出版年代久了，不如现在的很多习题集的花样和解题技巧多。据说该习题集的精华题目有100--200个左右，我没去统计过，无法证实这种说法。 549 我觉得没什么用

549 我当时用过，不过的确是用来对付作业、考试的，呵呵。。。 549 这本书还可以能提高计算能力，但理论知识少了一些。 549 做题对理解数学思想是非常重要的.同时我门也看到许多经典命题的证明方法技巧很多.
但我反对我上高中时候老师提倡的题海战术,因为从经济学上来讲,这是不效率的.特别是对一种题型反复做,边际效益太低. 549 很不错呀！
549 现在在从新看 549 我们所做的每一见事情都有一个目的,有一定的针对性,有没有必要全做,要看个人的具体情况,看自己的目的就可以啦, 549 我觉得很好啊 549 还没做 549 重复的题目太多了！适合埋头苦学的人，不适合举一反三的聪明人呦 549 真要把吉米多维齐习题集做一遍是不容易的，不过最基础的那几门课一定要花工夫弄透。
高代，数分，概率，实函。个人认为现代数学处理问题的手法都在数分里面。能不能看出点门道来就要看自己下的工夫和悟性了！ 549 肯定有用！
知识这么会用有用和没用区别！
我有超星版的，但每册12M之多，共六册！版主又不给太多的上传空间，就没有办法共享了！强烈建议版主提供便利！ 549 此书经典不容置疑,正准备重新做一遍!希望有人和我共勉! 549 大一的学生做很有必要
我认为题也不多,因为六本是都附有答案的
看一看再找些练一下就行了
是很好的打基础的书 549 那么多页!没信心! 549 不一定多做题 应多思考。
做题的目地是启发你去思考！ 549 《季米多维奇习题集》中的练习题实在太多了。实在做不过来。不过我还是觉得这是一套好书，数学就是要多练嘛。我每一本都只做了一半，实在有点惭愧。我的中学老师她在大学里就全部做过一编，实在令我佩服。 549 我认为为了打基础,他是一本很好的资料啊!!
至于说武汉大学斐礼文教授著的<<数学分析中的典型问题和方法>>,那是更高要求啊!
书写的非常不错!就是后面的题目难了点啊!!
还有华中师范大学的钱吉林老师写的那本<<数学分析题解精粹>>可以说,如果你要考数学专业,那它是不可多得的好资料啊!!
还有一本,就是南京大学的蒋委国老师写的<<数学分析中的典型问题>>(科学技术出版社)
也很不错,不过也是后的习题很难,还有他最大的优点就是有南京大学最近几年的考研真题的详细讲解!!!上面有很多方法讲解的很到位!!
以上说的几本书,都是本人所有的几本书,只是个人的一点拙见啊!!仅供参考啊!! 549 能不能详细介绍以下,举个例子.帮助一下后进生 549 应该有用吧，其实数学系的学生如果连计算都没掌握好，还好意思说自己数学有多好吗？ 549

如果为了考研，全做，明显没必要，但是其中的3还是可以考虑的，把其中的积分搞定，考研的积分（考研纯考积分的好像很少，主要是练到熟练，条件反射）绝对是小意思，而且可以提高解题速度（当然这个绝对不是意味着你的数学水平高了！） 549

549 数学分析的典型问题和方法，的确不错 549 俺觉得很不错！！我在图书管看过，有些定理都出题解答！！可我想现在搞到却搞不到！ 549 经典的必须看的 549 整体来说很不错了，没有其他的比这本更详细了 549 个人觉得没有多大意思,不过作来玩完还是不错 549 哪里有得下载啊? 549 本身就实习题集，我觉得很不错，里面涉及很多技巧性很强的东西，值得看看；就其数学思想而言它本来就不是侧重这方面。其实有时候我们什么都懂单面对一道简单的题目我们或许还么用很复杂的方法这就是我们的计算能力不强，很多数学系的学生可能都又这方面的弊病。所以应该加强一下计算能力。 549 可以用来查查计算题和比较经典的题 549 数学就是要多做多练，不然知识点得不到巩固。 549 有好多题似乎不可能算出答案的说 太麻烦了~
而且因为一个题目的计算花去个把小时
似乎不划算的说 549 一般情况下,我即使做一道比较有思路的习题至少也要20分钟啊.
这样子要做完吉米一类的书不是要到猴年马月啊
据说我们以前有牛人一天做300道题,不知道这是怎么做到的啊?
有可能吗这个?怎么做到的啊?
549 请问吉米多维奇工科数学分析是什么出版社,谁译的,一共有几本,最新版本是第几版,是旧版本好还是新版本好,谁能否上传一个封面,谢谢. 549 的确有这样子的人。
不过我知道的这样的人也有缺点，一是错误太多，二是作题思路容易僵化。 549 清华出的一套由所谓的“反季米多维奇”学派编撰的《高等数学例题与习题集》的思想要现代一些。可以参考。 549 这种问题都问八百遍了，建议斑竹合并类似的帖子！ 549 从提高能力看，还是要看一看的！ 549 仁者见仁，智者见智啦！ 549

说的有道理！ 549 我也有同感啊，不过我觉得做题慢并非是坏处，如果你把题意都吃透，慢点又何妨． 549 我想它很不错
549 楼上兄弟的话是我常说的哟。。。。。。。。。。。。 549 吃透基本理论+经验积累，一天300题有必要吗？数量不一定和质量与正比啊 549 我觉得作题的关键是要领会精神，没有必要为了作题而作题，这样只会适得其反~ 549 我也认为仁者见仁，智者见智啦！ 549 我觉得很好! 549 多看看还是有好处的 549 很一般的书 应该说过时了 好书较多
549 季米多维奇习题集题目不少，一个不做题目的人怎么能学好课程．当然表面上没有什么新意，但好的方法是从简单开始的．把它用到极至，则生． 549 我也认为有些题目思路雷同却列举很多
能提高熟练程度，可是未必提高思考能力

可是又不能全盘否定说不好，做的时候适当删减就可以了 549 平心而论，我不觉得这是本好书，虽然这本书的书名是《数学分析习题题》，但是还是面向工科学生的，其内容是重于计算的。 549 真是仁者见仁，智者见智啦！
个人觉得挺好的！ 549 吉米多维奇是值得我们一看的,他是莫斯科大学数学大师的杰作哦!!是教学的结晶,对于现代数学有很好的知道意义的 549 我认为数学分析的学习只要是有一本有一定水平的参考书就可以了，至于具体是什么，所有书都大同小异！而且许多题目都出自吉米多维奇的《数学分析习题集》。 549 曾经雄心勃勃地做过，可惜没能作多少就渐渐变成了查老师布置的作业的工具书，打数分基础应该效果不错！ 549 很全面，但六本书造成一种压力感，有些题也感觉有点过时了。 549 无论怎么说还不是最滥的
没事的时候可以翻一翻 549 　　非也．书中有大量的基础题，对出学者熟悉数学分析基本方法很有帮助． 549 确实是这样, 其中的数学思想太少了, 就连他的数学分析习题集也是如此
549 的确是用来对付作业、考试的 549 的确是很偏重于计算，但是一名数学系的学生计算还是很重要的，我以为。
这本书对于入门到提高都很有帮助，如果能够认真研习完的话，数分是没有问题的！ 549 能做尽量做，做不完看看也行。
很有帮助的书。 549 好象全是计算题,重复套用公式就可以了.个人感觉不能提高数学思维能力,最多可以培养解题的条件反射而已. 549 《吉米多维奇》上各种数学分析题目都很齐全，建议大家看看 549 我认为你会用它那就是好事
这本书的确是不错
我想最好还是当作参考书
用北大的习题集比较好 549 好多意见啊，可是俺老师建议我们去看看，特别是考研的，怎么办怎么办？ 549 吉米多维奇的《数学分析习题集题解》适合作为学习数学分析的辅助练习吗？？谢谢 549 这是一本经典的书,如果你有时间,尽量全做,一个真正的数学高手不仅要会证题,还要会算题 549 我最近就在做了!我觉得用来应试应该是不错的!覆盖面很广!难度又大!不过我觉得还是应该把数分的整个理论体系搞明白自己具备推导的能力似乎更好! 549 对数学系的同学来说比较好，对一般的同学来说没什么必要啊，再说了现在有很多好题，根本不用搞什么题海战术 549 的确数学思想可能是少了一点，但是对训练数分的基本技能还是有好处的。 549 有一个前提，如果你是大一的学生，为了打好坚实的分析基础，可以选择此书因为有4462道习题，很费时间。如果为考试最好选择针对性强的书。祝你好运！ 549 呵呵 是呀 题量太大 而且很多是重复的
那代数有没有什么好的参考书？ 549 做这种书的确是比较浪费时间，虽说现在市面上的书大多参照了这本书，
但是也都去除了里面的很多很没用的东西。
所以我觉得市面上的辅导书大多比这个要好。 549 我对这几本书没什么好感 549

我觉得真的很浪费时间，特别是对于一个想考研的人来说，那更不值 549 我用过，感觉还可以
是一本比较好的参考资料 549 如果做为数学分析的初学者，我不建议你看那本书，首先我建议你用工科的练习书配合上一些学校的专用习题课教材。然后做一些非数学专业数学考研试题，待对数学分析有一定深度的了解后，再作，会有很多收获 549

我认为，如果有足够的时间的话，可以考虑。毕竟，它还是挺好的，不过，我不建议大四的考研学生去看， 549 这书计算太多了,如果你做多了的话,你就会走火入魔的.还是做北京大学的习题书吧很不错的 549 10几年前舅舅就做这题，最后去了美国，数学超级的好，他就叫我也做这个，不过我和楼主一样的迷茫，有必要全都做吗？请大虾们指教~ 549 我考研用武大和林渠源的应该可以了

那套书好象没看，提很多，挑些题就可以了吧 549 请问吉米的数分习题集对我们数学系本科生怎样? 549 应该说吉米多维奇的《数学分析习题集题解》是一套非常全面的了解数学分析这门课程的基础教材,是非常适合在阅读中提高自己能力的好书!20年前我是以17.4元购买全套6本的! 549 计算的内容太多了，，，证明的东西比较少 549 549 吉米多维齐习题集是好东西．我上大学时就是一题一题做下来的．对以后学习有用． 549 有人認爲吉米多维奇的《数学分析习题集》不適合數學本科生。我想知道哪些习题集好。在此我推薦关口恺夫的“精选微积分学演习”。下載網址：
http://elmo.jlu.edu.cn/MathBook/ 549 原来上学时也是用来对付作业的，但现在看来是浪费了，还是重新看过来的有用！！！我认为这本书对数学系的学生老师来说都应该称为一本好书！！！个人观点,呵呵！ 549 楼上的朋友，北大的习题集有答案么？我有很多题做起来很吃力 549 绝对算得上经典，问题是还有没有人能沉下来好好读读 549 吉米多维奇的《习题集》偏重于数学计算，理论证明要求，个人认为对数学专业不够，
加上该书已经出版了习题解，他的心连价值降低了，目前本人使用的是北京大学数学系的《数学分析习题集》 549 很不错！值得一看。 549 适合于泛读 549 还没做 549 《吉米多维奇数学分析习题集题集》是好是坏，大家也不好评论。
因为它里面的习题太多，有四五千题，题目之多可想而知它所包含的知识面有多广！
而且现在一般所用的教材，后面所用的习题，一般都可在里面找到，或者是相似的题。
在我这学校就数学系而言，一般是人人一册。大家买它也说不上是好还是坏，就是为了习题，它有你不会解的题，而且现在考研的题，年年都得换，有的实在不好出，就多这里面找，因为题多，选择面广。不怕重复。而且如果有重要的，那也是十来年后的事，也没多大的问题。

所以这本书向来也被视为是考研的“金书”。

对一本书的好坏评价，只能看个人自己的见解！！ 549 对学数学的来说不怎么样 549 只要你有那么多时间去计算啊，当然有用．不过太废时间而且光看这书肯定不够．裴礼文的那书不错啊．另外，说实话，个人认为８本的＜＜教程＞＞根本不适合初学者．难倒不说，进度太慢！个人强烈推荐:1.郭大钧等<<数学分析>>,这书不难,更难得的是,进度快!最适合初学者2.张筑生<<数学分析新讲>>这书很难,结构上虽然严谨,但进度慢了些,不过这书还是很好,只是不太适于初学.3.柯朗&约翰<<微积分和数学分析引论>>,这书的经典不用多说了,作为初学的参考书很好.４．斯皮瓦克<<微积分>>,这书相当生动,别看书名不是数学分析,其内容值得数学专业的学生参考.５．李成章&黄玉民<<数学分析>>,这是南开的书,也好.６．常更哲&史济怀<<数学分析教程>>这是科大的书,难度比较大.７．克莱鲍尔<<数学分析>>这书有两个翻译本,一是庄亚栋译的,一是孙本旺译的,都可以.这书可以当作习题书.８．他还有一本<<Aspects of Calculus>>,没见到过翻译本，这书比上一本简单些，不过绝对值得一读．９．哈代＜＜纯数学教程＞＞这书只有单变量部分，机械工业出了英文本，有没有翻译本不知道，即使有也是很老的了．１０．卓里奇＜＜数学分析＞＞这个是苏联人写的，觉得比８本的＜＜教程＞＞要好多了１１刘玉链＆傅？？的那本＜＜数学分析讲义＞＞现在出了第４版了，虽然简单，但是很适合初学．其他的国内的书大都差不多．再说些别的少见的几本．１２．高木贞治＜＜解析概论＞＞这书相当的古老，高木是日本现代数学第一人，他写的这本书质量无可怀疑，不过没见到翻译本，懂一点点日文就可以读这书，比如＜＜中日交流日本语＞＞的上册就可以了．适合硕士生读的１３．迪厄多内＜＜现代分析基础＞＞把这书读完了，分析就到家了吧． 549 帮助很少，除非闲得蛋痒，一般不必碰它。 549 吉米多维奇的《习题集》好像很古董哦，有能力的人不妨去看看武汉大学有个叫裴礼文的家伙写的《数学分析中的典型问题与方法》，是高等教育出版社出版的。






549 在上个世纪的人们的心目中着本书是经典，
现在我想不太是了，
因为人们可见得书多了，广了！ 549 这书证明题太少,基本上都是计算题,除非你读的教材计算题很少,否则没有必要做上面的题目. 549 大量作题 549 上个星期在图书馆找到了这本习题集，记得前言里这么说到 "for technical college"，看了看里面的题目，应该很适合学工程的朋友。但对我学数学专业的（现在大一），感觉这本书意义不大，最多是选择性挑几道做一下。 549 我是觉的还好拉，先应该高清楚课本上学的，季米 那只是来提高的
我只是随便说几句
无所谓好不好拉 549 这书计算的题很多,但是好多高校真题出自这书. 549 不错就是题太多了。 549 不值得花很多时间看啊
549 我还是觉得裴礼文的<<数学分析中的典型问题和方法>>比较好,无论是他的题型还是其中所包含的数学思想都堪称经典~! 549 要看是什么目的了吧！ 549 好
当然好 549 作习题还行,只是数学思想不是太多. 549 好书,值得一看,我看了其中的两本 549 <季米多维奇习题集>总体上属于经典习题集,但题量太大,很多题计算过于麻烦.题型很全,如果能做完这套习题集,那考研数学就基本上没什么问题了,关键是下工夫! 549 适当做题 549 难道那本书的名气是炒作的？ 549 个人觉得这个习题册不适合时间不是很充足的朋友,当然，如果你的课余时间很多的话,那挑些来做也不错.推荐北大的那个数学分析的习题册 549 这本书还可以，但主要是习题，没有思想方法． 549 这本书可谓是数学分析学的一本经典基础书籍，对我们学数学的来说很重要的一本书。
书中几乎汇集了所有分析学的题目，是名副其实的题典。
但这本书里的题很多，近期出版的书都要分四到六册。很少有人会全部做完，也很少人能全部解出。是具有很大难度的一本书。
对于考研的大学生具有极大的作用。一般情况下，能做完全部习题的大学生对研考中的高等数学（数学分析）应该是没问题的。
对于题典来说，里面全是解题，当然不会有太多的思想。但经过细心得了解和总结，会得出许许多多的方法和思想。就如科学家从现实中了解和总结规律及经验。
假如你对这本书比较感兴趣，可以抽时间做做，很有趣的。呵呵 549 我们老师说她们数学系的曾经把那书完全做了一遍
没做的也超了一遍 549 看吉米多维奇数学分析习题集对学数学分析有多大的帮助？ 549 感觉不大适合数学专业的。它主要还是在于计算和方法。 549

很多老师 549

很多老师 549 个人觉得不怎么样
尤其是对于学数学的人来说 549 太烦琐 552 山东大学数学与系统科学学院,统计专业
山大数学院是山大的招牌,现任校长展涛即为数学院出身,
现有的专业有
信息安全专业,
统计
信息与计算科学
数学与应用数学

数学还设有数学基地班,是国家数学人才重点培养基地,其保研率达80%之高,
以上是本科方面的情况,至于研究生,博士生方面,恕不是太了解,不能为大家介绍,
552 怎么没法用PM呀
我也找校友了,不过不知道你是不是在山大上的本科, 552 我们家园的成员来自五湖四海，有大学的院系，有科研院所，有中学，有。。。。。

欢迎您将您所在的关于数学的单位介绍给大家，

让大家了解中国，乃至世界的数学科研机构，数学学习场所，

优秀的我们将加入家园友情连接，永远收存！

552 大家可以把自己的学校图片发来看看！ 552 老实说，厦大的数学还是不错的。 552 我现在上班了，合肥通用机械研究院！以前学数学的 552 真好！可找到校友了！我是山东大学数学与系统科学学院04级运筹专业研究生！ 552 数学与系统科学学院是山东大学历史最悠久的学院之一。其前身是成立于1930年的“国立青岛大学理学院数学系”。当时，学校有“文理两院”，共七个系，数学系主任由理学院院长、著名数学家黄际遇兼任。这标志着山东大学数学学科的诞生。1936年已经能开出包括微积分、解析几何、微分方程、微分几何、数论等在内的50门课程。新中国成立后，数学系焕发出蓬勃生机。1957年，在国内较早地建立起了基础数学、计算数学、运筹学、控制论四个专门化方向，后来又建立了概率统计、计算机科学等专门化方向，打破了单一的数学专业格局。从1977 年开始，逐步建立起基础数学、应用数学、计算数学、运筹学和控制论五个本科专业。1996年撤系建院，数学系更名为“数学与系统科学学院”。2000年7月，原山东大学、山东医科大学、山东工业大学合并组建新的山东大学，现今的“数学与系统科学学院”包含“三校”的数学力量。
学院现有教职工151人，在校本科生1020名，研究生240名。下设数学和应用数学系、信息与计算科学系、统计学系，基础数学研究所、科学计算与软件研究所、应用数学研究所、系统与运筹学研究所、控制与系统科学研究所、概率论与数理统计研究所、工程数学研究所、信息安全研究所等教学科研单位。院长是国家“长江学者奖励计划”特聘教授、青年数学家刘建亚，党委书记是黎伯堂教授。
山东大学数学学科经过几代人的辛勤耕耘，不断发展壮大，已成为专业门类齐全、人才培养体系完善、居于国内先进行列并在国际上有一定影响的重要学科。学院是国务院学位办授予的一级学科博士点单位，拥有基础数学、计算数学、运筹学与控制论、应用数学、概率论与数理统计、系统理论6个专业博士点，并设有博士后流动站。现有数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、信息安全四个本科专业，涵盖了数学学科的所有方向。运筹学与控制论为国家重点学科，基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论为山东省重点学科。设有基础数学、计算数学、运筹学与控制论三个“长江学者奖励计划”特聘教授岗位。学院1991年被国家教委批准为首批“国家理科基础科学研究和教学人才培养基地”。
学院有一支治学严谨、研究领域广泛、实力雄厚的师资队伍。特别是八十年代中期以来，一批国内外毕业的年轻博士、硕士陆续充实到教师队伍中来，使师资队伍年龄结构更加合理、学历层次大为提高，其中一部分人已经成长为学术带头人和教学科研骨干。学院现有教师122 名，其中，教授42名，副教授73名，博士生导师34名，“长江学者奖励计划”特聘教授2名， “国家杰出青年科学基金”获得者2名，入选国家教委“跨世纪优秀人才计划”4名，入选国家 “百千万人才工程计划”3名，山东省专业技术拔尖人才11名，享受政府特殊津贴的专家21名。近十年来，学院承担国家 “重点基础研究规划”、“攀登计划”、“攻关计划”、“天元计划”、自然科学基金等国家级项目和省部级项目110项。获得国家自然科学二等奖1项，国家科技进步三等奖1项，省部级科技进步一等奖6项，省部级科技进步二等奖和三等奖17项。
长期以来，学院秉承山东大学笃实、严谨的学风，培养和造就了一大批优秀人才。建国以来，6000余名本科生、400余研究生从这里毕业，分布在国内外各行各业，许多人都取得了优异的成绩，受到社会各界广泛赞誉。现任山东大学校长展涛教授、中科院数学与系统科学院院长郭雷院士、北京大学数学科学学院院长张继平教授等是他们中的优秀代表。
进入新世纪，学院致力于探索培养人才的新途径，学科建设瞄准世界先进水平，着力抓好师资队伍的建设，创造良好的教学科研环境，力争为我国科学事业和经济建设的发展做出更大贡献。
552 呵呵，对于本科的学校，咱们不在一起的。 552

我回一个吧
武汉大学 数学与统计学院 552

武汉大学数学与统计学院是武汉大学历史最悠久的单位之一。一八九三年武汉大学前身自强学堂创办时就有"算术门"。一九一三年组建武昌高等师范学校后一年成立了数学物理部。一九二二年由当时的四部改为八系时定名为数学系。为加强学科建设，实现资源共享，提高整体办学水平，2001年元月，四校合并后的新武汉大学将原四校相关学科合并重组成立了武汉大学数学与统计学院。学院现设基础数学系、应用数学系、信息与计算科学系、概率统计系、数学公共课部等教学科研机构。现有三个本科专业：数学与应用数学、信息与计算科学、统计学，并设有国家理科基础科学研究与教学人才培养基地数学基地班，学院现是国家数学一级学科博士点，有四个二级学科具有博士和硕士学位授予权：基础数学、概率统计、应用数学、计算数学。学院共有教师139人，其中教授42人（含博士生导师15人），副教授66人，现有各类学生1791人。
　　一百多年来，陈建功、肖君绛、李华宗、汤澡真、吴大任等一批知名数学家曾在此从事教学和科研工作。 曾昭安、李国平、张远达、余家荣、路见可、齐民友等为我院的建设和发展作出了重要贡献。 改革开放以来，我院教师在函数论、偏微分方程、概率统计、非线性科学、应用数学、代数几何、信息与计算科学等领域做了大量的教学科研工作，取得了丰硕的成果。
教授名录--
　
基础数学系

陈　化 陈文艺 杜金元 范爱华
侯友良 黄本文 刘丁酉 刘培德
刘伟安 涂振汉 王维克 吴方同
徐超江 杨奇祥 余长安 朱赋鎏

　
应用数学系

陈建华 樊启斌 高成修 黄崇超
羿旭明 张选群 钟守楠

　
信息与计算科学系

陈桂兴 费浦生 冯　慧 胡宝清
黄象鼎 陆君安 孙乐林 万仲平
朱方生

　
概率统计系

高付清 胡迪鹤 胡亦钧 刘禄勤
邰淑彩 吴黎明

　
党政办

周兆华
　
--副教授名录--
　
基础数学系

蔡东汉 杜乃林 耿志斌 龚亚方
刘恒兴 刘金舜 刘晓春 栾静闻
邱琦章 吴少华 姚家燕 周小方

　
应用数学系

程学光 陈国良 陈士华 桂晓风
何梓昌 胡新启 黄　明 胡元明
李驭繁 罗毅平 吴珍权 湛少峰

　
信息与计算科学系

蔡德祺 程卫生 陈绍林 高作汉
葛冀川 何炬林 胡振忠 姜明启
李大美 李订芳 孟新焕 苗　京
莫忠息 石　峰 王绍华 谢　进
杨丽华 邹秀芬

　
概率统计系

邓爱姣 邓淑萍 何娟娟 黄克明
刘妍岩 唐道远 王文祥 余一彦
张淙航 钟六一 朱勇华
　


* 以上姓名以拼音为序 *

　

552

武汉大学数学与统计学院是武汉大学历史最悠久的单位之一。一八九三年武汉大学前身自强学堂创办时就有"算术门"。一九一三年组建武昌高等师范学校后一年成立了数学物理部。一九二二年由当时的四部改为八系时定名为数学系。为加强学科建设，实现资源共享，提高整体办学水平，2001年元月，四校合并后的新武汉大学将原四校相关学科合并重组成立了武汉大学数学与统计学院。学院现设基础数学系、应用数学系、信息与计算科学系、概率统计系、数学公共课部等教学科研机构。现有三个本科专业：数学与应用数学、信息与计算科学、统计学，并设有国家理科基础科学研究与教学人才培养基地数学基地班，学院现是国家数学一级学科博士点，有四个二级学科具有博士和硕士学位授予权：基础数学、概率统计、应用数学、计算数学。学院共有教师139人，其中教授42人（含博士生导师15人），副教授66人，现有各类学生1791人。
　　一百多年来，陈建功、肖君绛、李华宗、汤澡真、吴大任等一批知名数学家曾在此从事教学和科研工作。 曾昭安、李国平、张远达、余家荣、路见可、齐民友等为我院的建设和发展作出了重要贡献。 改革开放以来，我院教师在函数论、偏微分方程、概率统计、非线性科学、应用数学、代数几何、信息与计算科学等领域做了大量的教学科研工作，取得了丰硕的成果。
教授名录--
　
基础数学系

陈　化 陈文艺 杜金元 范爱华
侯友良 黄本文 刘丁酉 刘培德
刘伟安 涂振汉 王维克 吴方同
徐超江 杨奇祥 余长安 朱赋鎏

　
应用数学系

陈建华 樊启斌 高成修 黄崇超
羿旭明 张选群 钟守楠

　
信息与计算科学系

陈桂兴 费浦生 冯　慧 胡宝清
黄象鼎 陆君安 孙乐林 万仲平
朱方生

　
概率统计系

高付清 胡迪鹤 胡亦钧 刘禄勤
邰淑彩 吴黎明

　
党政办

周兆华
　
--副教授名录--
　
基础数学系

蔡东汉 杜乃林 耿志斌 龚亚方
刘恒兴 刘金舜 刘晓春 栾静闻
邱琦章 吴少华 姚家燕 周小方

　
应用数学系

程学光 陈国良 陈士华 桂晓风
何梓昌 胡新启 黄　明 胡元明
李驭繁 罗毅平 吴珍权 湛少峰

　
信息与计算科学系

蔡德祺 程卫生 陈绍林 高作汉
葛冀川 何炬林 胡振忠 姜明启
李大美 李订芳 孟新焕 苗　京
莫忠息 石　峰 王绍华 谢　进
杨丽华 邹秀芬

　
概率统计系

邓爱姣 邓淑萍 何娟娟 黄克明
刘妍岩 唐道远 王文祥 余一彦
张淙航 钟六一 朱勇华
　


* 以上姓名以拼音为序 *

　 552

我也是 552 me too 552
关于武汉大学数学与统计学院的信息，请看

http://maths.whu.edu.cn/
552 我来自重庆大学数理学院。

重庆大学数理学院的前身是始建于1929年的重庆大学理学院，是重庆大学的六个创始学院之一，著名科学家李四光、何鲁、柯召、胡坤陞、段调元、潘璞、谢昌璃、郭坚白、周雪欧、王元吉等早年都曾任教于此。五十年代由于院系调整，大部分理科专业调迁至成都。七十年代末，重庆大学恢复招收应用数学和应用物理专业的本科生，并组建了应用数学系和应用物理系。为适应我国国民经济和科学技术迅猛发展形势和实现把重庆大学建设成高水平的研究型综合性大学的战略目标，1998年7月，学校在原有的应用数学系和应用物理系的基础上恢复了理学院。重庆大学、重庆建筑大学和重庆高等建筑专科学校三校合并组建成新的重庆大学后，于2001年1月再次进行院系调整，将原重庆建筑大学的数学和物理学科的有关专业和人员并入理学院，同时将理学院更名为数理学院。目前设有数学、物理、信息、电子、统计精算五个系，十一个研究所。学院现有教职员工150余人，其中教授21人（含博导6人），副教授39人。现有博士点2个，硕士点9个，本科专业5个。有市级重点实验室1个、市级重点学科5个。学院还挂靠了重庆市工业与应用数学学会，重庆大学生数学建模竞赛组委会。拥有北美精算师资格考试中心和中国精算师资格考试中心。
552 我来自杭州师范学院 理学院 http://www.hztc.edu.cn/lxy/index.asp
很高兴来这里与大家交流 552 我。。。我不是学数学的。。。我只是个爱好者。。。

现在是无业游民。。。 552 我来自杭州师范学院,信息与计算科学专业的,今年刚考了本校的研究生.
希望和大家交朋友,QQ 85088695 552 我是来自福建师范大学数学与计算机科学学院~~~~ 552 福建师范大学数学与计算机科学学院的历史可追溯至1907年建立的福建优级师范学堂的数学专业。建国以后，福建华南女子文理学院、福建协和大学、福建省立师范专科学校、福建省研究院、福建学院等单位经过调整合并成立福建师范学院，保留发展了数学系。1972年改名为福建师范大学数学系。


1996年成立计算机科学系，与原有的数学系合并，称为福建师范大学数学系和计算机科学系，2002年12月成立数学与计算机科学学院。 1953年以来，数学系先后由王邦珍、王石生、林辰、谢晖春、陈世基、倪守平、薛卫民担任系主任。现任院长吴子文教授、党总支书记黄宗平副研究员。学院已为国家共培养了一万多名本、专科生和一百多名研究生。他们走上工作岗位后，积极工作、奋发向上，对社会作出了应有的贡献。有的成为本省中学工作或基础教育的骨干，有的成为地方的行政领导干部，有的成为各级工商、金融、税务、公司等企事业单位的会计和电脑开发的人才。

学院现有数学与应用数学、信息与计算科学、计算机科学与技术、电子信息科学与技术四个全日制本科专业和数学本科、电脑财会、计算机应用、电子商务等5个成人教育本专科。设有函数论、代数、几何、微分方程、概率统计、中数、计算机软件、系统、网络与通信、电子信息、公共计算机等11个教研室和数学、计算机科学、应用数学三个研究所，数学教育研究室，计算机基础、网络、数学、软件、硬件等实验室。主办面向全国的《福建中学数学》杂志。该院的主要任务是培养中等学校数学教育师资、计算机师资和科学研究人员、电脑管理等专门人才。1983年建立了基础数学、概率论与数理统计2个硕士点，2000年获应用数学硕士学位授权点，招收16个研究方向的硕士研究生。2002-2003学年全院各类在校生近4000余人。

学院现有教职工119人，专任教师95人其中教授9人，副教授、副研究员、高级工程师、高级实验师等计31人，占专任教师总数的38%，其中有博士后经历2人，具有博士学位12人，在读博士12人，硕士研究生导师23人。中青年教师42人，占教师总数的一半。有7人入选“百千万人才工程”，有7人被评为校优秀中青年教师，1人为省优秀中青年骨干教师，有13人先后获政府特殊津贴。

概率统计为1个省重点学科，基础数学为省重点扶持学科。至今已获国家科技进步二等奖1项，省部级科技进步一等奖1项，二等奖9项，三等奖6项。函授教研室被评为省成人教育先进单位。近年来，学院共出版专著教材39部，发表论文近1000篇，其中在国家一级学术刊物上发表的168篇。
552 我也是山东大学毕业，不过，我不是学数学的，我是医生，但是很喜欢这个坛子． 552

是的，你现在还不能用，但等到你成为高中生时就可以了。

努力吧！ 552 我来自兰州大学 数学系
552 我来自三峡大学。
三峡大学理学院设有数学与应用数学、信息与计算科学、物理学和电子信息科学与技术等四个本科专业，现有“应用数学”和“凝聚态物理 ”两个校级重点学科，应用数学硕士点已通过省学位办验收，2004年正式开始招收硕士生。
　　理学院现有教职工110人。专职教师100人，其中教授10人，副教授28人，硕士25人，博士12人；2人获湖北省有突出贡献的中青年专家称号；在我校“151”人才工程中有学科带头人3名，学术骨干2人。
学院下设数学系、物理系等2个系，应用数学研究所和凝聚态物理研究所等2个研究所，大学物理实验室、专业物理实验室和数学实验室等3个实验室，承担三峡大学数学、物理类公共课与专业课教学和大学物理和专业物理实验任务。物理系现正在积极申办省级示范性实验中心。
　 学院十分注重对外学术交流，先后有多名教师应邀参加国内外学术会议，从清华大学、北京大学、浙江大学、武汉大学、北京理工大学等国内著名高校聘请兼职教授10余名。
　　学院在“数字摄影测量”、“系统优化”、“运筹与控制”、“MS代数”、“软代数”、“代数几何”、以及“统计物理”的方向和领域的研究形成了一定的特色，有的在国内具有一定的优势。近年来承担国家级项目2项，省教委项目13项，科研项目获省级以上奖励10项，在国内外权威刊物上发表论文
500余篇，其中50余篇被SCI、CI、ISTP收录，出版专著、教材多部。
　　学院秉承“以人为本，民主办学”理念，注重培养学生的综合素质，我院学生代表队在全国大学生数学建模比赛中多次获得一、二等奖，现有15项学生专利正在申报。学院现有在校生近千人。 552 厦门大学数学研究所经厦门大学批准成立于1984年，现有流动科研人员8人。对系内教师实行脱产或半脱产滚动进所工作制。1997年厦门大学聘请厦门大学校友林群院士为数学研究所兼职所长。数学研究所现有十六位教授、十三位副教授轮流进所从事科学研究。数学研究所现有研究方向：偏微分方程，函数论与泛函分析，代数，组合数学，金融数学，概率统计，数值计算，计算流体力学。其中，张福基教授是组合数学方向的博士生导师，赵俊宁教授是偏微分方程方向的博士生导师，肖文俊教授是代数学及其应用方向的博士生导师，姚宗元教授是函数论方向的博士生导师，程立新教授是泛函分析方向的博士生导师，卢琳璋教授是数值代数方向的博士生导师，林亚南教授是代数表示论方向的博士生导师，谭绍滨教授是Kac-Moddy代数方向的博士生导师，郭铁信教授是随机分析方向的博士生导师，许传炬教授是计算流体力学方向的博士生导师，曾晓明教授是逼近论、计算机辅助几何设计方向的博士生导师。另有十二位已取得博士学位的青年教师。1997年以来，进入研究所的教师共主持一个国家自然科学基金重点项目，二十五个国家自然科学基金面上项目与青年项目，六个国家教育部留学回国人员基金项目，一个国家教育部优秀青年教师基金项目，两个国家教育部面向二十一世纪教学改革项目的子项目，三十个福建省自然科学基金项目，一个厦门市科委项目，和一批校级项目，参加一项国家自然科学基金重点项目，一项国家科委攀登项目的子项目，三项国家自然科学基金与国家社会科学基金项目，一项中德国际合作项目和一项中法国际合作项目。共发表科学论文近四百篇。赵俊宁教授主持的《拟线性退化抛物方程的若干问题》，获国家教委1998年科技进步一等奖。林亚南教授独立完成的项目《Hammook的分解和Nazarova_Roiter算法》2001年福建省科技进步二等奖。郭铁信教授独立完成的项目《随机度量理论及其应用》获2001年福建省科技进步二等奖。肖文俊教授独立完成的项目《有限群的若干问题》获国家教委1996年科技进步三等奖。

张福基教授作为第一合作者参加的项目〈代数图论研究〉获1996年国家教委科技进步三等奖。张福基教授作为第一合作者参加的项目〈数学化学与网络优化〉获1997年新疆维吾尔自治区科技进步三等奖，作为第一合作者参加的项目《分子图的匹配理论》获2000年福建省科技进步二等奖。赵俊宁教授作为第二作者编写的专著〈非线性扩散方程〉1997年获第八届全国优秀科技图书二等奖。数学研究所重视学术交流。1997年以来已举办科学报告会一百多场。既有邀请国内外专家来讲学，也有所内的学术研究进展报告。1997年以来已有四十多人次参加在国内外举行的国际学术会议并作学术报告。数学研究所主办面向国内外的学术期刊〈数学研究〉，邀请近十位院士任学术顾问。每年四期。由中国出版对外贸易总公司对国外发行。



552 我来自石油大学数学学院
是不是很烂但我有一颗热爱数学的心 552 我来自武汉大学数学与统计学院
前面有校友介绍了 552 我来自陕师大 552 我现在在一个小公司就职，主要做点数学模型方面的工作！我毕业于西安电子科技大学理学院 552 西安交大
理学院成立于1994年，是中西部地区乃至全国重要的高层次理科人才培育基地之一。现由数学、物理、化学三个基础学科组成，下设科学计算与计算软件、应用数学、信息科学、金融数学与统计、应用物理、光信息科学与技术、化学、应用化学等八个专业系，设有计算数学、应用数学、基础数学、概率与统计、原子与分子物理、理论物理、光学、凝聚态物理、应用化学等十个硕士点，计算数学、应用数学、凝聚态物理和材料物理等四个专业博士点，以及数学学科博士后流动站。学院现有教职工247人，其中教授54人（含博士生导师23人）,副教授66人，青年教师大都具有博士学位。

学院本着基础课教学一流、基础科学研究一流的发展目标，近年来在教学、科研、学科建设等各方面取得了长足的进步。教学方面，学院的基础课教学水平始终在全国高校中位于前茅；同时，作为多项国家"面向二十一世纪"教改项目的牵头或主要参加单位，学院的教学改革也走在全国高校前列。目前学院是全国高校工科数学教学委员会主任单位，国家工科数学教学基地建设单位，学校数学、物理、化学三大基础课教学实验中心建设单位。科研和学科建设方面，学院依托基础科学研究中心、陈省身先生力创的应用数学研究中心以及西安交通大学强大的工程技术科学，在力争理科基础研究水平世界一流的同时，大力发展高新技术的基础理论研究。目前，学院已形成以基础科学研究为主、以信息技术基础理论研究为新兴增长点的科学研究新局面。

一流的学院需要一流的人才。为此，学院坚持"以人为本"的理念，在用好现有人才的同时，本着"进来者放心"、"离开者高兴"的原则，积极灵活地运用固定编制与流动编制相结合的方式引进国内外优秀人才。一个开放、流动、向上的理学院正在形成。

552 我是三峡大学的一名在校学生，虽然在大家的眼里，他不很显眼，但是是我心目中的骄傲，我有义务向大家宣传：
我来自三峡大学

三峡大学理学院设有数学与应用数学、信息与计算科学、物理学和电子信息科学与技术等四个本科专业，现有“应用数学”和“凝聚态物理 ”两个校级重点学科，应用数学硕士点已通过省学位办验收，2004年正式开始招收硕士生。
　　理学院现有教职工110人。专职教师100人，其中教授10人，副教授28人，硕士25人，博士12人；2人获湖北省有突出贡献的中青年专家称号；在我校“151”人才工程中有学科带头人3名，学术骨干2人。
学院下设数学系、物理系等2个系，应用数学研究所和凝聚态物理研究所等2个研究所，大学物理实验室、专业物理实验室和数学实验室等3个实验室，承担三峡大学数学、物理类公共课与专业课教学和大学物理和专业物理实验任务。物理系现正在积极申办省级示范性实验中心。
　 学院十分注重对外学术交流，先后有多名教师应邀参加国内外学术会议，从清华大学、北京大学、浙江大学、武汉大学、北京理工大学等国内著名高校聘请兼职教授10余名。
　　学院在“数字摄影测量”、“系统优化”、“运筹与控制”、“MS代数”、“软代数”、“代数几何”、以及“统计物理”的方向和领域的研究形成了一定的特色，有的在国内具有一定的优势。近年来承担国家级项目2项，省教委项目13项，科研项目获省级以上奖励10项，在国内外权威刊物上发表论文
500余篇，其中50余篇被SCI、CI、ISTP收录，出版专著、教材多部。
　　学院秉承“以人为本，民主办学”理念，注重培养学生的综合素质，我院学生代表队在全国大学生数学建模比赛中多次获得一、二等奖，现有15项学生专利正在申报。学院现有在校生近千人。 552 哈哈，这篇文章我喜欢，因为我是厦大毕业的：） 552 陕西师范大学
陕西师范大学是直属于教育部的大学之一，学校座落于著名历史文化名城西安，毗邻唐代著名古迹大雁塔，校园环境优美，景色宜人。
数学与信息科学学院由数学系、信息科学系及数学研究所、数学教育研究所与模糊系统研究所组成。设有数学与应用数学（师范类）及信息与计算科学（非师范类）本科专业。现拥有基础数学博士授权点，并设有数学博士后科研流动站。有基础数学、应用数学、计算数学及课程与教学论（数学）四个硕士点，同时招收教育硕士。基础数学专业是陕西省重点学科，数学与信息科学学院现在校本科生、硕士生、博士生共1100余名。
数学与信息科学学院现有教职工86名，其中博士生导师9人，教授17名，副教授16人。教师中有博士学位以及在职攻读博士学位者30多人。
目前，数学与信息科学学院正在参与两项国家重点基础研究规划项目（973） 和一项国家自然科学基金重点项目，正在主持多项国家自然科学基金和省、部级基金项目。
近年来，数学与信息科学学院教师发表高层次学术论文数量增加较快.近五年在权威及SCI源期刊发表论文80余篇,在Kluwer学术出版社出版专著《Zariskian Filtrations》，在Springer出版社出版专著<<Noncommutative Grobner Bass and Filtered-Graded Transfer>>,在Marcel Dekker 出版社出版专著《A Primer of Algebraic Geometry>>以及在科学出版社出版专著《非经典数理逻辑与近似推理》。
经过多年的努力，数学与信息科学学院在人才培养、学科建设、科学研究等方面得到迅速发展。在格上拓扑学与非经典逻辑、算子理论与算子代数、非交换代数、微分方程、信息与计算等研究方向形成了一个以中青年为主、结构合理、富有活力、具有团结创新精神的研究队伍。
552 浙江大学 www.math.zju.edu.cn 552 我来自中大 552 现在是爱好者 552 温州大学(筹).
由原来的温州师范学院和温州大学组建,现在还是筹备待批. 552 我的硕士是在四川大学读的，关于四川大学数学系，可以看http://www.scu.edu.cn/scu2003/home/math/ 552 郑州大学 552 毕业于安徽大学数学系，现在在南京信息工程大学数学系. 552 我来自青岛理工大学理学院，其前身是建工学院数理系，我们搞的方向是岩石力学及其工程应用，主要是用分形的方法来研究岩石节理的一些特性，希望同僚之间能够交流。
552 当年我在西大一街之隔的西工大上学，在西大也上过选修课！呵呵！勉强也算是校友了！支持西大！ 552 http://www.amss.ac.cn 552 南开大学 数学科学学院 552 我也是厦大的,支持本校,虽然我不是数学专业 552 湖南大学数学与应用数学。个人认为：学校还凑合，有几个牛人，就是方向太少 552 我现在在南京财经大学应用数学系，这个系刚刚成立三年，很年轻 552 http://210.28.80.21/xygk/math/
应用数学系现有教职工41人，其中教授7人，副教授13人，讲师10人。博士6人，硕士与在读硕士25人。现设基础数学、应用数学、公共数学三个教研室。承担本系数学与应用数学专业课与全校其它各专业数学公共课。

　　应用数学系培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、有关财经知识、使用计算机技术解决实际问题能力的高级专业人才。应用数学系学生将学习系统专业基础知识，接受科学研究的初步训练。毕业生符合条件者授予理学学士学位。本专业学生毕业后可在科技、教育和经济部门从事实际应用、开发研究和管理工作；可在高等学校和科研单位从事教学、科研工作；也可在银行、证券、保险等金融机构以及其他经济管理部门从事计算机应用、信息管理、经济动态分析和精算、预测等方面的工作。

　　应用数学系师资力量较雄厚，职称结构、学历结构、年龄结构、知识结构较合理。现有国家级突出贡献专家1人，江苏省“333”工程培养对象1人，省级学科带头人培养对象3人，硕士导师 4 人，享受政府特殊津贴2人。

　　本系教师近五年来获省级教学成果奖4项，院级教学成果奖3项。获全国模范教师称号1人，获曾宪梓基金会全国高校优秀教师奖1人。共指导学生参加数学建模竞赛获奖10项，指导学生参加全省大学生数学竞赛共有27人次分别获一、二、三等奖。2004年指导学生参加全省第7届非理科专业高等数学竞赛共获一等奖3项、二等奖12项、三等奖37项。微积分课程被评为省二类优秀课程。

　　应用数学系具有一定的科研实力，近年承担国家级、省部级、院级教研、科研项目40项；获省级科研奖励13项；校级科研奖励6项；发表学术论文 152 篇；获专利1项；出版专著两部。

552 我是北京师范大学2003级工商管理本科生，热爱数学，现在正在努力学习中~~~~
向各位师兄师姐讨教...




北京师范大学经济与工商管理学院 ( SEBU. BNU ) 是北京师范大学的下属学院，它的前身是北京师范大学经济系，始建于1979年。经济学院（系）成立20多年来，经过全体教生的共同努力，教学和科学研究取得了丰硕的成果，并逐步成为学科门类齐全、教师梯队合理、在国内有一定影响的学院。我院全体教职员工和学生正按照“建一流学院，创一流学科，办一流专业，育一流人才”的目标，争取在5—10年时间内把学院建成国内一流、在国际上有一定影响的商学院。




552 北京师范大学数学系成立于1922年，其前身为1915年创建的北京高等师范学校数理部，1983年成立了数学与数学教育研究所，2004年成立了数学科学学院。

数学科学学院现有教师68人，其中博士生导师27名，教授31名，副教授22名；有博士学位的教师56人(其中在外校获得博士学位者32人，且无任何学缘关系的有21人)，占教师总数的82.4%。特别地，有中国科学院院士2名，国家杰出青年基金获得者2人，教育部长江学者特聘教授2人，入选教育部跨世纪人才培养计划2人。

数学科学学院1990年建立了北京师范大学第一个博士后流动站，1996年成为国家基础科学人才培养基金基地，1998年获数学一级学科博士授予权。现有基础数学、概率论与数理统计学、应用数学3个博士点，基础数学、计算数学、概率论与数理统计学、应用数学、学科教学论(数学)、科学技术史(数学)、计算机软件与理论、控制理论与控制工程8个硕士点。数学科学学院的数学学科是国家211工程和985工程重点建设的学科，概率论与数理统计学科是国家级重点学科，概率论方向是国家自然科学基金创新群体。

数学科学学院下设数学系、统计与金融数学系，有数学与应用数学、统计学2个本科专业，以及信息处理与计算机科学、保险精算2个方向；有分析、代数、几何、方程、概率论、数理统计、计算数学、应用数学、数学教育与数学史9个教研室和《数学通报》杂志编辑部。数学与数学教育研究所有随机数学、生物信息、模糊系统与模糊信息、统计数据分析4个研究中心，有复杂系统实时控制、数据统计与分析2个实验室。

近五年，数学科学学院承担国家“973”重大研究项目、国家自然科学基金重点项目等科研项目75项，经费总额1000多万元，出版或再版专著、教材70部，发表学术论文654篇（其中SCI论文247篇），11项成果获得国家、教育部、北京市奖励，其中王梓坤院士获第9届何梁何利基金科学与技术进步奖，陈木法院士和王凤雨教授的《跳过程，粒子系统与特征值估计》获国家自然科学奖三等奖，李洪兴教授的《变论域自适应模糊控制理论及其在4级倒立摆控制中的应用》获国家教育部自然科学奖一等奖。另外，1999年以来数学科学学院还主持全国教育科学“十五”规划重点课题等国家及省部级教学改革项目21项，获得国家及省部级教学方面的奖励23项，其中王昆扬教授获首届北京市高等学校教师名师奖和宝钢优秀教师特等奖，并被评为全国模范教师，教育部和国家自然科学基金委先进工作者。

80多年来，数学（系）科学学院已毕业全日制本科生6065人。20多年来，已毕业博士研究生150人，硕士研究生666人。据不完全统计，在毕业生中有2人当选为中国科学院院士，4人获国家杰出青年基金，4人获国家自然科学奖，3人入选教育部跨世纪人才培养计划，6人入选教育部优秀青年教师资助计划，9人次获霍英东青年教师奖和青年教师基金，8人获德国洪堡基金，3人获国家级有突出贡献的中青年专家称号，2人获有突出贡献的博士学位获得者称号，1人获全国模范教师称号，2人获教育部优秀青年教师奖，1人入选全国百篇优秀博士学位论文。
552 我是湖北大学本科毕业的。中规中矩的学校。

www.hubu.edu.cn

网站中的介绍内容更新不太勤，大致情况是有基础数学博士点，一级硕士点，本科四个专业，正教授15个（7个博导），34副教授。代数，几何还行。 552 成电 应用数学学院 552 郑州大学数学系始建于己于人1956年，随着学科的发展，1987年更名为系统科学与数学系。经过40多年的建设，现拥有雄厚的师资队伍，先进的教学设备，齐全的图书资料，教学科研环境幽雅，是河南省培养数学与理科复合型人才的重要基地。该系现有专任教师62人，其中

正副教授45人
博士生导师5人
国家有突出贡献的中青年专家学1人

省管优秀专家8人
全国优秀教师3人
教育系统劳动模范3人


1989年以来获国家级优秀教学成果奖2项，省级优秀教学成果奖4项。该系现拥有基础数学，计算数学，运筹学与控制论三个硕士授权点，基础数学还有博士授予权和博士后流动站。基础数学连续被评为省重点学科。目前该系拥有数学与应用数学，信息与计算科学两个本科专业。
数学与应用数学专业主要培养掌握数学科学的基本理论与方法，具备运用数学知识，使用计算机解决实际问题的能力，能从事研究，教学工作或在生产，经营及管理部门从事开发研究和管理工作的高级专门人才。

信息与计算科学专业主要培养具有良好数学素养，掌握信息科学和计算科学的基本理论与方法，能运用所学知识和熟练计算机技能解决信息和工程计算领域的实际问题，在科技，教育和经济部门从事研究，教学，应用开发和管理的高级专门人才。 该系注重基础理论，外语，计算机的教学，强调应用和创新能力的培养，毕业生受到用人单位的好评，考取研究生的比例保持在相当高的水平。

552 我来自天津商学院 理学院 应用数学课学系 信息与计算科学专业 552 天津商学院创建于1980年，是由教育部和天津市共管，以天津市管理为主的一所经、管、工、法、文、理、艺术兼有的多科性高等院校，主要培养高级经营管理人才和工程技术人才。
学院座落在天津市子牙河畔，占地近37万平方米，建筑面积27万平方米。校园环境整洁幽雅，为师生教学、科研及生活配备了一流的设施，创造了良好的工作、学习和生活环境。
学院设有机械工程学院、生物技术与食品科学学院、管理学院、经贸学院、法政学院、信息工程学院、旅游管理学院、外国语学院、理学院、高等职业技术学院、继续教育学院、国际教育学院、宝德职业技术学院等十三个二级学院及体卫部、大学外语教学部两个教学部。下设制冷与空调工程系、包装工程系、食品工程系、生物工程系、制药工程系、工商管理系、市场营销系、会计系、公共管理系、工程管理系、法学系、心理学系、经济学系、国际经济与贸易系、外语系、计算机与电子信息工程管理系、艺术设计系、应用数学科学系、旅游管理系等19个系、12个硕士点、30个本科专业；学院还多种形式办学，设有中日里千家茶道短期大学，在国家的重视和社会方方面面的支持下，学院得到迅速发展，在国内外享有良好的声誉。
学院拥有一支实力较强的教学、科研、管理队伍，现有教授、副教授、研究员、高级工程师270人，讲师近
500人。学院建有53个教研室、16个教学实验室，配备有国内外先进的教学和实验仪器设备。建立了制冷研究所、法制与心理研究所、商业综合设计院、现代教育中心等，有力促进了教学科研水平的提高。近年来，学院承担国家级和省（部）级重点科研项目50多项，被SCI等收录论文近20篇。
学院图书馆面积达1万平方米，中外文藏书近68万余册，期刊杂志1800余种，并设有电子阅览室。学院开通了校园网，通过网络可以与世界交流。学院还出版国内外公开发行的《天津商学院学报》和《天津商学院院刊》、《高教研究》等刊物。
学院实行多层次、多形式办学，除研究生、本科生外，还开设了高等职业技术教育、高等自学考试及各种形式的大专班、培训班、函授班，现在校研究生、本专科生一万七千余人。
在学科和专业建设上，学院紧紧围绕经济建设的发展，着眼于厚基础、宽口径、高素质，不失时机地进行了调整和充实，以培养复合型、适应型的人才。
在教学和科研方面，学院建立了一系列有效管理制度，有一批课程被评为市级优秀课程，多项成果被评为市级优秀教学成果。近年来学院承担了许多国家级和市级重点科研项目，有近百人在国内外学术会议上交流了教学、科研成果。
学院先后与美国、日本、韩国、法国、英国、加拿大、澳大利亚、荷兰、丹麦、芬兰、俄罗斯、新加坡、马来西亚、香港、澳门等十多个国家和地区的三十多所高校建立了合作关系，开展了学术交流。学院成立了商业汉语培训中心和国际茶文化交流中心，现已招收各类外国留学生百余人。同时，学院每年选派数十名学生到美国、丹麦、日本、新加坡等国家的大学进行学习深造，推进学院国际化进程。
学院对优秀生、经济困难生制定了奖励和资助措施，设立了优秀学生奖学金、专项奖学金、贷学金、特困助学金、特困补助、勤工助学、人身平安保险等。学院还为毕业生就业建立了毕业生就业指导中心。
建院二十多年来，学院为国家培养了一大批急需人才，这些毕业生分布在全国各地和海外，绝大部分都成了业务骨干，受到用人单位的好评。
在新的世纪，学院规划了宏伟蓝图，到2010年学院将发展成占地2千多亩，建筑面积60万平方米，含经、管、工、法、文、理、艺术、农、医9个学科，在校研究生、本科生达3万人的多科性工商大学。
　　现在，全院师生正以开拓创新精神努力工作，为在二十一世纪建成一个适应现代化建设需要的工商大学而奋斗。 552 一、专业名称：信息与计算科学(专业代码：070102)

二、学制：四年

三、业务培养目标：
本专业培养具有良好的数学基础和数学思维能力，掌握信息科学和训算科学的基本理论、方法和技能，受到科学研究的训练，能运用所学知识和熟练的计算机技能解决信息处理和科学与工程计算的实际问题，能在科技、教肓和经济、金融等部门从事研究、教学、应用开发和管理工作的高级专门人才。

四、业务培养要求：
本专业学生主要学习信息和计算科学的基本理论、方法和技能，打好数学基础，接受比较扎实的计算机训练，发展学生的创新意识、应用意识，培养数学思维能力、数学建模能力和数学实践能力。使学生初步具备应用信息技术与计算科学知识从事科学研究、解决实际问题及设计开发有关软件的能力，具有较强的更新知识、追踪新技术的能力。
学生应获得的专业知识和能力：
1、具备扎实的数学基础，掌握信息与计算利学的基本理论和箍本方法
2、掌握一门外国语，在本专业中具备听、说、读、写能力；
3、能熟练使用计算机，具备基本的算法分析、设计能力和较强的编程能力；
4、能运用所学的理论、方法和技能解决应用领域中的某些实际问题；
5、对信息与计算科学理论、技术和应用的新发展有所了解；
6、掌握文献检索、资料查询的基本方法，具有一定的科学研究和软件开发能力。

五、主干学科：计算数学，信息科学
主要课程：数学分析，高等代数，解析几何，微分方程，概率统计，c浯言程序设计，数据结构与算法，数值分析，信息论基础，回归分析与SPSS应川，微分力程数值解，运筹学通论，多元统训分析，时间序列分析，最优化方法。

六、主要实践教学环节：
集中进行的实践环节：数学软件实践，数学建模训练，毕业设计（论文）
主要专业实验：数学实验。

七、授予学位：理学学士


八、适应范围：
适应信息产业、工程技术、科技教育、经济金融等部门的研究、教学、应用开发和管理等工作。
552 大家好:
我是鲁东大学(烟台师院)的大三学生,数学与信息学院的,我希望与大家多多交流,增长见识,为将来的考研作准被,谢谢大家 552 大家好
我是来自山东鲁东大学数学与信息学院的大三的学生谢谢与大家交流
552 见到这么多山大的校友，真高兴。 552 大连理工大学 应用数学系 我们的计算数学很强 但我是学基础数学的 552

最好把所介绍的单位的网址贴出来。便于查询。 552 数学却是不错！ 552

中大简介


　　中山大学位于改革开放前沿的广东省。现有四个校区，总面积达6.17平方公里，分别座落在珠江之畔、南海之滨。广州南校区占地1.17平方公里，北校区占地0.39平方公里，广州东校区占地1.13平方公里，珠海校区占地3.48平方公里。各校区树木葱笼，绿草如茵，景色秀丽，均是陶冶情操、读书治学的胜境。

办 学 历 史 及 优 良 传 统

　　中山大学是有优良办学传统的名牌大学。1924年，世纪伟人孙中山先生亲手创办这所大学，亲笔题写了“博学、审问、慎思、明辨 、笃行”的校训。原校名为广东大学，1926年，正式改名为中山大学。上世纪三十年代，中山大学设有文、理、法、工、农、医、师等7个学院。1935年学校设立研究院，开始招研究生。五十年代全国高校院系调整，中山大学成为一所以文理科为基础的综合性大学。 新中国成立以来，中山大学一直是全国重点大学之一，也是我国首批博士、硕士学位授予单位和建立首批博士后科研流动站的单位之一。九十年代，由国家批准率先在华南地区设立第一所研究生院，建立起学士、硕士、博士完整的人才培养体系。
学校本科教育质量不断提高，成为培养高层次人才的重要基地。在70周年校庆时，江泽民总书记撰写了"发扬中山先生革命精神，办好中山大学，作出更大贡献"的题词，进一步为办学指明方向。2000年9月，中山大学珠海校区在珠海市唐家湾建成，为新世纪的发展奠定坚实的基础。2001年10月26日，中山大学与中山医科大学合并，组成新的中山大学。教育部与广东省人民政府签订协议，教育部与广东省在3年内投资12亿人民币，把新中山大学建设成为一流的高水平大学。
　　中山医科大学前身之一为博济医学堂，成立于1866年，是我国最早设立的西医学府，孙中山先生曾在此学医和从事革命活动。1936年，博济医学堂发展成为岭南大学医学院。1953年，中山大学医学院、岭南大学医学院合并成立华南医学院，1954年广东光华医学院并入。学校先后改名为广州医学院、中山医学院。1985年，改名为中山医科大学，已逐步发展成为一所多学院医科大学，在医学遗传学、眼科学、肿瘤学、寄生虫学、内科肾脏病学、器官移植、传染性肝病、生物医学工程及分子医学等方面科学研究成绩显著，达到国家先进水平。
??中山大学和中山医科大学具有着深厚的历史渊源及学术传统。鲁迅、郭沫若、冯友兰、傅斯年、赵元任、顾颉刚、周谷城、俞平伯、陈寅恪、岑仲勉、姜立夫、王亚南、马采、容庚、商承祚、王季思、王力、钟敬文、朱谦之、丁颖、蒲蛰龙等蜚声海内外的专家学者都曾在中山大学任教。柯麟、梁伯强、谢志光、陈心陶、陈耀真、秦光煜、林树模、周寿恺、钟世藩、毛文书、陈国祯等著名医学专家曾在中山医科大学任教。学校名家大师荟萃，熏陶着一代代莘莘学子，形成了良好的学术风气，不少才华横溢的毕业生成为社会各界的杰出人才。
??我国改革开放以后，原中山大学和原中山医科大学在广东省经济飞跃发展的驱动下，进行了一系列教育改革，取得了长足的发展。从1993年开始，教育部、卫生部和广东省人民政府共建原中山大学和原中山医科大学。两校分别通过"211工程"项目验收，各学科建设项目、公共服务系统和基础配套设施建设圆满完成。两校的合并，实现了强强联合，并顺利开展"985工程"建设，使学科设置更加齐全，办学力量更为壮大。2004年9月，在广东省、广州市政府的支持下，中山大学东校区在广州市的番禺区正式落成，进一步拓展了办学空间，增创办学的新优势，办学水平更上一层楼。

办 学 条 件 及 学 科 优 势

??目前，中山大学是一所包括人文科学、社会科学、自然科学、技术科学、工学、医学、药学和管理科学等在内的综合性大学。设有人文科学学院、岭南学院、外国语学院、法学院、政治与行政事务管理学院、管理学院、教育学院、传播与设计学院、数学与计算科学学院、物理科学与工程技术学院、化学与化学工程学院、地理科学与规划学院、环境科学与工程学院、生命科学学院、信息科学与技术学院、工学院、中山医学院、国际交流学院、旅游学院、翻译学院、基础医学院、公共卫生学院、光华口腔医学院、护理学院、药学院等25个学院和地球科学系、资讯管理系，并有研究生院、软件学院、高等继续教育学院（网络教育学院）等。
　　中山大学学科门类宽广齐全。在研究生教育方面，全校有17个一级学科具有博士、硕士学位授予权，博士学位授权点达148个，硕士学位授权点达208个，还有专业学位点16个，包括：临床医学专业博士学位点以及工商管理硕士（MBA）、公共管理硕士（MPA）、法律硕士（JD）、计算机技术、环境工程硕士、软件工程硕士、电子与通信工程硕士、项目管理、生物工程、地质工程、光学工程、硕士临床医学硕士(M.M.)、口腔医学硕士(S.M.M.)、公共卫生硕士（MPH）、会计硕士（MPAcc)等15个专业硕士学位点。全校拥有中国语言文学、历史学、数学、物理学、化学、生物学、基础医学、临床医学、管理学、公共管理、哲学、环境科学与工程等12个博士后科研流动站，有20个国家级重点学科和43个广东省重点学科。在本科教育方面，全校有83个本科专业，拥有哲学、中国语言文学、历史学、物理学、化学、生物学等6个国家级基础科学研究和人才培养基地，有18个本科专业是省级名牌专业。我校还具有国家大学生文化素质教育基地和中国的第一个大学生体育训练基地。今年，在校各类学生5万多人，其中博士研究生近3000人、硕士研究生近8000人、在职攻读专业博士硕士学位3000多人，本科生21000多人，外国留学生700多人。
??中山大学有着雄厚的师资力量，学校有权评审和授予教授、副教授职称。全校共有教职工近12000人，其中有博士生导师603人，具有高级职称的770多人，具有副高职称的近1
500人。教师队伍中杰出人才辈出，有中国科学院院士10人、中国工程院院士4人，国家级教学名师2名，国家级有突出贡献的中青年专家15人，国家杰出青年科学基金获得者29人，国家人事部"百千万人才工程"第一、二层次人选17人，教育部"跨世纪优秀人才培养计划"人选18人，教育部"长江学者"特聘教授14人，卫生部突出贡献专家15人、霍英东青年教师基金获得者9人、霍英东青年教师奖获得者15人。
??学校有一批水平先进、设施完善的实验室和科研基地。目前，有"光电材料与技术"、"生物防治"、“华南肿瘤生物学”等3个国家重点实验室，"水生经济动物繁殖、营养和病害控制"、"植物基因工程"等2个国家重点学科专业实验室，以及国家新药（抗肿瘤药物）临床试验研究中心等国家级科研机构；拥有"基因工程"、 "聚合物、复合材料及功能材料""眼科学实验室"、"肾脏病临床研究实验室"和"肿瘤基因组学与抗肿瘤药物研究实验室"等5个教育部重点实验室，有马克思主义哲学与中国现代化研究所、逻辑与认知研究所、港澳珠江三角洲研究中心、行政管理研究中心、历史人类学研究中心、中国口头和非物质遗产研究中心等6个教育部人文学科重点研究基地，并拥有眼科学实验室、肾脏病实验室、辅助循环实验室等3个卫生部重点实验室。此外，还拥有7个广东省重点实验室。
　　学校图书馆藏书435万册，提供传统的书刊借阅服务、复印、速印服务外，还提供互联网信息浏览、光盘数据库检索、网络数据库检索、DIALOG联机检索、UnCover专题服务及电子文献传递服务等多种形式的电子信息服务，为师生员工迅速有效地利用电子资源提供方便。中山大学图书馆总建筑面积11万余平方米，仅次于中国国家图书馆，位居全国高校首位，已被教育部确定为高教文献保障体系华南地区中心，是中国高等教育文献保障体系的7个中心之一。中山大学四个校区均建立了规模可观的校园网，四个校区之间的连接速率已达到千兆，在教学楼、办公楼、学生宿舍、教工住宅之间实现了光缆连接；光缆连接总长度超过140公里，校园网的用户数超过28000户，网上连接计算机超过29000台。校园网的规模、用户数名列华南地区高校前列，是国内高校中网络铺设面最广、规模最大、技术最先进、出口速率最高的校园网之一，为学校教学、科研、管理水平的整体提高奠定了良好的基础条件。
　　学校拥有附属第一医院、附属第二医院（孙逸仙纪念医院）、附属第三医院、附属第五医院（珠海医院）等4所附属综合性医院，以及中山眼科中心（含眼科医院）、肿瘤防治中心（含肿瘤医院）、光华口腔医院等3个专科医院。
　　中山大学地处广东，毗邻港澳，对外学术交流活跃。合并后，对外交流领域更为广阔。迄今为止，已与美国、加拿大、日本、澳大利亚、英国、法国、德国等国家和地区的100多所著名大学、学术机构和团体建立了学术交流关系，并与其中的40多所签署了交流协议。
??改革开放以来，海内外校友和各界人士给予中山大学大力支持，捐建教学科研生活用楼、添置实验仪器设备、捐赠各类图书资料、设立奖教奖学金，累计各类捐助达4.5亿多元。

办 学 特 色 及 辉 煌 成 绩

??中大近８０年的历史形成了学校鲜明的办学特色，其中最突出的是革命性、科学性和开放性。
　　中山大学是孙中山先生为培养革命人才而创办的。中山先生"天下为公"、"革命尚未成功，同志仍须努力"的革命精神激励着每一个中大人。在中大的教育传统中，历届领导都十分重视爱国教育和人格教育，强调民族精神，培养国家观念和社会责任感。８０年风风雨雨，中大人以中山先生为楷模，以中山先生的革命思想为办学理念，培养了大批优秀人才，形成了以国家兴亡和民族振兴为已任的优良传统。江泽民总书记要求中山大学 "发扬中山先生革命精神"，正是对中大"革命性"传统的很好的概括。
　　中大的历史是和一批大师级教授、学者联系在一起的，他们的治学精神和方法铸就了中山大学讲求"科学性"的优良传统。在中大的办学宗旨中，始终坚持以现代大学的理念指导办学，把发展教学和科研、办成名校作为目标。重视基础、重视质量、重视人才培养的科学规律已成为中山大学的教学传统。著名国学大师陈寅恪教授，精通十多国文字和梵文，在历史学、宗教学、语言学、考据学、文化学及中国古典文学等领域取得卓越成果。陈先生致力于做真正的学问，不图虚名，坚持学术研究中"三个不讲"：书上有的不讲；别人讲过的不讲；自己讲过的也不讲。所讲内容必是在学术研究中所发现的问题，以及为解决这些问题所进行的探索和思考。教师们言传身教，严谨治学的科学作风和开创学术新领域的勇气给中大这座科学殿堂留下许多精神财富。
??广州历来是中国对外开放的门户，是内地联系海外的桥梁。这是中山大学"开放性"传统的地缘背景。从筹办广东大学起，在３５名筹备委员中有３１人是从海外留学归来、通晓国际先进教育的专家。中山先生要求大学以"讨究世界日新之学理、技术为主"，实行开放性办学，向全国招聘名师来校任教，并在国外建立大学海外部。改革开放以来，学校坚持开放性办学传统，及时调整专业结构和人才培养模式，适应社会主义市场经济和广东经济发展的快速增长。学校精英教育的传统和企业文化的交融使中大的毕业生能较快地适应社会并被社会所欢迎。一批海外学者到中大任教，加强了传统教育与国际先进教育之间的沟通和联系。中大珠海校区的建成也体现了学校"开放性"的办学传统,珠海校区已逐步成为中山大学乃至广东高等教育对外合作与交流的窗口，成为办成高水平国际著名大学的新起点。
??近几年来，中山大学人才培养取得许多新成绩。如，2002年至今，我校参加教育部的一级学科评估，参评的16个一级学科有12个进入前十强。近年来我校博士生论文有11篇论文入选全国百篇优秀博士论文。2003年，中山大学代表队获得第27届国际大学生计算机程序设计大赛的银奖。2003年在香港举行的第四届投资策划ACCA大学生公开赛中，我校代表队夺得冠军。继2002年我校学生辩论队获全国大专辩论赛冠军之后，2003年代表中国参加国际大专辩论赛勇夺冠军。　　
　　中山大学，这所伟人孙中山先生手创的中国名校，已经进入了加速发展的快车道。为把学校建设成为居于国内一流大学前列、世界知名的研究型综合性国际化大学，全体师生员工满怀信心，继往开来，同心同德，与时俱进，开拓创新。在新的世纪，中山大学必将从胜利走向胜利，从辉煌走向新的辉煌。


（更新时间：2005年4月）








552 山大威海分校信息工程学院，不是数学系，但比较喜欢数学，可以说痴迷，希望得到大家的指点！！！ 552 山大分校主要师资力量：
姓名:刘桂真

职称:教授

是否在职:在职
应用数学系主任， 教授、 博士生导师、 全国政协委员、全国高校理科高等数学研究会理事长、全国组合数学和图论研究会副理事长、《美国数学评论》评论员、美国数学会会员。
姓名:陈绍著

职称:教授

是否在职:在职
教授,基础数学博士生导师、美国数学会会员、美国数学会《数学评论》特邀评论员
姓名:靳明忠

职称:教授

是否在职:在职
靳明忠：男、1945年生。1968年大学毕业、1981年研究生毕业于山东大学应用数学系，理学硕士。研究方向为微分方程稳定性理论。多年来一直从事高校教学、科研和管理工作。曾任云南工业大学数理学院副院长兼应用数学系主任、昆明理工大学理学院副院长、硕士导师、云南省数学会常务理事。先后发表学术论文40余篇。主持省部级、厅局级科研与教学项目10余项。 1998年获云南工业大学教学一等奖。2001年获昆明理工大学教学成果二等奖。1993年和1995年两项课题获云南省科委科研成果三等奖。

姓名:朱本仁

职称:教授

是否在职:在职
朱本仁1959年毕业并任教于山东大学数学系。1990年为山东大学应用数学系教授，以及于1996年为数学及系统科学学院应用数学系博士生导师。主要从事应用数学和科学计算的开发、研究工作。曾于1979－1981年访问美国西东大学、耶鲁大学，1991年、1995年、2000年先后多次作为访问教授去加拿大多仑多大学、滑铁卢大学和费尔兹数学研究所进行国际交流和合作研究。当前研究的主要兴趣是“数学物理中心的逆问题、数学信号、图象分析处理中的数学方法”。先后发表学术论文70多篇，出版出“时间依赖问题的近似方法”和“蒙特卡罗方法引论”。1995年获国家教委科技进步三等奖及省教委科技进步二等奖两次。从2002年9月起作为外聘教授来威海分校工作，为数学系、控制系讲授高等代数、线性代数课程，为控制系研究生讲授近世代数课。
姓名:刁在筠

职称:教授

是否在职:在职

刁在筠，女，生于1941年8月，祖藉山东省淄博市。山东大学数学系教授。1959年考入山东大学数学系（五年制本科），1964年毕业获学士学位，后考入山东大学数学系研究生，1965年肄业后分配至浙江省汽车运输公司任调度员。1978年5月调回山东大学数学系历任讲师，副教授，教授。为本科生和研究生开设运筹学、组合优化、高等代数、高等数学、数学物理方法等多门课程。先后与同事合作编写出版“运筹学”等六本书籍。在《系统科学与数学》、《运筹学》、《高等学校计算数学学报》等学术期刊先后发表论文廿余篇。培养了硕士研究生十余名曾获得教育部科技进步二等奖、山东省优秀教学成果二等奖、山东大学优秀教学成果一等奖，所主讲的“运筹学”课程获“国家理科基地创名牌课程项目”，本人也获山东大学首届十大主讲教师称号。在威海分校数学系创建初期，曾于1988年来威海分校数学系首届控制系和计算机系本科生讲授高等数学和数学分析课。2002年9月至今又以外聘教师身份再次来威海分校，先后为经济系、电子系讲授高等数学课，为控制系研究生讲授组合优化课。希望分校越办越兴旺，为国家培养更多的优秀人才。
名:洪惠民

职称:教授

是否在职:在职

洪惠民 男，1935年出生，浙江慈溪人，数学系教授，硕士生导师，民盟盟员，原山东省自动化学会理事，原威海市数学会理事长。 552

中国农业大学 理学院 数学系04级本科生

说来奇怪，数学系招研究生十多年了，本科生我们是头一届

我们系本科专业教学刚开始，不是太好，但科研上运筹学，数据挖掘很强

牛人有潘承彪教授研究数论和模形式，邓乃扬教授是中国运筹协会副理事长
系主任王来生
杨正宏教授是中青年的优秀教师，主持了两项国家自然基金会的项目
其他人不太认识

顺便说一下，潘老师下学期给我们讲初等数论 552 没意思呀 552 南京大学 数学与应用数学 552 还是第一次来这个版
听不错的 552 我来自辽宁大学数学系应用数学专业
应用数学硕士点于1998年建立，主要培养方向为金融数学和控制论方向，现有导师五人，学制为三年。
金融数学方向旨在研究金融及相关经济行为的数学问题，包括金融分析，风险管理，预测及证券等方面的内容，现已毕业22人，全部获得硕士学位，毕业生主要分布在高等学校和金融系统等单位。
本专业具有基础性、综合性和实用性三大特点，基础性是指本专业强调基础理论素质的培养，具有很强的素质教育特点；综合性是指本专业溶数学基础理论、金融及经济理论和计算机科学为一体；实用性是指本专业适应社会发展需要，使毕业生能够胜任金融及经济部门的实际工作。
552 俺是老西大人了，那位介绍西大数学系的老兄说不准还是咱的同门呢，呵呵！ 552 没什么了 552 俺来自山东大学数学与系统科学学院 552 数学与系统科学学院是山东大学历史最悠久的学院之一。其前身是成立于1930年的“国立青岛大学理学院数学系”。当时，学校有“文理两院”，共七个系，数学系主任由理学院院长、著名数学家黄际遇兼任。这标志着山东大学数学学科的诞生。1936年已经能开出包括微积分、解析几何、微分方程、微分几何、数论等在内的50门课程。新中国成立后，数学系焕发出蓬勃生机。1957年，在国内较早地建立起了基础数学、计算数学、运筹学、控制论四个专门化方向，后来又建立了概率统计、计算机科学等专门化方向，打破了单一的数学专业格局。从1977 年开始，逐步建立起基础数学、应用数学、计算数学、运筹学和控制论五个本科专业。1996年撤系建院，数学系更名为“数学与系统科学学院”。2000年7月，原山东大学、山东医科大学、山东工业大学合并组建新的山东大学，现今的“数学与系统科学学院”包含“三校”的数学力量。

学院现有教职工151人，在校本科生1020名，研究生240名。下设数学和应用数学系、信息与计算科学系、统计学系，基础数学研究所、科学计算与软件研究所、应用数学研究所、系统与运筹学研究所、控制与系统科学研究所、概率论与数理统计研究所、工程数学研究所、信息安全研究所等教学科研单位。院长是国家“长江学者奖励计划”特聘教授、青年数学家刘建亚，党委书记是黎伯堂教授。

山东大学数学学科经过几代人的辛勤耕耘，不断发展壮大，已成为专业门类齐全、人才培养体系完善、居于国内先进行列并在国际上有一定影响的重要学科。学院是国务院学位办授予的一级学科博士点单位，拥有基础数学、计算数学、运筹学与控制论、应用数学、概率论与数理统计、系统理论6个专业博士点，并设有博士后流动站。现有数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、信息安全四个本科专业，涵盖了数学学科的所有方向。运筹学与控制论为国家重点学科，基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论为山东省重点学科。设有基础数学、计算数学、运筹学与控制论三个“长江学者奖励计划”特聘教授岗位。学院1991年被国家教委批准为首批“国家理科基础科学研究和教学人才培养基地”。

学院有一支治学严谨、研究领域广泛、实力雄厚的师资队伍。特别是八十年代中期以来，一批国内外毕业的年轻博士、硕士陆续充实到教师队伍中来，使师资队伍年龄结构更加合理、学历层次大为提高，其中一部分人已经成长为学术带头人和教学科研骨干。学院现有教师122 名，其中，教授42名，副教授73名，博士生导师34名，“长江学者奖励计划”特聘教授2名， “国家杰出青年科学基金”获得者2名，入选国家教委“跨世纪优秀人才计划”4名，入选国家 “百千万人才工程计划”3名，山东省专业技术拔尖人才11名，享受政府特殊津贴的专家21名。近十年来，学院承担国家 “重点基础研究规划”、“攀登计划”、“攻关计划”、“天元计划”、自然科学基金等国家级项目和省部级项目110项。获得国家自然科学二等奖1项，国家科技进步三等奖1项，省部级科技进步一等奖6项，省部级科技进步二等奖和三等奖17项。

长期以来，学院秉承山东大学笃实、严谨的学风，培养和造就了一大批优秀人才。建国以来，6000余名本科生、400余研究生从这里毕业，分布在国内外各行各业，许多人都取得了优异的成绩，受到社会各界广泛赞誉。现任山东大学校长展涛教授、中科院数学与系统科学院院长郭雷院士、北京大学数学科学学院院长张继平教授等是他们中的优秀代表。

进入新世纪，学院致力于探索培养人才的新途径，学科建设瞄准世界先进水平，着力抓好师资队伍的建设，创造良好的教学科研环境，力争为我国科学事业和经济建设的发展做出更大贡献。 552 山大的好多啊 552 本人来自江西师范大学数学与信息科学学院 552

呵呵，找到校友了哈
我是应用数学系的 552 我来自黑龙江科技大学,信息与计算可学专业,在读,希望将来能运用数学做个好软件设计师.希望各位高手与前辈多多指教 552 本科是在武汉理工大学（原武汉工业大学）念计算机，后来在四川大学念数学硕士 552 我是安徽大学数学与计算科学学院的！但我希望能考中科大的研究生！希望得到大家的帮助！ 552 大家好，也是山大的，现在科学院。 552 山师，曲师，烟师，聊师，临师。
山东五师，虽然本身不行，但是考研率非常高。做山东人真郁闷哪！
我们的校友已经尽力出去了。
愿山东越来越好 552 安徽理工大学数理系，历史不久，算是学校的小辈。希望大家多多指点！ 552 奋进中的数学与信息科学学院
数学与信息科学学院原名数学系，始建于1975年，1979年开始招收数学教育专业本科生，1986年设置了计算机专科专业，1992年从数学系分出组成计算机科学系；1992年设置了经济信息管理专科专业，1993年从数学系分出组成经济系；1994年设置了电脑会计专科专业，1996年获批会计学本科专业，该专业2001年从数学系并入经管学院。考虑到数学学院长期发展的需要，经过认真调查研究和充分论证，于2002年申报并获批了“信息与计算科学”专业，并实现当年招生。目前，数学学院有“数学与应用数学”和“信息与计算科学”两个本科专业，有“基础数学”和“应用数学”两个硕士学位授权点，其中，“基础数学”硕士点是1998年经国务院学位委员会批准的我院第一个硕士学位授权点，“基础数学”学科为省级重点建设学科，“应用数学”和“系统理论”为院级重点建设学科。数学学院已培养23届共2000余名合格毕业生。目前，在校本科生1350人，在校硕士研究生48人。数学与信息科学学院历届领导班子十分重视师资队伍建设，已形成了一支高职称比例高、高学历比率高、高水平科研成果多的师资队伍，数学学院现有教职工40余人，其中教授8人，副教授12人，博士(含在读博士)9人，硕士13人，省级优秀中青年骨干教师3人，河南省跨世纪学术与技术带头人3人，全国优秀教师1人，河南省劳动模范1人，1995年获河南省师资培训先进单位表彰。

数学学院有“数学与应用数学”和“信息与计算科学”两个本科专业30年来，数学与信息科学学院领导班子坚持一张蓝图绘到底，始终把数学与应用数学专业作为龙头专业，长期予以重点建设。坚持认真练好内功，努力加强专业师资的培养和稳定，不断修订完善专业教学计划，优化课程结构，规范教学管理，积极开展教学改革与研究，经过多年建设，数学与应用数学专业办学水平和学生培养质量在省内高校崭露头角。现有“数学分析”、“高等代数”、“常微分方程”和“实变函数与泛函分析”4门省级优质课程，占全校12门省优质课程的三分之一；“数学分析”课程2005年被评为省级精品课程，毕业生就业率连年达100%，近年来毕业生供求比连年超过1：5；应届毕业生考研率连年保持在25%以上，第一志愿报考率逐年提高，2005年达到1：3以上。毕业生的综合素质高，多次在全省师范技能大赛和全国大学生数学建模大赛上获奖。
专业设置
信息与计算科学

培养目标：本专业培养具有扎实的数学基础，掌握信息科学与计算科学的基本理论和方法，熟练运用计算机等现代化设备从事科学计算 、应用软件开发与系统维护、信息分析与控制及高技术部门的运筹规划与科学管理的高级专门人才。
培养要求：本专业学生主要通过数学、计算数学、信息科学等的基本理论和基本方法的学习，得到数学研究和应用、科学计算的基本训练，了解信息科学方面的理论前沿及应用方向。



数学与应用数学

培养目标：本专业培养掌握数学学科的理论基础、基础知识与基本方法，能够运用数学知识和使用计算机解决若干实际数学问题，具备在高等和中等学校进行数学教学的教师、教学研究人员及其他教育工作者。

培养要求：本专业学生主要学习数学和应用数学的基本理论、基本知识和基本方法，受到严格的数学思想训练，掌握计算机的基本原理和运用手段，并通过教育理论课程和教育实践环节，形成良好的教师素质，培养从事数学教学的基本能力和数学教育研究、数学科学研究、数学实际运用等基本能力。

通讯地址：河南省信阳市长安路237号 信阳师范学院数学与信息科学学院


邮政编码：464000

办公电话：
院长办公室：0376-6391733
总支办公室：0376-6390036、0376-6391233
行政办公室：0376-6391735
教学办公室: 0376-6391735
数学研究室：0376-6392702


传真电话：0376-6391733




552 哈尔滨师范大学呼兰学院 数学系 数学与应用数学专业本科在读

552 数学系简介

　　数学系是我院实力雄厚的第一大理科系,现有教研室六个;数学教法教研室、数学分析教研室、高等代数教研室、几何教研室、函数论教研室、数学实验教研室,下设一个办公室.在校本、专科学生1077人,其中本科生682人,专科生395人,函授本科生150人.
　　数学系是学院创建最早的系之一,早在1977年就招收了首届高师本科生.这些毕业生大多数工作在高等院校.有的成为博士生导师,有的成为学院党政领导,有的成为政府部门的主要领导,还有的成为了大型中外合资企业的领导.数学系现有教师36人,其中教授2人,副教授6人,讲师11人,硕士研究生学历的8人,这是一支具有较高教学水平与较强科研能力的老、中、青相结合的师资队伍.数学系先后吸纳了大批专业知识丰厚、教学能力突出的专业教师,并逐渐形成了严谨求实、博学钻研的系风.教师们治学严谨,教学基本功过硬,先后有多人荣获省级教学成果奖、省级优秀教师,主持承担了多项省级科研项目和校级科研项目.出版专著、教材20余部,发表学术论文百余篇.数学系与省内外多所大学相关系(部)建立了友好关系,并经常互派学者进行教学研究交流,为我系的快速发展奠定了有力的基础.
　　数学系拥有一套严密的教学管理模式和培养学生的方案.我们制定了教、学、管的详细组织措施,为适应不同层次学生的需要,我们进行着分层次、分阶段的目标管理.真正让每名来数学系学习的学生在有效的时间内达到自己的目标.
　　按照培养目标以及教学大纲的要求.我系开设的主要课程有:数学分析、高等代数、解析几何、近世代数、常微分方程、复变函数、微分几何、中学数学教学法、初等数学研究、离散数学、实变函数论、计算方法、点集拓扑、概率论、高等几何、竞赛指导、 高等代数选论、数学分析选论等二十多门专业课和非专业选修课.其中有精品课和优秀课五门,这些课程的学习为学生进一步深造和应用打下了坚实的基础.
　　 　　现在数学系正以百倍的信心,努力拼搏,向着更高、更远的目标奋进. 552 我是兰大数学与同级学院的，基地班的，今年已经毕业，要去中科院计算数学所读研究生和博士生。 552 浙江大学应用数学系本科毕业，不吝赐教
552 我是首都师范大学数学科学学院 数学物理方向的 学的东西很杂
552 我是广东工业大学应用数学学院的（大家都没听过吧！） 552 淮北煤炭师范学院数学系 552 美加州 史丹佛大學數學系

這是一個大約 50 年的數學系, 非常年輕, 但是因為史丹佛是一個暴有錢的學校, 花了大批銀子的結果還是有很多大數學家在這裡貢獻

過去有 Paul Cohen 拿了 菲爾茲獎(證明了連續統是和集合論不能互相推論的假設), Kodaira, Atiyah, Shing Tung Yau 都在這邊工作過 現在有幾位大頭 如 Rich Shoen (中文翻孫李察) Leon Simon & Jun Li & Elent Ionel & Yasha Eliash Berg (後兩位是辛幾何學家 國內可能不熟)

這裡有一個很大的缺點, 學校的附近是美國最富有的區域之一, 諸位知道美式資本主義國國家 貧富差距巨大, 最富有的地區主要道路上都是BMW, 法拉利 , Porche 滿街跑, 來這裡唸書的博士班學生會有強烈的貧窮自卑感, 數學系甚至有都做到博士後研究的學生轉去商業重新念博士, 我也不知道怎麼撐過來的..

每一個教師的教學都非常認真, 數學系也有一些中國人, 一個星期正常都有八九個演講 . 每天一個或兩個 , 從星期一到星期五分別是 數論 辛幾何 微分幾何 拓墣 代數幾何

這裡的數論比較弱 有作表現理論和automorphic form的 Daniel Bump而已. 學生之間有非常多的討論班, 和博士後研究之間也有私下討論班, 這些討論般的主要原因是大家和教授們水平差太遠, 希望靠著博士後研究的學者幫忙一起學習, 我自己就常舉辦只給中國人的袋鼠幾何秘密討論班,希望可以比外國人更強一點, 現在袋鼠幾何的學生討論班至少有:
Etale cohomology 討論班, 眾人小讀文章報告班, 中國人秘密袋鼠幾何討論班, 三個.

學校非常漂亮 可以說是美國屬一屬二的. 到三藩市開車要一個小時, 加州是美國最漂亮的州之一,有七個國家公園, 但是最大的缺點是MM太少, 強烈建議光棍不要申請,否則就是葬送寶貴的青春........(說到這裡 筆者已經揮淚欲下.....................)

552 中国科学技术大学数学系欢迎你!
　中国科学技术大学数学系于1958年由著名数学家华罗庚教授亲自主持创办并任首任系主任，关肇直、吴文俊、冯康、龚昇、王元、万哲先、陆启铿、石钟慈、林群、张景中等一大批知名专家曾在此任教。经过四十多年的艰苦创业, 现已形成一支力量雄厚, 结构合理的师资队伍。本系现有教授25人, 副教授26名, 讲师11人，其中拥有2名长江学者、4位杰出青年基金获得者及8名中科院百人计划学者。年轻学者均具有国内外博士学位，形成了求实创新的治学风格, 培养了一大批出类拔萃的人才, 取得了很多高水平的研究成果。自九十年代以来，我系共获国家自然科学奖三等奖两项，中科院自然科学成果一等奖三项、二等奖两项，教育部科技进步一等奖一项，国家级教学成果二等奖两项。

　　本系为首批全国理科人才培养基地、中国科学院博士生重点培养基地、长江学者特聘岗位设置学科，并获得首批数学一级学科博士学位授予权（涵盖数学所有博士点）, 其中基础数学为国家重点学科,在国家"211工程"建设中，数学与非线性科学是重点建设项目之一。为吸引高水平的学者来我系讲学，学校为本系设立了“华罗庚大师讲席”及“吴文俊大师讲席”。

　　挂靠本系的数学研究所经中科院批准，成立于1983年，主要任务是从事数学理论与应用等方面的研究。

　　本系还是首批博士后流动站，至今已有40多名国内外博士学位获得者先后进站工作。

　　本系具有良好的软硬件条件，建有先进的数学图书分馆（拥有国内外重要学术期刊250余种、藏书十多万册）、 科学计算机与计算机图形实验室、数学建模实验室以及计算机网络系统。

　　本系本科生学制为四年，每年在全国范围内招收约100名优秀本科生。培养人才的指 553 不知道经济学中小波分析能够用到吗？ 553 小波分析在金融中的应用现在也挺广的，就是不知道具体是怎么样用？小波起源于信号分析，至少能在股票中应用，因为我们可以把股票数据看成是信号 。 553 小波分析可以在函数分析版讨论，它是泛函发展很快的一个分支，也与其它数学分支交叉、
融合！据统计，去年我国数学科技工作者，关于小波分析的论文是各数学分支中增长最快的！　


小波分析



小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法棗多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。

事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。

(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。

(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。

(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。






553 有的学校把他归到计算数学 553 这几年小波很是流行，不知小波属于那一类数学？
函数分析么？ 553 谢谢：）
受教！ 553 小波分析很有生命力，目前国内很多人研究它，
特别在应用方面，很多地方用到小波分析。
不过好像搞工程和物理的人发表小波分析的文章居多
搞数学的这方面的文章反倒不是很多，这也说明
小波在应用方面的活力。好多学校将它放在应用数学或计算数学专业里
553 据说小波分析直接来源于工程问题，最早研究小波问题是的工程师而不是数学家。

又据说小波分析产生与上世纪的70--80年代，还说小波分析是Fourier分析（调和分析）近20多年来的最新进展，似乎应该属于Fourier分析（调和分析）之列。还听说在工程上为了弥补Fourier分析局域分析上的缺陷，人们引进了窗口Fourier变换。小波分析弥补了F氏变换的不足。

似乎听说Haar系好象是最早的小波基。

由于小波分析的巨大应用价值，现在很多专业的人都在进行小波及其应用的研究。

以上说法不够确切，只是道听途说来的。

至于小波分析属于哪个版面，搞小波分析的人似乎认为它属于小波分析版面。 553 小波分析起源于Fourier分析，最大的特征是时频分析的窗口可调，相较于Fourier分析其多分辨率分析及变尺度对分析高频信号有其他方法无法比拟的优点，但其应用于科学研究和工程技术的本质是Mallat算法，离散的算法实施类似于FFT和DFT，所以归类计算数学更合适。
类似地当前科学研究和工程技术中常用的如：遗传算法（Genetic Algorithm，差不多可以说是Monte Carlo算法的推广）、模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm）、支持向量机(support vector machine)等等都属于计算数学范畴。 553 遗传算法和模拟退火基本上可以归结为MCMC(Monte Carlo Markov Chain)，类似的还有HMM和SHMM等等。 554
李尚志


一提起数学竞赛，人们脑海里就会浮想起这样的场面：考场里鸦雀无声，监考老师警惕的目光扫视全场。年轻的数学尖子们坐在各自的书桌前，时而冥思苦想，时而奋笔疾书，希望能找到那一道道数学难题的正确答案。而那正确答案早已经由出题的专家们做出来，正锁在某—个保险柜里。
数学建模竞赛，或称数学模型竞赛，是不是也是这样的场面呢？你最好还是先到它的考场去见识见识吧。且慢！它并没有一个固定的考场。那么，参赛的选手们在哪里做题呢？到哪里去找他们呢？你可以到图书馆去试试，他们也许正在那里查阅资料，在那堆积如山的书堆中翻来翻去，希望从浩瀚的书海中打捞到自己需要的宝贝，你也可以到计算机房去看看，或许他们正在熟练地操纵着键盘，聚精会神地注视着计算机屏幕，屏幕上闪烁着的那些枯燥无味的数字和符号，简直就像侦探片、武打片或世界怀足球赛那样能抓住他们的心，让他们或欣喜若狂，或目瞪口呆，或颓丧万分。旁边居然还有一个选手在打瞌睡，小心别吵醒他，他已经连熬了两个通宵了！那边是谁在吵架？不，那是另外一队的选手在讨论问题，七嘴八舌，各有各的主意，要把这些互相冲突的意见统—在同一份答卷里可真是不容易，交卷的时间快到了，不再有争吵的声音，打印机均匀的嚓嚓声在选手们的耳朵里好像是世界上最美妙的音乐，他们打着哈欠检查着打印机吐出的—页页印刷精美的作品。你要间他们现在最想干的事情是什么，地们一定异口同声地回答：“睡觉！”
这像是考试吗？像数学竞赛吗？又是翻书查资料，又是相互讨论，到处跑来跑去也没人管，哪里还有一点考试的体统呢？不像考试像什么？也许你会想到，这有点像是一个科研课题组在突击完成一项任务。这算说对了。参赛选手们自己也这样说：“这不像是在考试，而像是在干活。”但它确实也是考试，是另一种形式的考试，姑且说是干活的考试吧，就是考一考谁千活干得更好。
再来看一看竞赛的题目吧，看它出了些什么样的数学题。以1993年我国大学生数学建模竞赛为例，它出了两个题，让每个参赛队选作其中一个。一个题是要为我国12支甲级足球队排名次，做这个题的选手们面对这些足球劲旅的比赛成绩评头品足，俨然是国家体委的官员或体育界的专家。另一个题目是卫星通讯的频率设计，你会怀疑是不是把无线电知识竞赛题误寄到这里来当数学竞赛题了。再翻一翻以前各届国内外竞赛试题，就更是五花八门了。有动物保护、施肥方案、通讯网络，昆虫分类、药物扩散的规律、抓走私船的策略、飞机场的管理、蛋自质分子的结构、供电系统的修复、堆肥的制作、运煤车场的计划安排、应急设施的选址，等等。你说这是数学竞赛题呢，还是物理、化学、电子、生物、医学、农业、企业管理的竞赛题呢？
数学建模竞赛就是这样。它名曰数学，当然要用到数学知识，但却与以往所说的那种数学竞赛（那是纯数学竞赛）不同。它要用到计算机，甚至离不开计算机，但却不是纯粹的计算机竞赛，它涉及物理、化学、生物、医学、电子、农业、管理等各学科、各领域的知识，但也不是这些学科、领域里的纯知识竞赛，它涉及各学科、各领域，但又不受任何一个具体的学科、领域的局限。它要用到各方面的综合的知识，但还不限于此．选手们不只是要有各方面的知识，还要有驾驭这些知识，应用这些知识处理实际问题的能力。知识是无止境的，你还必须有善于获得新的知识的能力。总之，数学建模竟赛，既要比赛各方面的综合知识，也要比赛各方面的综合能力。它的特点就是综合，它的优点也就是综合。在这个意义上看，它与任何一个学科领域内的纯知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优点也就是不纯，综合就是不纯。
纯数学竞赛，如中学生的国际数学奥林匹克竞赛，或美国大学生的普特南数学竞赛，已经有很长的历史，也为大家所熟悉。特别是近若干年来我国选手在中学生国际数学奥林匹克竞赛中年年取得好成绩，更使这项竞春在我国有很高的知名度，在全国各地的质量较高的中学中广泛开展。纯数学竞赛主要考核选手对数学基础知识的掌握情况、逻辑推理及证明的能力和技巧、思维是否敏捷、计算能力的强弱等。试题都是纯数学问题，考试方式是闭卷考试。参赛学生在规定的时间（一般每试为三小时）内独立做题，不准交头接耳相互讨论，不准看任何书籍和参考资料，不准用计算机或计算器。考题都有标准答案。当然，选手的解答方法可以与标准答案不同，但其解答方法的正确与否也是绝对的，特别是计算题的得数一定要与标准答案相同。考试结果，对每个选手的答卷给出分数，按分数高低来判定优劣。尽管也要对参赛的团体（代表一个国家、地区或学校）计算团体总分，但这个团体总分也是将每个团体的选手得分加起来得到的，在比赛过程中同一团体的选手们绝对不能互相帮助。因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛而不是团体赛。团体要获胜，主要先靠每名选手各自的水平高低，而不存在互相配合的问题（当然在训练过程中可以互相帮助）。这样的竞赛，对于吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路，对干培养数学家和数学专门人才，起了很大的作用。
随着社会的发展，数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，不但运用于自然科学各学科、各领域，而且渗透到经济、军事、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。他们不是为了应用数学知识而寻找实际间题（就像在学校里做数学应用题），而是为了解决实际问题而需要用到数学。而且不止是要用到数学，很可能还要用到别的学科、领域的知识，要用到工作经验和常识。特别是在现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题，不是“干净的”数学，而是“脏”的数学。其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。也就是说，你要对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型，建立数学模型的这个过程就称为数学建模。模型这个词对我们来说并不陌生，它可以说是对某种事物的一种仿制品。比如飞机模型，就是模仿飞机造出来的。既然是仿造，就不是真的，只能是“假冒”。是“假冒”，但不能是“伪劣”，必须真实地反映所模仿的对象的某一方面的属性。如果只是模仿飞机的模样，这样的飞机模型只要看起来像飞机就行了，可以摆在展览馆供人参观、照相，但不能飞。如果要模仿飞机的飞行原理，就得造一个能飞起来的飞机模型，比如航空模型比赛的作品，它在空气中的飞行原理与飞机有相似之外，但当然不像飞机那样靠烧燃料来飞行，外观上也不必那么像飞机、至少不必有真的飞机那么大。可见，模型所模仿的都只是真实事物的某一方面的属性。而数学模型，就是用数学语言（可能包括数学公式）去描述和模仿实际问题中的数量关系、空间形式等。这种模仿当然是近似的，但又要尽可能逼真。实际问题中有许多因素，在建立数学模型时你不可能、也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑，只能考虑其中的最主要的因素，舍弃其中的次要因素。数学模型建立起来了，实际问题化成了数学问题，就可以用数学工具、数学方法去解答这个实际问题。如果有现成的数学工具当然好。如果没有现成的数学工具，就促使数学家们（也包括建立数学模型的人）寻找和发展出新的数学工具去解决它，这又推动了数学本身的发展。例如，开普勒由行星运行的观测数据总结出开普勒三定律（这就是行星运行的数学模型），牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它，但当时已有的数学工具是不够用的，这促使了微积公的发明。求解数学模型，除了用到数学推理以外，通常还要处理大量数据，进行大量计算，这在电子计算机发明之前是很难实现的。因此，很多数学模型，尽管从数学理论上解决了，但由于计算量太大而没法得到有用的结果，还是只有束之高阁。而电子计算机的出现和迅速发展，给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路。而在现在，要真正解决一个实际问题，离了计算机几乎是不行的。数学模型建立起来了，也用数学方法或数值方法求出了解答，是不是就万事大吉了呢？不是。既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律，到底反映得好不好，还需要接受检验，如果数学模型建立得不好，没有正确地描述所给的实际问题，数学解答再正确也是没有用的。因此，在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的检验，看它是否合理，是否可行，等等。如果不符合实际，还应设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行，才能算是得到了一个解答，可以先付诸实施。但是，十全十美的答案是没有的，已得到的解答—定还有改进的余地，还可以根据实际情况，或者继续研究和改进；或者暂时告一段落，待将来有新的情况和要求后再作改进。
上面所说的建立数学模型来解决实际问题的过程，是各行各业各领域大量需要的，也是我们的学生在走上工作岗位后常常要做的工作。做这样的事情，所需要的远不只是数学知识和解数学题的能力，而需要多方面的综合知识和能力。社会对具有这种能力的人的需求，比对数学专门人才的需求要多得多。因此，作为教育部门，在学校里就应当努力培养和提高学生在这方面的能力。当然有多种形式来达到这个目的。比如开设数学模型方面的课程；让学生多接触实际工作，得到锻炼，等等。但是，既然开展数学竞赛能促进数学研究专门人才的培养，那么为什么不可以开展一项竞赛来促进数学应用人才的培养呢？
数学建模竞赛就是这样的竞赛。
正是由于认识到培养应用型数学人才的重要性，而传统的数学竞赛不能担当这个任务，从1983年起，在美国就有一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性。经过论证、争论、争取资助的过程，终于在1985年开始有了美国的第一届大学生数学建模竞赛，简称MCM（1987年以前的全称是Mathematical Competition in Modeling，1987年改为Mathematical Contest in Modeling，其缩写均为MCM）。竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学会联合主办。从1985年起每年举行一届，在每年的二月下旬或三月初的某个星期五到星期日举行，到1996年已举行了12届。
这项竞赛的宗旨是鼓励大学生运用所学的知识（包括数学知识及其他各方面的知识）去参与解决实际问题的全过程。这些实际问题并不限于某个特定领域，可以涉及非常广泛的、并不固定的范围。这样来促进应用人才的培养。
比赛的形式：比赛是真正的团体赛，每个参赛队由三人组成，在规定的三天时间内共同完成一份答卷。每个参赛队有一个指导教师，在比赛前负责培训并接受考题，将考题在规定的时间发给学生，然后由学生自行做题，教师不得参赛。每次的考题只有两个题，都是来自实际的问题或有强烈实际背景的问题，没有固定的范围，可能涉及各个非常不同的学科、领域。每个参赛队从这两个考题中任意选做一个题。参赛队的三名队员可以相互讨论，可以查阅资料，可以使用计算机和计算机软件。一言以蔽之：可以使用任何非生命的资源，但不允许三人以外的其他人（包括指导教师）帮助做题。参赛队的答卷应是，一篇完整的论文，包括对所选问题的重新阐述、对问题的条件和假设的阐明和必要补充甚至修改、对为什么要用所述模型的分析、模型的设计、对模型的测试和检验的讨论、模型的优缺点等，还要有一个不超过一页的论文内容的摘要。
比赛的结果：专家们在评卷时并不对论文给出分数，也不采用“通过”、“失败”这种记分，而只是将论文分成一些等级：Outstanding（中国人称它为特等奖）、Meritorious（一等奖〕、Honorable Mention（二等奖）、Successful Participation（成功参赛奖）。评卷的标准并不是看答案对不对，而主要看论文的思想方法好不好，以及论述是否清晰。Outstanding的论文作为优秀论文在专业杂志上发表。而所有参赛的队员和教练都能得到一张奖状。
翻开已发表的MCM的优秀论文，你会发现：同一个考题的几篇优秀论文甚至连答数都不一样，却同样都优秀；优秀论文甚至被专家的评阅意见指出一大堆毛病，却仍不失为优秀。在这里，正确和错误是相对的，优秀和不优秀也是相对的。这在纯数学竞赛中是不可思议的。但既然数学建模赛是考察解决实际问题的能力，那就一切都以解决实际问题的过程为准。解决实际问题需要查资料，需要使用计算机，需要课题组的人相互交流和讨论，因此数学建模竞赛也就允许使用这些“非生命的资源”。同样，实际问题的解决，常常没有绝对的正确与错误，也没有绝对的优秀，数学建模竞赛也就这样，但这并不是说数学建模竞赛就没有是非和好坏的标准。论文中各种不同意见、不同答案可以并存，只要能够言之成理。但如果你像解答纯数学题那样去做，只有数学公式和计算，而不讲清实际问题怎么变成数学公式，也不让计算结果再接受实际检验，即使答案正确，论文也很难评上好的等级。这是因为，它不是数学竞赛，而是数学建模竞赛，它看重的是三个步骤：
1、建立模型：实际问题→数学问题；
2、数学解答：数学问题→数学解；
3、模型检验：数学解→实际问题的解决。
如果你只重视中间一个步骤（一般初参赛的时候容易犯这个错误），而对第一和第三这两个步骤不予重视，那就违背了数学建模竞赛的宗旨，当然就不能得到好的结果了。为什么要叫数学建模竞赛？就是因为它赛的是建立数学模型，而不只是比赛解答数学模型。—般也把它叫做数学模型赛，这也没有什么不对。但“模型”是“建模”的结果，而“建模”是建立模型的过程。竞赛的宗旨更强调的是建立数学模型这个过程，认为过程比结果更重要。所以，在竞赛中允许将未能最后完成的建模过程、未能最后实现的想法写成论文，参加评卷。虽然你的模型还没能最后建立起来，但只要想法有价值，己经开始了的建模过程有合理性，就仍然是有可取之处的论文。这充分体现了竞赛对建模过程的重视。从这点上说，把它称为“数学建模竞赛”比“数学模型竞赛”更贴切些。何况，它的英文名称MCM中的最后一个M是Modeling而不是Model。如果用Model，是名词，是指建立起来的模型。而Modeling是由动词Model变成的动名词，是指建立模型的过程，因此翻译成建模也更恰当些。（注：关于“模型”与“建模”的区别，这里采用的是北京理工大学叶其孝教授的观点。）
美国的MCM虽然只是美国的国内赛，但它欢迎其他国家的大学组队参加，而且有越来越多的国家的大学参加这一竞赛。因此，在某种意义上它已经是国际性的竞赛，我国最早是在1989年有北京的三所大学组队参加美国的MCM竞赛。到后来，我国参加MCM的学校越来越多。经过酝酿、筹备和在一些城市试办，从1992年开始由中国工业与应用数学学会举办我国自己的全国大学生数学模型竞赛（CMCM），国家教委对这项活动十分重视，决定从1994年起由国家教委高教司和中国工业与应用数学学会共同举办，每年一次，我国自己的MCM虽然举办的时间还不长，但发展非常迅速。在1995年的竞赛中，全国就共有259所高校、1234个队、3702名学生参加。可以预料，MCM在我国将得到更加蓬动、健康的发展。 554 顶！！
再给个专业的数学建模网站
www.shumo.org 554 应该大力倡导！ 554 我暑假要到交大去接受培训，是关于数学建模方面的，希望能有所收获。 554 数学建模是怎么回事

李尚志（中国科技大学）

一提起数学竞赛，人们脑海里就会浮想起这样的场面：考场里鸦雀无声，监考老师警惕的目光扫视全场。年轻的数学尖子们坐在各自的书桌前，时而冥思苦想，时而奋笔疾书，希望能找到那一道道数学难题的正确答案。而那正确答案早已经由出题的专家们做出来，正锁在某—个保险柜里。

数学建模竞赛，或称数学模型竞赛，是不是也是这样的场面呢？你最好还是先到它的考场去见识见识吧。且慢！它并没有一个固定的考场。那么，参赛的选手们在哪里做题呢？到哪里去找他们呢？你可以到图书馆去试试，他们也许正在那里查阅资料，在那堆积如山的书堆中翻来翻去，希望从浩瀚的书海中打捞到自己需要的宝贝，你也可以到计算机房去看看，或许他们正在熟练地操纵着键盘，聚精会神地注视着计算机屏幕，屏幕上闪烁着的那些枯燥无味的数字和符号，简直就像侦探片、武打片或世界怀足球赛那样能抓住他们的心，让他们或欣喜若狂，或目瞪口呆，或颓丧万分。旁边居然还有一个选手在打瞌睡，小心别吵醒他，他已经连熬了两个通宵了！那边是谁在吵架？不，那是另外一队的选手在讨论问题，七嘴八舌，各有各的主意，要把这些互相冲突的意见统—在同一份答卷里可真是不容易，交卷的时间快到了，不再有争吵的声音，打印机均匀的嚓嚓声在选手们的耳朵里好像是世界上最美妙的音乐，他们打着哈欠检查着打印机吐出的—页页印刷精美的作品。你要问他们现在最想干的事情是什么，他们一定异口同声地回答：“睡觉！”

这像是考试吗？像数学竞赛吗？又是翻书查资料，又是相互讨论，到处跑来跑去也没人管，哪里还有一点考试的体统呢？不像考试像什么？也许你会想到，这有点像是一个科研课题组在突击完成一项任务。这算说对了。参赛选手们自己也这样说：“这不像是在考试，而像是在干活。”但它确实也是考试，是另一种形式的考试，姑且说是干活的考试吧，就是考一 554 懂了

对这个产生兴趣了

呼呼，南开试点班的简介上只写了90年代获得的几次建模一等奖，那最近几年的成绩呢？ 554 数学建模方法
一、机理分析法 从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。
1. 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。
2. 代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。
3. 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。
4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。
5. 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。
二、数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。
1. 回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
2. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
3. 回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
4. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
三、仿真和其他方法
1. 计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。① 离散系统仿真--有一组状态变量。 ② 连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。
2. 因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。
3. 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。
（参见：齐欢《数学模型方法》，华中理工大学出版社，1996）
题型：
赛题题型结构形式有三个基本组成部分：
一、实际问题背景 1. 涉及面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。 2. 一般都有一个比较确切的现实问题。
二、若干假设条件 有如下几种情况： 1. 只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形； 4. 蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。
三、要求回答的问题 往往有几个问题（一般不是唯一答案）: 1. 比较确定性的答案（基本答案）； 2. 更细致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提法和结果）。
竞赛答卷:
提交一篇论文，基本内容和格式大致分三大部分：
一、标题、摘要部分：
1．题目--写出较确切的题目（不能只写A题、B题）。
2．摘要--200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果。
3．内容较多时最好有个目录。
二、中心部分：
1．问题提出，问题分析。
2．模型建立：
①补充假设条件，明确概念，引进参数；
②模型形式（可有多个形式的模型）；
③模型求解；
④模型性质；
3．计算方法设计和计算机实现。
4．结果分析与检验。
5．讨论--模型的优缺点，改进方向，推广新思想。
6．参考文献--注意格式。
三、附录部分：
1．计算程序，框图。
2．各种求解演算过程，计算中间结果。
3．各种图形、表格。


中国大学生建模竞赛题目汇集
年份 题号 题名 参考文献
1992 A 施肥效果分析 [1],1993年第3期
B 实验数据分析
1993 A 非线性交调的频率设计 [1],1994年第2期
B 足球队排名次
1994 A 逢山开路 [2],28-55.
B 锁具装箱
1995 A 一个飞行管理问题 [1],1996年第1期
B 天车与冶炼炉的作业调度 [2],55-93.
1996 A 最优捕鱼策略 [1],1997年第1期
B 节水洗衣机 [2],93-124.
1997 A 零件的参数设计 [1],1998年第1期
B 截断切割 [2],124-162.
1998 A 投资的收益与风险 [1],1999年第1期
B 灾情巡视路线 工科数学,2001年,17(1),71-77
1999 A 自动化车床管理 [1],2000年第1期
B 钻井布局
C 煤矸石堆积
D 钻井布局 (注:比B稍易)
2000 A DNA序列分类 [1],2001年第1期
B 钢管订购和运输
C 飞越北极
D 空洞探测


推荐资料：
----国际数学和计算机建模协会，International Association for Mathematical and Computer Modelling Home Page。
----应用数学建模，Applied Mathematical Modelling (Elsevier)。
----应用数学和计算，Applied Mathematics and Computation。
----欧洲应用数学杂志，European Journal of Applied Mathematics (Cambridge)。
----IMA 应用数学杂志，The IMA Journal of Applied Mathematics (Oxford)。
----SIMA的应用数学杂志，SIAM Journal on Applied Mathematics。
----数学建模和数值分析杂志，Journal Mathematical Modelling and Numerical Analysis-Rairo。
----数学建模和分析杂志，Journal of mathematical modelling and analysis。
----美国工业和应用数学会评论，SIAM Review 。 554 呼呼，一个建议，我觉得应该标明你那个长篇大论的作者：李尚志

我想，类似这样的一些细节我们还是应该注意一下吧，以免引起不必要的误会
554 http://www.shumo.org/index.asp
这是中国数学建模网站 556 感谢，这样的好东西应该卖钱啊 556

我会用C，C++,JAVA，MATLAB,MATHEMATICA但是老师得让用C你敢不用，所以我就老老实实的用C 556

没错，没错
会几种语言没有什么的

彗星可不是什么大牛，彗星很笨的，要多多向大家好好学习学习 556 附件里是本人相当年做的数值实习,都是用Turbor C做的,希望对现在正在学习数值代数的朋友有所帮助. 556

你注意一下,各个学校的本科教学,大概你就知道什么叫基本技能练习. 556

至于"数学建模"，由于时间关系,一般不用C++.....,想当年俺也就是用matlab为主参加数模竞赛的.
俺也会几种其他的语言，如VC,VB,PB,......，主要是俺每个学期出去赚点零花钱，一般一个学期也就一两个月的时间，所以最后各种都会一点点了。
556

彗星可是个大牛牛的哦
数学建模站的贵宾斑竹的
sonjaw，你可真会乱说人家呀 556 太老土了
现在谁还用C啊
对于中小规模运算用——————
对于大规模计算用-------------
您是学计算的吗？
交流交流！！！
beifang_xl@eyou.com 556 我学的是c++ 556 我学的时候也是用c语言 557 终于有自己的家了 558 请问更新方程如何求数值解呀，就是求第二型伏尔特拉积分方程（linear Volterra inte
gral equation of the second kind)的数值解？有没有软件可以实现求解功能？谢谢了。积分方程的形式见附件。 558 能说的具体一些吗？现在比较急着解决这个问题，谢谢了。
我的email是toddlj@21cn.com，想知道你的联系方式 558 再顶，希望能给出建议。 558 首先你要给出变量x，y的范围。
若用复化的梯形公式等，要扩展矩阵，则可得一个线性方程组，用Matlab很好解决。 558 Matlab可以解决 559

你现在帖子数目49，就差一步了。就差一贴了，满50就可以卖贴子了。呵呵
祝贺啊。
快点来发好东东吧。很多人期待ing. 559 征集数学分析的题目？
是不是想重新编数学分析习题集？ 559 一个比较难的极值问题http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=545,这个就是一个很好的数学分析题目，如果作为考研的题，我保证90%考生做不出来。 559 哈哈,这个题目我有不少,我要留到卖几文.哈哈,贪财,贪财.等我学会了如何发那种增积分的帖子,马上提供一些 559 哦,3X,要满50贴才能,呵呵 559 征集数学分析题目！



欢迎大家提供数学分析题目，最好是考试的题目！
也可以提供连接网址！ 559 不能少一点呀
算了，增加一个股票市场
大家都到那去赚钱。
一些资料就免费提供给大家吧 559 木有，hoho 559 高中生就遇到过这样的题目。现在放在考研题上。也有许多人做不出来。 559 http://www.math.org.cn/forums/index.php?showforum=62 559 http://clubfile.chinaren.com/uploadfile/20...3/CDscoekvF.doc
561 我前段日子做了一个课程作业，需要实现一个图论算法。
我觉得自己做的还不错，想把它扩展为一个完整的软件，但是一个人的力量有限。
不知道有没有人有兴趣来协作开发？ 561 晕，这只是个纯兴趣的问题，还要做市场调查吗？ 561 你的当作个和GPL/LGPL兼容的软件发布,用得上的人和感兴趣的人自然会乐意和你一块开发. 561 我有兴趣去看一下吧,保管有用 561 楼主可以看一下boost的graph library 561 先做一下市场调查了，明确一下开发的目标 561 “合作”就不是一个人的事情，至少应该明确这东西做出来做什么用吧 561 我以前手上有个图论的软件.是西安交大的学生做的吧,但是没有HELP,也不知道怎么用,楼主可以去搜索一下.或许能有点帮助. 561 你在哪里？怎么合作？ 561 编过就发布啊，让别人也用用 561 我自己写了一个可视化图论软件，主要实现的算法有：最短路径，最小生成树，拓扑排序，关键路径，最大流，最小费用最大流。 561 准备有什么样的功能 561

不要re-invent wheels了，boost的BGL(开源的)和LEDA(现在是商业的)都已相当完备和成熟。
用就是了。不过即便是用，也不是很简单的。 561 老兄有没有实现GraphColoring算法？

我最近在研究BGL(boost graph library)，有点初步成果。希望多与研究图论的高手交流。 561 GraphColoring算法初步找到解决方案了，实现之后争取贴图上来。 561 同意既然要开发，就得按照软件开发的标准流程来


本人学软件的 561 不知道楼主所说的图论软件是关于什么的，我是专门研究图论的，而且对计算机很感兴趣 561 有人在弄一个图论软件GraphOGraph，你可以和他联系一下，具体情况可以从下面链接进去：

http://www.reading.ac.uk/combinatorics/colloq.html 561 恩，想法不错。可以合作呀！ 564 家园斑竹：


id：beifang_xl
申请版面名称： 计算数学
学历或职称： 博士
所在单位 （院校）： 北京大学
电子邮件： beifang_xl@eyou.com



家园顾问：
id：豆豆
申请版面名称： 计算数学
学历或职称： 博士
所在单位 （院校）： 大连理工大学
研究方向：曲面重建，展开，或者NURBS等方向 564 欢迎计算数学版
豆豆顾问！ 564 豆豆是姐姐 564 请两位老大多多指教了^_^ 564 希望beifang_xl 以后多多指教啊！
564 添丁了？！ 564 大家好，我的硕士专业是计算数学。很喜欢这里，希望和大家一起交流！共同进步！ 564
俺以前是搞计算数学的,现在做数学物理方面的工作了. 564 beifang_xl大哥，


恭喜你了！
我非常的喜欢计算数学，

以后要向你多多请教啊！

564 我现在也作数学物理反问题,主要是逆散射和阻抗成像,你作哪方面,以后多请教.我呼吁了几次开一个反问题版面,没有人响应.唉! 564 多多交流 564 我也是，数学物理反问题 564 各位同行
尤其各位做反问题的朋友
感谢大家对此板块的青睐
愿这里能成为大家交流的园地
来这里的
都是朋友
真诚的希望更多的朋友加入进来
因为我现在在作论文
来的时候较少
还望见谅！ 564 各位同行
尤其各位做反问题的朋友
感谢大家对此板块的青睐
愿这里能成为大家交流的园地
来这里的
都是朋友
真诚的希望更多的朋友加入进来
因为我现在在作论文
来的时候较少
还望见谅！ 564 欢迎豆豆的到来！ 564 是的 ，多多指教！ 564 我是计算科学的本科生,希望各位前辈多多指教. 564 希望和大家一起交流！共同进步！ 564 偶不是学数学的，但是做的都与应用数学有关，以后多多请教。 564 呵呵
欢迎啊
大家多多交流 564 家园顾问：
id：豆豆
申请版面名称： 计算数学
学历或职称： 博士
所在单位 （院校）： 大连理工大学
研究方向：曲面重建，展开，或者NURBS等方向



你好啊！
我是DLUT 数学系01级的学生

也是学计算的…………

师兄你好啊！！ 564 我的失误…………

师姐请原谅~~~~~~~~~ 564 大家好，我是计算数学的研究生，方向是——微分方程数值解。以后请多多指教。 564 我不是学计算数学的
但是有可能向这个方向发展
还请大家多多指教！ 564 大家好：我现在读计算数学的硕士——研一，学微分方程数值解，以后会有问题讨教的，先来报个到！！ 564 我也是大工毕业的，专业是计算数学，欢迎大家交流！ 564 我本来就不识数，现在还要学计算，不知道该咋办。我也学过点关于微分方程数值解的东西，可是不懂得太多了。又没那位可以指点一二，不胜感谢！！！！ 564 我的专业是微分方程数值解，现在研二，研究方向是长时间行为，希望能和各位相互交流。 564 我爱数学
最爱计算！ 564 大家好我是计算数学的研究生，方向：数值线性代数和常微分方程数值解 564 我是计算数学的本科生
请多多指教 564 我打算考计算数学的研究生
不过我对计算数学不算太了解
请大家多关照！！！ 564 小生今年研一
学的是有限元
来报到了 564 大家好，我是做流体计算的，以后多多交流 564 我是搞工程的，专业归于应用数学。设计需要复杂的计算。望各位支持。 564 我是西安交大计算数学系（准研一生）的。大家今后多多指点哈！ 564 各位都是前辈了,我也很喜欢数学计算,想朝这个方向发展,前辈们要多多照顾哦!! 564 大家好：我现在在湖南师大读计算数学的硕士——研一，学有限元，以后会有问题讨教的，先来报个到！！

564 佩服!请多多指教! 564 各位计算数学的大哥哥大姐姐们,我想考大工的计算数学(2007)!想加入你们的行列!但对计算数学的方向有点迷茫,你们能给我一些建议吗?计算数学的各个方向具体都是研究什么的?以后都会从事什么工作呀??
万分感谢!

564 寻找学计算数学的好友
我的QQ757330071 564 我学计算数学 研究方向：计算几何
邮箱：034a111137

QQ:729527234 564 多多指教！ 564 导师这一期也要我搞反问题,现在感到很盲目,好象无从下手,哪位好心人介绍的资料了
我强烈建议搞给反问题版块,大伙也有个讨论的地方 564 后生报道！请多指教！
西工大
方向：信息处理的快速于并行算法
学历：刚研一
564 我也是学计算的，不过最近怎么都见不到斑竹说话了？ 564 我今年想考计算数学的研究生,请问一下计算数学现在那个方向最热?
谢谢了! 564 计算数学的后生，望前辈多多不吝赐教！ 564 研究方向：时滞微分系统分歧问题与其数值方法
单位：东北师范大学
欢迎交流 564 我是数学转到计算机的，计算数学对我们很重要 ，希望版主不吝赐教。 564 计算数学--有限元方向
北大直博生
email:wangming@email.jlu.edu.cn 564 大家好，小弟是搞计算数学的一个小硕，希望以后多多指教。 564 刚注册...就进来看看啦 以后楼主多关照啊 564 方向：微分方程数值解
学历：硕士
邮箱：zff658789@126.com 564 计算数学有限元的，支持下。。。 565 能不能给个QQ 的联系方式？ 565 运筹与数学模型斑竹：

用户ID: Newton
所在单位：西南交通大学
所学方向：管理系统工程与决策
学历: 博士

运筹顾问：

用户ID: lotusjing
所在单位：中科院
所学方向：Operations Research (OR)
学历： 博士

用户ID: xcguan
所在单位：香港城市大学
所学方向：组合最优化
学历： 博士 565 欢迎lotusjing姐姐 565

热烈欢迎一下！
都不知道怎么称呼了，学姐 or 老师？ 565 谢谢各位支持！
彗星当全力办好这个版块，目标为全国同类论坛中的招牌版块 565 我有吉林大学的视频，但是没全，缺1－12的
我是在满分网BT下的
建议尝试

终于全了，到这里下种子吧
http://www.math.org.cn/forums/index.php?act=...=ST&f=41&t=4937 565 偶也支持彗星！ 565 来了位Lotusjing师姐！热烈欢迎！
彗星什么时候向大家好好介绍一下！ 565 欢迎阿！ 565 彗星又什么事尽管说,我会全力支持你的. 565 用户ID: xcguan
所在单位：香港城市大学
所学方向：组合最优化
学历： 博士

热烈欢迎,希望与学长(老师)共同办好此板块!!! 565 向各位同志战友问好，我是学计算机的，现在也在攻克运筹学，觉得非常有用，不知咱们这有没有运筹学的视频资料 565 呵呵。。噶多高手 。。开心哦~~~ 565 那么多高手阿！！万分敬仰！！ 565 小弟初来乍到
以后大侠们多多照顾小弟
谢谢拉 565 小弟这厢有礼了。以后有麻烦大家的请多多关照！11 565 这么多高手，真是个好地方！
小妹明年考研，专业课就是运筹学。以后有不懂的来麻烦大家帮忙，在这里说声谢谢先！ 565 小弟最近在做自己的毕设
关于运筹学的
线性规划都是我负责的
但是做到运输问题的解的改进时……碰到一些问题
有没有高手可以给点指点啊
位势法怎样用程序来实现啊？ 565 来了位Lotusjing师姐！热烈欢迎！
彗星什么时候向大家好好介绍一下！ 565 小弟初来乍到
以后大侠们多多照顾小弟
谢谢拉 565 ZHICHID
565 我的QQ:170260156 565 中科院，猛。高手真多，介紹的學歷是現實的學歷吧？ 565 能不能留个邮箱或者QQ，方便联系阿！ 565 好地方，我会经常来光顾的！ 565 我是新来的

学的是优化。。。 565 初来乍到，多多指教
我在大学教运筹学，但是也是边教边学，很多问题，还请各位高手多多指教！虽然我这边上课内容不是很深，但是还是怕误人子弟，现在正在努力深入研究呢
565 好地方，我读计算机的已经工作４年了，现在对运筹学特别有兴趣，现正在自学，以后还有劳大家，有什么好的也不会望了大家！ 565 以前学的是计算数学，现在想改运筹学中的库存理论，各位高手赐教啊 565 哇。好强的阵容啊。。。艳羡啊。我的硕士方向是图论，目前正在高校工作，想考运筹学方面的博士。现在一边工作，一边学习运筹学和数学模型的东西，来到这里有种相见恨晚的感觉，要是我早一点找到这个组织，我就少费很多力气了。好喜欢这里，希望大家以后多多联系交流，共同进步。。。。。 565 弱弱地问句，怎么把人家加为好友，或者是关注之类的啊。。。有时候想注意某个人的贴子或关注回复之类的，怎么定义？ 565 偶也支持彗星！ 565 阵容强悍的论坛我喜欢，我也是运筹学的新生，恳请大家多指教！ 566 反证法 566 其实就是你说的加逼性了

步骤
首先n^(1/n)>1
其次对于任意的正数epsl,我们可以找到N,使得当n>N时，有n^(1/n)<1+epsl
这一点可以从(1+epsl)^n>1+n(n-1)*epsl/2看出来

剩下的就是简单的例行公事了 566

我已经没兴趣陪你玩了

566

真气人啊

让明白人看看，我是不是已经给出证明的所有要点
566 这几天做分析前面部分的基础题，碰倒这个题目
求证lim x^(1/x) =1 ，x→∞
这个题目安排在极限章节的函数极限后面，我想，用洛必答法则固然很简单，但按照公理系建立的基本原则，还是不要用的好吧，谁能告诉我还有什么方法？

566 恩，懂了

我曾试过证明n^(1/n)→1 (n→+∞)，没有成功

谢谢 566 看看对不对。 566 对x^x取对数
566 先求对数
在用萝卜法则就可以了
566 先把原式写成e的指数形式在用洛必达法则即e^(1/x)*ln(x)
其中(1/x)*ln(x) 由洛必达法则易得趋于０所以原式极限为１
566 考虑到函数的单调性可可使得夹逼定理使用更自如。 566 guass,你的“反证法”怎么操作呢？能附个图说明过程吗？ 566

拜托，我想看看你的步骤，能附个图最好。谢谢！ 566 吃不到葡萄说葡萄酸，
作不完题目说题目 ——冒牌货 566

建议你查看有关函数作图的文章。 566 用罗比达法则很容易求的！！ 566 是否应该注意到这些问题
二楼的，x→∞不等于x→＋∞吧
还有就是取对数的时候,函数y=x^(1/x)是否恒大于0，若恒大于0，又是否可以归结为写成
(lnx)/x(x>0)的形式，这就涉及到函数的定义域与值域的问题

有些迷惑，望赐教 566 取对数后用罗毕达法则
x＾（１／x）＝e＾（１／x．lnx）＝e＾（lnx／x）＝e＾（１／x）－＞e＾０＝１
（x－＞无穷） 574 哀！ 574 哀悼！ 574 深切哀悼江泽培先生！ 574 先生一路走好！ 574 沉痛哀悼！

江泽培先生1923年10月4日于上海市出生，3岁随家移居南京，在那里度过了小学和二年初中生活
由于日军入侵，江先生于1938年到重庆考人南开中学.在南开中学，江先生的认真、严谨的治学风格给师
生们留下了深刻的印象已故的王寿仁先生就多次谈起当年作为他在南开中学的学生的江先生如何认真，如
何优秀，习题写得如何涓秀、准确.1941年江先生考人昆明西南联大.在二战峰火中的昆明，萃萃学子们在
极端困难的条件下，孜孜求学.假期，江先生和几位学兄住到昆明西山庙里，自己起火做饭，一起阅读姜立
夫先生历经艰险，冒着战火从天津南开大学转辗运到昆明的一些数学书籍.
二战后，江先生受聘于红楼北大.从担任许宝绿先生“矩阵论”课的助教，到教授实变函数论、高等
微积分，江先生作为一个大学毕业的青年教师无不认真负责，以致50多年后，他为了让学生理解Cauchv准
则，而精心选择了Kaphler方程叠代解的收敛性的事情还被提起，以启发教师应如何在教授中钻研、创新.
1955年江先生被派往苏联莫斯科大学进修概率论.当时，著名数学家Kolmogorov是莫斯科大学力学数
学系的系主任兼概率论教研室主任.他请Yaglom做江先生的顾问.Yaglom建议江先生研究齐次场的预测
问题.在留学苏联期问，江泽培完成了四篇论文，两篇是关于随机场的预测理论，分别发表在“苏联科学院
报告”与《概率论及其应用》上，其他两篇是关于信息论和随机过程的统计推断方面的，也都发表在《概率
论及其应用》上.
1958年江先生从苏联回国，就承担起北京大学和中科院数学所随机过程与信息论方面的研究领导工作和
人才培养上作.在人才培养方面，他不仅在北京大学培养了一批学生，而且对全国概率统计人才的培养也做
出了很大贡献.
卜年浩劫后，江泽培先生回到了他钟爱的基本理论研究和教学工作.他领导了北大概率统计教研室的教
学、科研的恢复与重建.此后，他从事了时空序列和随机场及随机过程的统计推断等方面的研究，取得了丰
硕的成果、获得国家教委科技进步一等奖、国家自然科学三等奖.同时也培养了许多研究生，他们中很多人
现在世界各地从事科研和教学
作为导师，江先生要求严格，指导精心.他经常教导学生“首先要勤奋，业精于勤，无王者之路”， “京
剧演员是台上3分钟、台下十年功” ‘。做学问的人要耐得住寂寞，不急于求成，这是学者风范”， “严谨的
学风，全靠平时磨练与培养，作教师的是有责任的”.对这些他身体力行，对学术一丝不苟，精益求精，他
的严谨学风素为人们称道.他审阅学生的论文三遍五遍是常事.学生们说“只要你有错就很难逃过江先生的
眼睛”，他还说“不要迷信书本、迷信名家，名家也有错的时候”，他一生都用他的言传身教体现了勤奋、严
谨、求实、创新的学术风范
1980年江泽培先生参与创建了中国概率统计学会，任第一届理事长此后对我国概率统计界的学术交流、国际合作进行了大量工作，任(应用概率统计》第一任主编(1985-1990)，第一、一二届中日统
计讨论会中方组委会主席，南开大学概率统计学术年组委会主席.特别应该提起的是，江先生和其他前辈以
身作则的模范作用及他主持制定的中国概率统计学会的规章制度为建立我国概率统计界和学会的优良学风与
民主传统打下了基础。
江泽培教授的学术成就概述
江泽培教授是我国随机过程和过程统计研究领域的先驱者之一，在随机场的预测理论、信息论、多元平
稳过程与时间序列时空序列分析等方面都有建树
1.江教授文章(川，[2] )研究了离散参数与连续参数的齐次随机场从半空问到全空间的外推问题，建正了
两块R'old分解与相应的谱理论，还给出半空间马氏型随机场的谱特征与预测值的谱表示·这是甲项开创性
上作，有广泛的影响.柯尔莫果洛夫在《40年(1917-1957)来的苏联数学概率论、数理统计》(中译本，
第5页，科学出版社(1965))中指出“齐次及具有齐次增量的随机场的外推问题的研究山江泽培开始.”
离散参数的随机场从1/4平面到全平面的预测问题是由著名概率论学者G. Kallianpur等人在20世纪80年
代开始的，后来有许多结果都是在F;条件下获得的.江教授的论文论证了弱F;条件对于随机场具有四块
Wold分解不仅是充分的而且是必要的、江教授对一般非奇异随机场解决了重数M;和场的问题，并不需
要假设F;条件，只是在解决奇异随机场的重数问题时才需要假设F‘条件.H. Korezlioglu等人在弱F4条
件之下，对重数Mo=1给出了谱鉴别条件，江泽培则在!16]中证明:弱F4条件与Mo=1以及上述谱鉴别
条件，这三者其实是互为等价的江对一般的平稳随机场证明了MO <1(见{131)总之，重数!V1的问题也
得到圆满解决.
2.江泽培关于信息论的概率基础方面的研究[3]、[7]、侧讨论了信息量与微分嫡率的性质以及它们
的分析表达式J.L. Doob教授在数学评论(MR.20#289)中指出:江的关于信息量的文章[31完善了盖尔芳
特与雅格龙发表在苏联的“数学进展”(YMH, 12(1957), 3-52)上的一些结果.柯尔莫果洛夫、盖尔芳特与
雅格龙关于信息论的概率基础的几篇文章和江的这篇文章被译成德文，收入柏林科学出版社出版的《信息论
文集》.
在【7]、191中，对干谱测度不做任何限制，江教授严格地推导了r元K维平稳高斯场的摘的分析表达
式，给出了/元K维平稳随机场的一步预测误差的协方差矩阵的行列式的明显表示.
3.在时间序列分析方面、极大嫡谱估计是一个比较引人注意的估计方法.江泽培在[15〕中指出许多文
章与著作对极大摘谱估计的介绍有不妥处，它们对极大嫡谱估计恰好是AR拟合缺乏严格论证;另一方面，
对干实际中常见的退化的多元平稳时间序列，极大摘这个信息准则并不足以确定谱的统计估计.针对这一情
况、他在{151中提出按最大一步预测误差的准则确定谱的统计估计，利用简单的投影引理，即可证明这种谱
估计恰好是AR拟合，而对于一元平稳时间序列和具有非退化协方差矩阵的多元平稳时间序列，最大一步预
侧误差谱估计与极大嫡谱估计则是同一的.最大一步预测误差谱估计揭示了AR拟合的信息论内涵.此外，
江教授指导研究生在ARMA模型、潜周期模型等方面取得了一系列深人的研究成果.
4. [5]、圈研究了多元平稳序列的外推间题的Wold分解.首先研究了一个多元平稳序列{2t}分解为
从属于它的、相互正交的多元平稳序列{ut)与诬zt}之和的间题，阁给出了相应于道，丹与{zt}的谱密度矩
阵的各种标准阵型，证明了它们的秩之和恒等于{x,}的谱密度矩阵之秩.讨论了多元平稳序列的秩与其谱
密度矩阵的秩的各种关系.若在{二，王的正交和分解中，要求{，‘}为正则序列，设其秩为L，文章证明:这些
正整数L的最大者L。即是多元平稳序列{x,}的秩，而当加项{，丹是秩为L。的正则序列时，{二，〕的这个
正交和分解即成为{xt}的Wold分解，切，}与{zt}分别是正则分量序列与奇异分量序列.问给出多元平稳
序列的非奇异性(奇异性)的各种谱鉴别办法以及它的正则分量序列与奇异分量序列的谱特征表达式.对于
万方数据
449
二元平稳序列，[6]给出了非奇异性〔奇异性)的谱鉴别条件以及正则分量与奇异分量的谱特征的比较有效的
解决办法.江泽培说;给定。<p<n,?，元平稳序列具有秩为p的谱鉴别问题尚未能完全有效地解决，只在
n=2的场合有比较有效的解决办法.
江泽培教授代表性论文目录
[1] o二。HeI3aOM eECTpano;工。poBaHHH AHCxpeTaoro oAHopo,naoro cAysairaoro no二二，IIAH CCCP,
112(1957), No.2, 207-210
[2] O RXHeftHok aKCTpanonHUHH Benpepbcnnoro oAHopoAaoro cnyea#Horo nonn, Teopxa BcpORT
。ee npmmea., II (1957), Bb[n. 1, 60-91.
[3] 3axcYa工工me o6 onpeAenenxH I[onHgeCTBa Ha(DopmauHH, Teop，二BePOAT.。ee npHMen., RI (1958),
Bbln. 1. 99-103.
[4] On the estimation o# regression coefficients of a continuous parameter time series with a stationary residual,
Teopma Bepo二二.14 ee HPHMeH., IV (1959), Barn. 4, 405-423.
[5』多维平稳过程的预测理论(I)，数学学报，13(1963), 269-298.
[6]多维平稳过程的预测理论(II),数学学报，14(1964), 438-450.
[7] Entropy of Gaussian random field and spectral analysis of random field data, China-Japan Sympos:二，n。，，
Statistics (1984), 47--52, Peking University Press, Beijing.
[8] On Markov models of randorn fields, Acta Math. Appl. Sinica (English series), 3(1987), 328-341.
[9] Entropy of the stationary Gaussian random field, Acta Scientiarum Naturalium, Peking University, 23(1987)
2535
[10]平稳随机场的预测理论(I);半平面预测，北京大学学报(自然科学版), 25(1989), 25-50.
[1l] The prediction theory of stationary random fields ( II ): nonsymmetric half plane prediction, Acta Math
Appl. Sinica (English series), 5(1989), 176-192.
[12] Statistical time series and spatial series modelling, Chinese J. Appl. Probab. and Statistics, 6(1990),395-410
[13] The prediction theory of stationary random fields (III): Four fold `Mold decompositions, J. Multivariate
Anal，37(1991), 46-65.
[14] Stationary random field: Prediction theory, Markov models, Limit theorems, Contemporary Mathematics,
1991 AMS 118, 79-101.
[15J最大预测误差谱估计，数学年刊，13A: 2(1992), 248-261.
[16] Multiplicity properties of stationary second order random fields, Stochastic Processes (1993), 31-40, Springer-
Verlag, New York, Inc.
万方数据 574 哀！
敬！ 574 哀悼

致敬

怀念 574 缅怀！ 574 默哀 574 默哀！ 574 默哀！ 574 默哀！ 574 默哀 574 默哀…… 574 默哀 574 哀悼！ 574 发信人: SDE (流浪者), 信区: Mathematics
标 题: [讣告]江泽培先生去世
发信站: 我爱南开站 (2004年04月09日18:15:42 星期五), 站内信件

发信人: hertz (I like v1), 信区: Mathematics
标 题: [讣告]江泽培先生去世
发信站: 北大未名站 (2004年04月09日16:08:12 星期五), 站内信件

著名的概率学家江泽培先生因肺心病医治无效，于2004年4月5日逝世，享年81岁。

江泽培早年师从Kolmogorov，是随机场方面的国际专家，为国内概率领域的发展作出了
不可磨灭的贡献，培养了一大批人才。数学学院的谢衷洁教授就是江先生的学生。

※ 来源:·北大未名站 bbs.pku.edu.cn·[FROM: 162.105.82.152]

※ 来源:·我爱南开站 bbs.nankai.edu.cn·[FROM: 10.22.41.48] 574 心情沉重！ 574 深切哀悼江泽培先生！ 574 默哀
致敬。 574 哀悼 574 深切哀悼江泽培先生！ 574 深切哀悼!


江泽涵,江泽培,江泽坚都是大名鼎鼎的人物,一直没有搞清楚他们是不是有亲戚关系，抑或就是兄弟。 574 默哀！

难道是兄弟! 那可真是数学世家了。 574 是国家的损失！
默哀。。。 574 哀悼,致敬 574 默哀！ 574

最好不要在这种帖子上调侃 574 Mourning!!! 574 又一位学者的离去! 574

574 有可能值得讨论
表示沉痛默哀
574 默哀！
574 一路走好！！！ 574 默哀 574 致敬！
默哀…… 574 默哀 574 默哀. 574 默哀 574 默哀！！ 576 直接点击，就可以放大的。 576 对称导数的一个性质
http://www.gzjzes.com/forum/Display.asp?id...=664&Board_ID=3 576 你把过程写出来看看。 576 那就请教吧。 576 看不清楚那个证明。 576 好题目！解答也好！支持！ 576 个人以为楼上说的队 576 不难呀。用有限覆盖定理，并用一些常规的技巧就可以。


你是在考考大家？ 576 如果是考考大家，未尝不可。

如果是请教，就说请教。
576 那就写出来给你看看吧。

（证明的方法是用了“连续性”方法，感觉比利用有限覆盖定理更简洁一些）
576 并不是我架子大，我希望各位提问者明确所提的问题是自己没有能够解决的还是只是让大家练习一下的。如果是前者，像我这种高手就不用瞎操心了。

不瞒你说，我还真是第一次遇到这“对称导数”。能否介绍一下它的来历，主要作用？ 576

这肯定是不对的。 576

哪一层楼？ 576 大约是有这结论吧：函数对称导数存在的话，那么函数在这点的Fourier展开收敛于它的对称导数。

578 [ COLOR=blue]
由Poisson分布的再生性可知，[COLOR=orange]两个相互独立的Poisson 分布的和仍为Poisson 分布。这个命题的逆命题亦正确，即若两个相互独立的，只取非负整数值的随机变量的和为Poisson 分布，则这两个随机变量都服从Poisson 分布。但这个逆命题的证明我不会，哪一位博士能给我提示一下证明的思路？非常感谢！lkliu@eyou.com 578 是不是由两个随机变量的相互独立性，推出他们和的特征函数等于两个Poisson,

随机变量的特征函数的积。

即参数Y=Y1+Y2

每个随机变量的特征函数都为poisson分布的特征函数。

一个参数为Y1,另一个参数为Y2

只有在2个随机变量相互独立的情况下，结论成立。
不独立时，结论不一定。

（仅供参考讨论） 580 我也是学矩阵计算的，不过上面的符号无法显示清楚，请教。 580 不错 580 贝儿辛苦了~~ 580 试证：对于 A ∈C m ×n,∥A∥=∑ i =0 m ∑ j =0 n |a ij | 是范数。
证明：
需要验证给出的公式满足矩阵范数的四个性质。非负性与其次性容易验证，

现证三角不等式。
若设 B =(b ij )∈C m ×n
∥ A+B∥=∑ i =1 m ∑ j =1 n |a ij +b ij |
≤ ∑ i =1 m ∑ j =1 n (|a ij |+|b ij |)
= ∑ i =1 m ∑ j =1 n |a ij |+∑ i =1 m ∑ j =1 n |b ij |
=|A+|+|B|

最后证矩阵乘法的相容性。
若 A =(a ij )∈C m ×p,B=(b ij )∈C p ×n ,则
∥ AB∥=∑ i =1 m ∑ j =1 n |∑ k =1 p a ik b kj |
≤ ∑ i =1 m ∑ j =1 n ∑ k =1 p |a ik ||b kj |
≤ ∑ i =1 m ∑ j =1 n [(∑ k =1 p |a ik |)(∑ k =1 p |b kj |)]
= (∑ i =1 m ∑ k =1 p |a ik |)(∑ i =1 n ∑ i =k p |b kj |)
= ∥A∥∥B∥
因此给出的计算公式确实是矩阵范数。证毕。 580 刚又一看，咦？你说的是 一范数 么？
那是要证明：???
∥ A∥ 1 =max j (∑ i =1 m |a ij |)
(j=1,2,...,n) 580

嘻嘻。不好意思。不过倒是充分的练了下 mathplayer（费了好长时间敲的就没舍得删了 ）
试证：
∥ A∥ 1 =max j (∑ i =1 m |a ij |)
(j=1,2,...,n)
称 ∥ A∥ 1 是列和范数。

证明：命 ω =max j (∑ i =1 m |a ij |)
设
A =(a 1 ,a 2 ,⋅ ⋅ ⋅,a n ),x=(x 1 ,x 2 ,⋅ ⋅ ⋅,x n ) T 则
w =max j ∥a j ∥ 1
且 ∥ Ax∥ 1 =∥x 1 a 1 +x 2 a 2 +...+x n a n ∥ 1
≤ |x 1 |∥a 1 ∥ 1 +≤|x 2 |∥a 2 ∥ 1 +⋅ ⋅ ⋅+≤|x n |∥a n ∥ 1 +
≤ (|x 1 |+|x 2 |+⋅ ⋅ ⋅+|x n |)ω=∥x∥ 1 ω
故 ∥ A∥ 1 =max x ≠0∥ Ax∥ 1 ∥ x∥ 1 ≤ω

另一方面，设
∑ i =1 m |a ir |=ω
取
x r =(0,0,⋅ ⋅ ⋅,1,0,⋅ ⋅ ⋅,0) T ,则
∥ x r ∥ 1 =1 ,且
∥ A∥ 1 ≥∥Ax r ∥ 1 =∑ i =1 m |a ir |=ω
合并以上结果，有
∥ A∥ 1 =max(∑ i =1 m |a ij |)
j =1,2,⋅ ⋅ ⋅,n


可敲完了。。。呵呵。（提醒：我这一段敲的在win2k显示正常，但我跑到win98机器上看显示不正常。） 580

不苦不苦。
谢谢xiaohuhu站长鼓励。
希望每天自己都能做些力所能及的事情。开心。 580

你手头教材的 矩阵一范数 定义是怎样的？？？
我现手头的教材是是这本《矩阵分析》北京理工大学 史荣昌 580 书上有这样的的定理：

（这个书上都有证明的。）
上面式子所定义的矩阵范数称为由向量范数 ∥ x∥ α 所诱导的的诱导范数，也称算子范数。

由向量p-范数， ∥ x∥ p 所诱导的矩阵范数称为矩阵p-范数，即
∥ A∥ p =max x ≠=0∥ Ax∥ p | x| p
常用的p-范数为 ∥ A∥ 1 ,∥A∥ 2 ,∥A∥ p
这里取p=1。
那么只要验证的就是
1.这个1-范数满足矩阵范数定义，
2.且 ∥ A∥ 1 是与向量范数 | x| 1 相容的矩阵范数。（也就是 ∥ Ax∥ 1 ≤∥A∥ 1 ∥x∥ 1 ，这个是显然的）
580 我把先前写的东东作个jpg图片贴给你瞧瞧， 这是我机器的显示。
我也说了，我win2000里显示好好的东东到win98里就不对了。

我们一起努力。谢谢各位的鼓励。 580

或者IE浏览器低于6.0的话，装个mathplayer1.0也行。
这里有：
http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=332 580 小红帽：抱歉，时滞了。可以谅解？
(((怎么mathplayer突然就不好使了呢？？))) 580

仔细一看， 绝对值位置不对哦，让我再想想啊。

580 小红帽：这次的结果我保证万无一失了。哈哈 580 这个结果是：黄琳院士 编著的《系统与控制理论中的线性代数》中给的证明。（这本书很不错，不防有机会读读 ）一般书上还真没有。

1。我做成图片的字母可能显示不清楚，附件中是我敲的doc文件。做了放大，所有的都是希腊字母 α ，没有英文字母a。

2。 μ 假设不就是无穷范数的 定义式的右边的 行和最大值。

3。是不是可以理解成用极坐标表示的矩阵？

4。黄老师的证明，我们隔壁的老师都说绝，看着明白，记不住，他说。

看这下有没有问题。
要是实在不理解就记住啦 580 由于你的‘寻根究底’也让我掌握了 算子范数（这么称呼更准确些，因为从诱导范数来的）无穷范数的证明。很高兴讨论中大家共同进步。
向你学习。以后多多赐教！！！ 580 一般矩阵分析书或矩阵论书都是在 向量与矩阵范数一章中 在向量范数之后的两节讲的矩阵范数 和 诱导范数（又称算子范数）。
当我们讨论矩阵的一范数和无穷范数时，我们已经是在学习 算子范数的知识了。另外，泛函分析书中 线性算子一节也有讲到。
我最初你说我托题了那时 给的证明正是 矩阵范数一节的内容。 580 谁会呢？总觉着用定义证明很麻烦的。 580 不会把，难道没人会？一般教材好象把矩阵所满足的范数三条件当作矩阵范数的定义，但也有用向量范数来定义矩阵范数。因而，如何用向量范数来证明矩阵范数就成了个问题。这个问题真的没人会么 ？？ 580 是是，你前述脱题了。不过你这里给出的是矩阵范数的一般定义吗？这个定义好象与其他教材的不一致。 580 我手头的计算方法是又西安电子科技大学出版社出版的。矩阵范数的定义是：设A为N*N阶矩阵，定义
A的范数等于AX的范数与X的范数相除，在X不等于零的情况下。
由于插件不会用，只好如此写了。 580 哎呀，贝儿写得太好了，向贝儿致以崇高的敬意！由于我装的是ＷＩＮＤＯＷＳ　ＳＥＲＶＥＲ２００３系统，表情符号不能粘贴，望你谅解． 580

我正疑惑矩阵Ｐ范数的定义呢，贝儿竟然贴出来了，我焉能不高兴－－谢谢，贝儿！ 580

贝儿，这里好象有些符号错误，这些错误不影响整个证明，但让人容易疑惑，比如这里的Ａ的一范数的表达式．不过从源代码看，你的输入没问题，显示好象错了． 580 向贝儿学习！ 580 安装MATHPLAYER 2.0 580 今天用同样的方法来证明矩阵的无穷范数，结果发现，前一部分类似，在后一部分却无法下去。我取的向量是：x={1,1,...,1},却得不到要的结果。怎么办？？ 580 提示一下么？？ 580 晕， 580 倒数第二行恐怕有点问题。 580 oK
感激不尽， 580 但后一部分证明中的符号好象不清楚，具体就是： aij 和希腊字母的”啊而发“ij. 580

能否问个问题：那个”谬“(u)的假设是怎么回事？综观整个证明，我不太理解这个了。
好象这个矩阵是个复矩阵，这个我需要通过你提供的这个证明来学习了。 580 再次感谢贝儿的解答，不过根据阿儿法的假设，那个矩阵应该是复矩阵了。我把那个答案回去再研究一下—— 尽管我基本上看懂了， 580 算子范数，好概念！能否提供一个学习它的地址？？ 580 关于范数的性质，由范数公理，应该只有三条：即非负性、绝对齐性及三角不等式性。但矩阵范数却有四条性质，多了个：A*B 的范数小于等于A的范数与B的范数的乘积。或者还有其他的性质。那么，这些性质能否由三条性质推导出来呢？？
亟盼！！ 580 ？？？
580 ???
580 是不是可以理解成用极坐标表示的矩阵？
但是负数能表示成极坐标吗？而且两个数极角在一般情况下是不同的？
可惜证明的图片不见了！！

580 今天讲课时发现：贝儿这个证明还是有问题的。关键是a(ij)=abs(a(ij))*exp(-i*theta(j))是否成立的问题。 580 看了黄院士的书（超星上有）以后，我明白了他的全部证明。下面我将这本书上关于无穷范数的证明附在后面。 580 继续 580 贝儿
精神可嘉
这种对待问题的态度是我们学数学
的必须具备的！！！
欢迎更多的计算爱好者加入进来！！！
580

I see！ Thank you！ 580 也是学计算的………………

新来的，报到一下

这里真好~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 580 可以用ＭＡＴＬＡＢ里的ＮＯＲＭ命令来求解．可求一范数，二范数（欧氏范数），还有无穷大范数等 581 现有集合论中的一个矛盾
这个矛盾不仅仅存在于ZF或ZFC公理体系中，也存在与Cantor的朴素公理体系中
描述如下：
如何证明“空集=空集”

按现有的各种公理体系，无论哪一种，就必然有于ZF体系中的第一公理“外延公理”类似的公理
即用于定义集合相等的判断条件。
—— 集合A与集合B相等的条件是：A=B <——> A中所有的元素都存在于B中，而B中的所有元素也都存在于A中

但是这种判断条件都是建立在集合中至少有一个元素的条件下的公理。
对于空集而言，它本身没有元素，对于这种情况，公理却没有作出解释

因为元素的定义中似乎没有把“无元素”当做一种元素，因此按照公理也就无法证明“空集=空集”

也许大家会感觉“空集=空集”这样的命题，看上去很痛苦
可以换一种等价的描述：

根据两个条件
1）集合X=Y
2）集合Y是空集
是否能推导出X=空集？

我的答案是否，
问题的关键是“=”本身有两种基本含义
第一是公理中定义的集合比较功能
第二却是一直被忽略，而默认为与第一条含义等价的含义 —— 就是“赋值功能”
——即我们可以把“A是1”表达成“A=1”

为何我在描述条件2）的时候没有使用“Y=空集”这样的描述方式呢？
原因就在于“=”本身的两重含义

对于一般集合而言，“=”的第一含义与第二含义可以等价
因为只要能满足ZF(1)公理的集合相等于赋值含义没有逻辑上的冲突

但是对于空集而言就不行了，所以我在描述第二个条件的时候没有用“=”

现在我们看上述的两个条件：
条件一：集合X=Y，是建立在公理基础上的集合相等
但是如果它与条件二一起推导出结果“X=空集”的话，就必须证明这一结果是满足公理的
因为结果中“=”不是赋值含义，而是集合相等的判断

所以我认为是根据上述两个条件是不能想当然的推导出我们想象中的结果

现在我们在仔细看看“空集=空集”这个命题的本质是什么
或许有人会说用反证法不是就能证明了吗？
可惜反证法能证明的即使能证明---命题“空集！=空集”是个假命题，
但是这个并不能想当然的就推导出“空集=空集”是真命题了
因为这个命题有其存在的公理基础，证明得在公理基础上证明
而公理只定义了集合相等的条件，但是这个条件空集并不满足


最终结果是
即不存在一个元素使得“空集！=空集”成立，也不存在元素使得“空集=空集”成立
----现有的公理体系下是无法判断“空集”与“空集”的关系

是不是很另人惊讶的结果

我想说明的是空集本身包含的含义并不是现有公理体系（如ZF或ZFC）所说的由ZF(2)能推导出空集的存在

应当存在一个公理来描述空集的基本性质

而产生这个问题的本质是大家没有真正区分“=”的基本含义

如果有兴趣可以深入讨论


581 "="含义文中已经提到

这里再总结一下，给大家一个铺垫

从我目前分析的情况看，暂时只能找到两种
1）赋值
通常在把常量赋值给变量时常用的方式
在计算机领域中是明确提出了这种概念
但一般的数学领域中，一直都存在
2）比较
这种含义由使用的具体领域不同而不同
最简单的比较就是算术中我们使用的“=”
在集合论中“=”的含义由公理明确定义

一般而言，第二种含义在相应领域中有一个公理相对应

希望大家能更深入的分析 581 真不好意思

我的结论的却是错误的，空集=空集，是真确的，在逻辑学的公理体系中是对的

看来得好好看书了

但是总感觉有点怪，看来只能说逻辑学的公理体系是其他语言可描述的公理体系的公理基础了，只有这样才能解决问题 --- 好象也不太正常 581 那“=”的基本含义
是什么呢？ 581 看看实质蕴含的解释；比你这个悖论还悖论呢。 581 我以为空集等于空集似乎可以用逻辑上的同一律来解释。即自己是自己。
而等号的意义也就是同一律。即等号两边的事物是同一的。
因为空集就是空集，由同一律和等号的意义，空集等于空集。

另一种解释可能是：判定集合相等的方法是：
如两个集合中的所有元素都相等（这话说得很不严格，但对于非空集合——虽然它并不仅指非空集合——想来大家能明白其意义），那么两个集合相等。
空集中没有元素，因此它们相等。（前提是假的，因此命题是真的。） 581 "="的含义是用什么定义的？ 582 一组独立变量对一个响应变量都有影响，要判断各因素影响的大小。
现常用的方法有：用标准回归系数、用偏相关系数、用标准判别系数、优势分析等，但似乎都有不合理之处。希望大家介绍各种观点，并加以说明评论。 583 hao de ,没事的了 583 没事没事。
我试了。这个是好的。很不错的哦。
谢谢咯。 583 数学名家 583 可能是损坏了吧，昨晚离断电只有3分钟了，急了点，对不起各位了. 583 我试过了,这次是好的,实在对不起,以后不会再出现这种情况了.
这个是我在去年在各个BBS上收集的. 583 好啊,鼓励 583 0字节，开玩笑吧！ 583